Soit à intégrer l'équation du premier ordre

% + ay = Y; (,)

V exprimant une fonction quelconque delà variable x.

Considérons en premier lieu l'équation '^+ay=:o, qui ne forme

qu'un cas particulier delà précédente. D'après la notation adoptée dans le mémoire cité , il est évident que cette équation pourra s'écrire ainsi

où le facteur binôme ne représente qu'une seule caractéristique d'opération à effectuer sur la fonction y. Si donc , pour simplifier cette

notation , on désigne la caractéristique (o + a) par le signe (d) , la dernière équation s'exprimera plus simplement par

et puisque son intégrale est y = Ae— % l'équation (2) sera également satisfaite par cette valeur de y.

De même l'équation (^)y=:o sera satisfaite par l'intégrale y=Ae«^. 3. Soit maintenant

X étant fonction de x , on en déduira facilement,

g-4-ay = (%=:e— dX. (3)

Effectuant la même opération sur cette nouvelle fonction, on aura successivement ,

et en général

{dyîj=ze~^^''X (4)

Il est à propos de remarquer ici que dans cette nouvelle espèce de différentiation , la quantité e— «-^ se comporte précisément comme un facteur constant dans la différentiation ordinaire. En supposant donc la

fonction y telle qu'il en résulte l'équation (d^y = o , il faut nécessaivement que le facteur c)"X qui entre dans le second membre de l'équation (4) se réduise à zéro , ou en d'autres termes que la fonction X soit delà forme

A^-' -h B^"-* . . . . + Ta; + U.

En conséquence l'équation différentielle

donnera , après un nombre n d'intégrations successives par rapport au

nouveau signe (ô) , l'intégrale complète

y = e-«^ { Ao;'»-' 4- B^«-* . . . . + Ta; 4- U. } (5 )

Observons ici en passant que si dans l'équation (4) on change X en

8e INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

Xe''*, ce qui donne yz=:X, elle deviendra

{d)y = (5)"X = {b+ayX = e-«^ b" (Xe«*) ;

donc , en développant la caractéristique (^-t-a)" i on obtiendra la formule générale

a''(Xe«^)=e«-^|a"X + waô''-'X + ^I:^a^d'' ^X....+a"X|. L'équation y = e-°^X , d'où Ton a dérivé

(a)y=:e-°'dX,

étant considérée elle même comme une dérivée semblable d'une équation primitive , donnera pareillement la relation suivante

Le premier membre de celte équation énonçant l'opération inverse de

celle indiquée par (ô) , ou bien une nouvelle espèce d'intégration , pourra , par analogie avec les intégrales ordinaires , être représenté par

Jy^ de sorte que l'on écrira

Jl-axX=:e-»^/Xdx, (6)

et en répétant la même opération , il en résultera

•7e-«*X = e~«^ yXd^*

y^-«^X = e-«^'/Xdjt:* donc en général „

ye-«^X =r e-°* yXd^w. (y)

d'où l'on voit que l'équation (4) a également lieu pour des valeurs négatives de w » en changeant seulement les différentielles en intégrales.

Il est inutile d'ajouter que le second membre de l'équation (7) devra être complétée par la fonction arbitraire

4. Si Ton fait XrrVe***, l'équation (6) nous fournira immédiatetnent la formule intégrale

/V = e-«^ /Ve»^ d^ (8)

et en général

yV = e-«^ yVe»* d^~ (9)

Donc, ayant à intégrer l'équation différentielle

qui revient à

on en tirera directement par Tintégration relative à (»)) , et en vertu delà formule (8)

résultat qui s'accorde avec celui donné par la méthode ordinaire.

L'expression intégrale y Ve«^ d^ , comprenant toujours une constante arbitraire, la valeur complète de y, s'exprimera par

y = e—axpsfeax ^^ 4. Ce— «^ ;

ce qui montre que chaque intégration de cette nouvelle espèce, introduit un terme Ce~<'^, de même qu'il faut ajouter une constante aux résultats de l'intégration ordinaire. Cette analogie d'ailleurs se sera remarquer sous un point de vue plus général, en traitant les équations aux difiérentielles partielles.

5. Passons maintenant à l'intégration de Téquation du second ordre

ii^ — aV = o,

qui est la plus simple de cet ordre. On pourra l'énoncer delà manière suivante ^

Or, puisque la caractéristique qui affecte son premier membre, peut se décomposer en deux facteurs (â+a), (ô — a), il est clair que la proposée se réduira , en vertu delà nouvelle notation, à

(ô)(ô)y=o, ou bien à (ô)(ô)2/^=o; (il)

et elle exprimera sous chacune de ces deux formes , une double opération effectuée sur la fonction y, savoir, d'abord une différentiation par rapport

au signe (c)) et ensuite une seconde par rapport au signe (^ ) , ou réciproquement.

En remontant ainsi delà seconde à la première de ces opérations, il viendra pour les deux intégrales premières ,

qui satisfont respectivement aux équations (il) i par suite de ce qui a été observé à la fin de n.» 2, D'ailleurs la relation

"donnera directement pour la valeur complète de l'intégrale

y = Ce°^ — C'e -«* j en écrivant C, C' au lieu des constantes —, — .

Si l'on remjdace «^ par — a* , il en résultera que l'équation

aura pour intégrale complète

y -— Ceo^K- 1 + ç^Q-axy-, — ; c cos ax + G' sin ax ,

en changeant convenablement les deux constantes arbitraires. 6, Considérons l'équation plus générale

^+Al|^+By = o, (12)

qui peut s'énoncer ainsi:

(ô* + Aô + B)y = o.

Soient — a , — a', les deux racines de l'équation du second degré

ô» 4- Ac) + B = o ,

que nous nommerons désormais V équation caractéristique de la proposée; celle ci pourra encore, d'après la théorie des caractéristiques, être présentée sous la forme

ou bien (c)) (%= (D) (% = 0; (l3)

l'ordre des deux espèces d'opérations à effectuer sur la fonction y étant tout à fait indifférent. Une première intégration des équations précédentes donnera les deux intégrales premières

et à cause de (D — 'd)i/z=(a — â5)y,

on eu déduira immédiatement après le changement des constantes,

y = Ce— «* + C e-«'^ , '

. pour la valeur de l'intégrale complète.

On obtiendrait le même résultat , en observant que les deux équations

* NOCV. MÉ3I. PRÉM. CLASSE DE l'iUîSTIT. TO!«t. VI. ^2

satisfont séparément à la proposée , et qu'elles fournissent par conséquent les deux valeurs particulières

y ■=. Ce-«^. y = Cfe— «'* ,

dont la somme représentera nécessairement la valeur complète de y. Mais on peut encore parvenir directement à l'expression de l'intégrale complète, en procédant delà manière suivante. Une première intégration ayant fourni l'équation

on déduira de celle ci par une seconde intégration delà même espèce

y = C'ye-«'^ + Ce-«^. (i4)

Or si dans la formule générale (9)

yV =: e— o^yVe«* d^ on fait V=e— «'^, il viendra

fç—ax :::::: g— o« re{a—a')x dx = — — e J J a — a/

Cette valeur étant substituée dans celle de y, on trouvera comme

précédemment

y = Ge~«* H- C'e-»'^ ( i5)

7. Lorsque l'équation ( 1 2) contient dans son second membre le terme V fonction de x^ elle s'écrira sous la forme

d'où l'on tire d'abord pour l'intégrale première , l'équation

(à)y =/V = e-«*/Ve«* àx 4- Ce-«* , en vertu delà formule (10).

Posons pour abréger V = e~"* /Ve«^ d^ , il viendra, en effectuant la seconde intégration «/ „ „• a

y =:ffY =/V'h- c/e-«^

ou bien tj = e— «^yv'e«'*d^ + Ce— «^ + C'e-«'-* (17)

en vertu des équations (lo) (i5).

Le premier terme de cette valeur de y , représente une valeur particulière de l'intégrale complète , et revient évidemment à la double intégrale

e-a'x JQ{a'~a)x^X jS e"'^ ^x.

Et puisqu'on a en général

/dX/Pd^ = X/Pd^ — yî>Xd^ , il sera aisé d'en conclure

y=/yV==-7^|e-«yVe«^d^^e-«'^Ve«'^d^|H-Ge-«^+G'5 -«'* ( 1 8)

Voici un autre moyen pour parvenir au même résultat, et qui est

analogue à celui dont nous avons déjà fait usage dans le n." précédent.

L'équation (l6) donnant à la fois les deux intégrales premières,

0)y=e-«^yVe«-^diP+Ce-«^ (à)y = e-«'^yVe»'^d^ + Ce--«'^, on en tirera immédiatement, en ayant égard à la relation

la même valeur de y que celle obtenue ci-dessus.

Dans le cas particulier où les deux racines — -a , — a soient égales , ce qui exige qu'on ait A* = 4B , l'équation (12) se réduisant alors à

donnera de suite, d'après la formule (5)

yz=ze-<^='{Q!-{-Q!x).

De même l'équation (i6) qui reviendra alors à

donnera, en vertu delà formule (9), pour la valeur complète de y,

= yv = e-«^ {yVdo?* + c^ + c'} . (19)

Si l'équation caractéristique a ses deux racines imaginaires, et qu'on les désigne par — oe,-\-(il^ — 1, — ot,- — /Six' — 1, il est évident que les deux derniers termes delà formule (18) devont être remplacés par la fonction

e-«^ { C cos /3^ 4- C sin i3;r } ,

qui représentera alors l'intégrale complète de l'équation (12).

8. Nous pourrons maintenant nous élever à l'intégration de l'équation générale de l'ordre n,

é2:+Afi^....+Ti?: + U2, = o.

En effet soient a^, a^ , a^, .... a„, les w racines prises avec leur signe contraire, de l'équation caractéristique

ù» + Ad"-' . . . . + T^ -l-U = o ,

de sorte de celle ci puisse être représentée par le produit

(a+aj i^+ctj (^+«3) •••• (ô+an)=0;

la proposée prendra alors la forme simplifiée

ai a% On

et indiquera par conséquent une suite de n opérations semblables effectuées successivement sur la fonction y ; il ne s'agira à présent que de remonter par une même suite d'opérations inverses, à l'expression delà valeur complète de cette fonction. A cet effet , on en déduira d'abord

par une première intégration relativement au signe (ô) , l'équation de l'ordre n — i.

(a)('à)....(%=c,e-«ar.

Celle ci étant intégrée de nouveau, il viendra d'après l'équation (t5)

Os O» Cln

{d) (h) (â)y =: C,e-oi* + C,e~«»^.

Et puisque l'intégration de chaque terme Ce— «*, en introduit un nouveau de la même forme , il est manifeste, qu'en continuant ces opérations on obtiendra finalement

pour la valeur complète de l'intégrale.

On aurait pu raisonner encore ainsi qu'il suit. L'équation (20) donne lieu aux n équations

Oi Cl On

{d)y = o. {d)yz=o (a)y = o,

dont les n intégrales

représentent autant de valeurs particulières de la fonction y qui satisfont à la proposée. Or puisque l'ordre des différentiations par rapport aux n diverses caractéristiques est entièrement arbitraire, ainsi que cela résulte delà théorie des caractéristiques, on en conclura sans peine que la somme de ces valeurs particulières doit également satisfaire à l'équation (20), et qu'elle représentera ainsi la valeur complète dey. g. S'il arrive que l'équation caractéristique contient un nombre m

n INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

de racines égales à —a, la proposée prendra la forme

a fli Ot Qa Up

où />=w — m\ et elle pourra alors être décomposée dans les deux équations suivantes

(d)(a)....(ô)y = o. (Vy=o.

On tirera delà première les p valeurs particulières

Les m autres seront données par l'intégrale complète delà seconde de ces équations et qui , en vertu delà formule (5) aura pour expression

où les coefficiens A, B...., représentent m constantes arbitraires. La somme de ces n valeurs particulières fournira ainsi la valeur complète de y, de même que ci-dessus. On remarquera sans doute que notre méthode d'intégration dispense d'appliquer le procédé compliqué dû à d^ Alemhert , ainsi que ceux qui ont été proposés plus tard par d'autres géomètres, pour écarter la difficulté que présente le cas de l'égalité de quelques unes des racines de l'équation caractéristique (*). Il peut arriver aussi que cette équation, renferme m groupes de racines imaginaires; dans ce cas elle contiendra parmi ses facteurs un nombre m delà forme ô*-i-AÔ + B, telles que A*<4B, et la proposée conduira alors à un même nombre d'équations du second ordre ayant la forme

(*) Voyez Lacroix. Tom. II. pag. 317 et Tom. III. pag. 696. Annales de math, pures et appliq. Tom. III. pag. 46.

Prenant l'intégrale de chacune de ces équations , on en déduira (n.<>7,) les ra valeurs particulières

y z=z e— "i^ {Gj ces ji^x -\- Q,\ sin ^^x} y =r e— «»* {G, cos ^^x + G', sin i8,^}

etc. etc.

y =z e-<"nx {C^cos^^a:+ G'^n/3^^} .

En les réunissant aux autres n — m valeurs particulières, leur somme donnera de même la valeur complète de y.

lo. Traitons maintenant le cas plus général où l'équation de l'ordre ii contient dans son second membre le terme V fonction de ûe. On la mettra alors également sous la forme

Ot Oj O3 (In

Une première et seconde intégration donneront successivement, ainsi qu'on l'a vu ci-dessus (n.** 7.)

a. «3 On ^

(â) (à) ..,. {è)y =/V = e-«»*y Ve^i^do:

(d) .... {d)yz=J^jY= J |e-«i^yVe-«^^da: — e-«»^yVe«»^d^, j

en comprenant toutefois une constante arbitraire dans chaque intégrale. Une troisième intégration effectuée partiellement sur ce dernier résultat, produira

(d) .... (ô)y=/yyV==--^|/(e-«i''/Veai^dar)— /(e--«»*yVe«»*d^)| — l — I e—oix /Ye'^^'^dx — e~°*^ jV e°*'' dx\ — (e-«»* rVCi^dx — e-«s^ /Ve«s»d^|

a»— a» l •' •' J g — OiX p — OiX p fT—azX p

=/ T, r/Ve«*^d.T-f- rfye''^''àx+- rp :/Ve«3*d.r

Or sans qu'il soit besoin de pousser plus loin ces intégrations successives, on reconnaîtra sans peine que la valeur de y se composera

d'une suite de n termes delà forme t-l-j\e^^àx, chaque dénominateur

A étant égal au produit des différences entre la racine qui multiplie x et chacun des n — i autres, ce qui est conforme au résultat obtenu par la méthode de Lagrange exposée dans les traités de calcul intégral ; méthode sans doute très élégante, mais qui exige cependant la résolution d'un sistéme de n équations du premier degré.

Euler semble avoir remarqué le premier que les dénominateurs Aj, A,...., A„ présentent les relations suivantes (*)

A> A, An

2L^lJL i-:!2.r=o

Ax A» A„

Ax Al An

etc. etc.

Ai a» An

Si l'on veut mettre en évidence les n constantes arbitraires que renferment les n intégrales yVe^^da;, il faudra ajouter à la valeur de y énoncée ci-dessus , la quantité

qui forme précisément l'intégrale complète de la proposée , en y supposant V=:o.

(*) Voyez ses Institut, cale, intégr. Tom. IL Cap, III. pag. 356 , où ce théorème de trouve démontré comme une propriété des nombres , indépendamment delà théorie de l'intégration des équations linéaires. Euler s'en sert ensuite pour vérifier la valeur générale de y.

11. On ne verra peut être pas sans intérêt la manière suivante de parvenir directement aux résultats généraux que nous venons d'exposer , et qui montrera en même tems un des avantages marquans de la théorie des caractéristiques.

Soit l'équation de l'ordre n

(ô'' + Aô'-^... + Ta + U)y = V. (22)

En désignant la caractéristique composée qui affecte la fonction y par Il , cette équation prendra la forme simplifiée

d'où l'on conclut

la caractéristique II-» représentant l'opération inverse de celle indiquée par n. Or cette dernière énonçant le produit de n facteurs du premier degré ô-l-a. , ô+œ, Ô+«M. il est évident que la caractéristique n-' ou ^ , pourra se décomposer dans la suite fractionnaire

^^ ■ J^ . An .

où les numérateurs peuvent être déterminés en fonctions de a,, a,.... D'ailleurs, en observant que -i- est identique avec -1-- = /", on conclura immédiatement delà décomposition précédente ,

*"! «I an

j/=ti-^y=a/y + a/y + ,,.. + a/y

= A^e-«i-/Ve«»^da; + A,ey«.yVe«a^ . . . . + k^e-cmxjYe^nx^^ en vertu delà formule (8).

Il s'agira maintenant d'obtenir les valeurs des coefficiens constans qui multiplient les divers termes de cette expression générale. Pour cela l'équation

«OBV. BÉM. PBÉM. CLASSE DB l'ilTSTIT. TOK. IV, 13

n INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

1 __ Al , At , An

donne par les procédés ordinaires ,

1 = A (ÔH-aJ (a4-«,) .... ib-f-^n) -hA.(d+«J(d4-«.)....(aH-«„)

■'i,--:fSJi^-,'^'^^-

Puisque la lettre b peut représenter ici une quantité quelconque , la relation précédente devra être également vérifiée , en donnant successivement à b les valeurs — a^ , — a^ , . . . . — a„. Ces substitutions feront disparaître chaque fois n — -l produits, et l'on en déduira sur le champ les valeurs

ce qui confirme le résultat établi ci-dessus (n." lo) par des intégrations successives.

12. Examinons le cas où l'équation générale donne lieu à un nombre m de racines égales à — a. Dans cette hypothèse la caractéristique II se composera d'un même nombre de facteurs égaux à d-\-a ; et en désignant par Q le produit des w — m ou r autres facteurs inégaux, de sorte que l'on ait n== Q(d-f-a:)"*, on procédera delà manière suivante.

Posons

1 Ao , Al . A7/1 — 1 1* ^ .

ce qui donnera d'abord

y = (i)V = A yV + A, — /V.... + A,/V + P (1) V ==Ae-«*"yVe*'^d^4-A,e-«*'"~yVe«^da;«-\..+A;„,e-«yVeo:rd^4-P(l)V

en vertu delà formule (g).

Pour déterminer les valeurs des m coeffîciens A, A^ ....A,»^, faisons pour abréger D+a=w, il résultera alors de l'équation (»)

1 = Q { A + A,M -I- Ay .... H- A,„, M»«-'} -f- Pw«» (/3)

ou bien -1 = A + A^m . . . . + Am-iU*^ ' * + - «***.

DifFérentiant cette équation m — i fois successivement par rapport à m , et supposant ensuite m=o , on trouvera

A = ^. A, = d(3). A,=^ô^(i-), etc.

OÙ Q^ exprime la valeur de Q dans la même hypothèse, ce qui revient à y faire ô=— .a. Or puisqu'on a

Q = (ô+a J (a+aj . . . . (d+ar) ,

on conclura directement de ce qui précède,

(<7, — a) 1^0, — a) .... (flr — a)

JV — . dA^ A=— -^. A = i-^ etc.

Ces valeurs serviront à déterminer les m premiers termes de l'intégrale

donnée par l'équation (23). Quant aux autres termes au nombre de r,

p la fonction - pouvant être décomposée dans la suite

B. , B, . Br

S-i-rti 3+0» ' ' * * 3+a,'

lOd INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

on reconnaitra aisément qu'en exprimant par <?(«), <P{a^) etc., les valeurs que prend le numérateur P, en y supposant successivement dr= — «^ , 0= — a,, etc., il viendra

(flï —ai) (Os — (II) .... (<z^— rti)

0{ai)

{ai— ai) (<7,— ff,) .... {ar — a,)

C^(^rl

{ai — ar) («î — ar) .... («/•— i — «/•)

Remarquons maintenant que chacune de ces suppositions fera disparaître la quantité Q dans l'équation (^), d'où il suit Prr-L; partant

Substituant ces valeurs dans celles de B obtenues ci-dessus, on en conconclura facilement que les n — m termes qui restent à compléter l'intégrale auront les mêmes coefficiens que ceux qui se rapportent au cas général, après y avoir changé a^, «^ ....,«;;, en a.

Dans le cas que nous venons de traiter l'équation différentielle prenant la forme

n 0,1 Oi Or

(dr(d)(a)....(a)y=:v,

on en tirera d'abord

(ô) (a) .... {à)y = y V = e-«^ "/Ve"* d^»» = V', et ensuite par une nouvelle intégration,

ai ai ar „ ,.

(d) (d)....(d)y=re-«i7V'«'*dir=:e-«tye(«'-«)^dir'"yVe"^d^»'j

d'où l'on déduit par des intégrations successives, l'expression générale

y=e-0'-ye'«'~-»'*-i^'^d:r/e(«'--i— «'-ïM^...yeC«i— «-^dj? "/Veû^da;*" , (24)

où les n constantes arbitraires sont implicitement comprises; le premier signe intégral s'é tendant sur tous ceux qui le suivent.

i3. Supposons encore que l'équation caractéristique renferme p groupes de racines imaginaires. Dans ce cas la valeur complète de tj pourra s'obtenir en suivant la marche que nous allons indiquer. Cette équation étant susceptible d'une décomposition en j> facteurs du second degré et n — ip facteurs du premier degré , on posera

le signe 2 indiquant la somme des fractions binômes semblables. Quant aux coefficiens indéterminés A, <», B, a, on pourra les évaluer par les

procédés connus. Considérons un terme quelconque -— — -ii- delà pre-

mière partie de cette série ; il en résultera dans la valeur de y un terme delà forme

en faisant pour abréger (Aô +<3t)V=:P.

Or il est facile de voir que la fonction

exprime sous une nouvelle forme l'intégrale de l'équation du second ordre

que nous avons déjà obtenue au n.° 7. Désignant donc par ^-\-y\y — l , /3 — yxy — I, les racines prises avec leur signe contraire, de l'équation caractéristique d^-f-w ô-{-w = o, on trouvera en faisant les substitutions

convenables dans la formule (18), toutes réductions faites, que Tinté" grale dont il s'agit a pour valeur

f—î-j sin ^xje^'^ P cos ^x àx — cos ^xje^^ P sin ^x àx\ ,

chaque intégrale comprenant une constante arbitraire. Les p groupes de racines imaginaires introduiront par conséquent autant d'expressions delà forme précédente, et dont la somme jointe à celle des w — 7p

termes delà forme Be-**^/ Ve^^d^i? , représentera l'intégrale complète delà proposée.

l4. D'après ce qui a été trouvé au n.° 11, la valeur générale de y qui satisfait à l'équation ('^i)> s'exprimera par la formule suivante

y=rA,e-«»-*|/Ve«»*d^ + C,|-f-A,e-«»^|/Ve«»*da;H-C,|

H-A^e-On^l/Vea^^d^-f-G^} (25)

ou bien plus simplement par celle ci

y = A 2(e-«^/Ve«^da;) + 2 Ce-«^

C'est sous une de ces formes qu'elle énonce la propriété démontrée pour la première fois par Lagrange et applicable même au cas où les coefRciens des termes de l'équation sont des fonctions de x ^ savoir cju'il suffit de connaitre les n valeurs particulières qui satisfont à l'équation (20) pour en déduire la valeur complète de y déterminée par l'équation (21). En négligeant les n constantes arbitraires dans la formule (25), la somme des termes qui resteront représentera nécessairement une valeur particulière de l'équation (21); et puisque la somme dés termes Ce— «^ , forme l'intégrale complète de l'équation (20), on en conclut que celle ci augmentée de cette valeur particulière , donnera l'intégrale complète de l'équation (21). Nous aurons plus loin l'occasion de généraliser celte remarque.

La valeur de y est susceptible encore d'être exprimée au moyen d'une

intégrale définie. En eflfet d'après la formule (i24) de notre mémoire cité , on a identiquement

f<p(x) = (^)^(^) =:J %-<^'(p{a;—a)dcc. (ce)

Par conséqu^ei^t en désignant le terme V pay (p(x) , on aura de suite

y=/ (A e-«»* + A e-«»« + ....);?(^ — «)d« + 2Ce-o*

= /'^ZAe-««cç>(^ — «6)dB4 + ZCe-«^ (26)

Dans le cas d'égalité de m racines , on différeutiera l'équation («) m — 1 fois par rapport à l'élément a, ce qui donnera

ou ce qui revient au même

Il en résultera pour la formule (23) l'expression suivante

+B,e-«»*+B,e— «»^H-etc.|(p (^ — <x) dût, (27)

qui devra être augmentée de l'intégrale complète delà proposée en y supposant V ou <p{x)z=o; or il est aisé de s'assurer que cette dernière intégrale n'est autre chose que la quantité qui multiplie (p{x — oc) dans la formule précédente, après y avoir écrit x au lieu de ot, et remplacé les coefficiens A, A^ B,B^, par des constantes arbitraires.

(*) Si l'on suppose 0=0, et x négatif, cette formule devient

JÇ>{X) d.T'» = Si J ^ «m-i ^(.r+à) d«

la même que celle donnée par M. Liouville , et dont ce géomètre à fait plusieurs application» intéressantes à la géométrie et à la mécanique. {Journ, de VEcol. polyt, Tom. XIII.)

104 INTÉGRATION DES EQUATIONS LINEAIRES

§ 2. Equations différentielles linéaires à coefficiens

variables,

l5. Nous allons traiter maintenant le cas plus général où les coefficiens qui multiplient les termes de l'équation dififérentielle sont des fonctions delà variable x. En commençant par le premier ordre , l'équation qui se présente d'abord est delà fornie

P, V étant des fonctions de x.

Considérons en premier lieu l'équation

dont l'intégrale est évidemment

En écrivant cette équation 30us la forme

(d+P)y = o, p et désignant la caractéristique ô+P par {b) , l'équation différentielle pourra être représentée par

Soit y = Xe""-' ^"^"^ , il est facile d'en déduire la relation

(b+V)yz=z(à)y=e-f^^'bX (28)

P qui , par des différentiations successives relativement au signe (^) , donnera

et en général {dYy = e"^^'^^ a"X ; ( 29 )

d'où l'on conclut, en prenant n négatif, et désignant pary , l'inverse

p de l'opération (d)

y^ = e->'J^yXda:» (3o)

où les n constantes arbitraires sont iinplicitement comprises.

Si dans celte dernière équation on écrit pour X sa valeur ye'^^^* il en résultera la formule intégrale applicable à toute fonction y de ar,

En l'appliquant à l'équation générale du premier ordre, mise sous la forme

on en tirera immédiatement

P y =/v = e-f^^'^fNe^^^^ dx (32)

pour l'intégrale delà proposée. Cette intégrale sera particulière ou comcomplète, selon qu'on néglige ou qu'on ajoute la constante arbitraire introduite par l'intégration. Dans ce dernier cas, la valeur complète de y s'exprimera par

y=:e-/^^"/Ve/^'l^d^ + Ce-/P^^ (33)

i6. Jusqu'ici la marche de notre méthode a été tout à fait analogue à celle exposée au ^ précédent, pour les équations du premier ordre. Mais en passant au second ordre, on reconnaîtra que la décomposition

ROUV. HÉX. PBÉX. CLASSE DE l'iRSTIT. TOM. lY. 14

m INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

de l'équation caractéristique en deux facteurs binômes , présente en général une difficulté, que les forces actuelles de l'analyse n'ont pu vaincre encore , et que l'on peut regarder comme le seul obstacle qui s'oppose jusqu'ici à l'intégration générale des équations du second ordre. En effet considérons l'équation

comme le résultat d'une double opération effectuée surla fonction?/ d'abord

par rapport à la caractéristique (d), et ensuite par rapport a celle (c)); X, X'

étant deux fonctions inconnues de £c qu'il s'agit de déterminer , de

sorte que la proposée puisse être énoncée ainsi:

Il en résulterait alors, par une première intégration ou opération inverse (n." i5).

et par une seconde, en vertu delà formule (32)

OU bien, en faisant pour abréger /Xd,a7zz: w, JX'dx=zu.

y = e— «ye"-w' dx\ ( 35 )

intégrale qui comprend deux constantes arbitraires.

Quant à la détermination des fonctions X, X', il ne suffira plus, comme dans le n.'G, de décomposer l'équation caractéristique

en deux facteurs binômes, en la traitant comme une équation du second degré, attendu que les coefficiens P, Q ne représentent plus des quan-

AUX DIFFERENT. ET AUX DIFFÉR. FINÏES. 107

tités constantes. Voici comment on pourra parvenir alors à la décomposition dont il s'agit.

Soit a=Dy + Xy=:(c>)y,

on en tirera ô« rz: ô'y-f- X^y + yôX,

donc (ô){d)y— (d)s = Ô2;+X'2;=a>+(X4-X')ôy + (XX'+aX)y.

Comparant les termes de cette équation à celle delà proposée, on aura pour déterminer les fonctions X, X' les relations suivantes.

X + X'=:P. XX'+c>Xr=Q. (36)

Faisons Pz=2P', Xr^P' — t^ X'=i:P'+^; ces substitutions changeront la seconde des relations précédentes en celle ci ,

HP' ,, d/ ou bien

d'où l'on voit que la détermination des deux fonctions X , X' et par conséquent l'intégration de l'équation du second ordre, se trouve ramenée à celle de l'équation du premier ordre

intégration qui dans l'état actuel de l'analyse n'est pas possible en général, à moins d'avoir recours aux méthodes d'approximation. Mais, puisqu'il existe quelques cas particuliers , entre autres celui traité par le géomètre Italien Riccati ^ qui permettent d'obtenir l'intégrale de celte dernière équation, il en résultera autant de cas où l'intégration complète des équations linéaires du second ordre, pourra s'effectuer sans l'introduction d'un facteur composé , propre à les rendre différentielles exactes, ainsi que l'exige la méthode d'intégration employée

jusqu'ici. Là valeur complète de l'intégrale sera d'apréâ la formule (35), y==Ce-"4-C'e-«ye"-«'da:; (37)

les valeurs de w, w' étant données par les équations

ufxdxz=zlfVdx-—fidx. " u/x'dx=l/vdx ^fidx.

donc u — ii'ziz ^J^idx.

Il est évident que les deux termes qui composent l'intégrale complète, en expriment les valeurs particulières, à cause qu'ils vérifient séparément

X' X l'équation {è) {à)yzzzo. On remarquera de plus que ces dernières valeurs ne sont pas toutes les deux delà même forme comme dans le § précédent; ce qui tient à ce que l'ordre des deux diflerentiations par rapport aux

X X' caractéristique (3) (d) , n'est plus indifférent dans le cas actuel. En effet si l'on avait à intégrer l'équation

Les relations qui servent à déterminer P, Q au moyen des fonctions X, X' supposées connues, deviendraient

p = x + x'. Q = xx'-f-ax'

et l'intégrale complète prendrait la forme

y =. Ce-"' + G'e^y"'-" dx\

résultat essentiellement différent de celui donné par la formule (37). En supposant que l'on connaisse une valeur particulière y=z e— " , on

en déduira d'abord X = -^ = '/- , et partant X'= P — X , u — u

ax j'ii.r

i=/(2X — V)dx\ d'où l'on pourra évaluer la seconde valeur particulière

La somme de ces deux valeurs multipliées chacune par une constante arbitraire, fournira l'intégrale complète delà proposée.

17. Lorsque la proposée contient le terme V indépendant de y, son intégration n'offre pas plus de difficulté , une fois que la transformée en /, soit susceptible d'intégration, pour qu'on puisse en tirer les valeurs de X et X'. En effet, après avoir mis la proposée sous la forme

les fonctions X, X' ayant été déterminées au moyen de l'équation

delà manière exposée au n.° précédent, on aura d'abord, à l'aide d'une première intégration

(())y =/V = e-A'dxyVe A'd^ d^p = e-«'/Ve»'da:

en vertu delà formule (32). Intégrant de nouveau, il viendra

y = e-»fe»-»'dxfYe»'dx , (38)

où les deux constantes arbitraires sont implicitement comprises , de manière que la valeur de l'intégrale complète , aura pour expression

y = Ce- « + C'e-«ye«-w'dir + e-"/e'*-«'djtryVe"'d^ ; ( Sg )

dont les deux premiers termes représentent la valeur complète de y qui satisfait à l'équation

résultat analogue à celui obtenu pour le cas particulier où les coefficiens P, Q sont des quantités constantes (n."6).

Il ne sera pas inutile de faire voir que l'expression (38) est susceptible delà transformation suivante. En posant pour abréger /e'^—^'d^ziiU, on aura

fe^-^àxpfe^'àx =/dVfYe'*'dx = Tj/Ve^'àx —fjJYe^dx donc y = e-«|u/Ve«'d^— /ijVe«'d^|- (^o)

Chaque terme introduisant une constante arbitraire, il en résulte que cette dernière expression comporte la même généralité que celle (39). 18. Si les fonctions P, Q sont liées entre elles par la relation

ou bien

ce qui donne /^ -f- — - = R = o ,

il en résultera t = l. X = 1P — 1. X' = lP-f-i,

uzzz- fPdcff — Ix. u z=.- fVdx-{-lx, e—^z=xe—P. e"'=:^e^,

p étant égal à i/Pd^; d'où l'on tire, en substituant ces valeurs dans

la formule (38).

y z=z xe—P j ~jSx e^ dx

= œe-P I /Ve" d^ — - f^xe" dx | .

L'équation R = o , donne de même ^ =: o , ou bien X = X'= - . Donc

l'équation

revient à (ô)'y = V, ^

et aura pour intégrale première

$),j = e--^''"f\/'^'duv.

Une seconde intégration donnera

= e—p[ xf^eP àx — pfxe" darj,

résultat qui coïncide avec celui que nous a donné la valeur de / = -. En supposant V = o , l'intégrale précédente se réduira à

Lorsque la proposée n'a pas de second terme, on aura X'= — X, Q = — (X'* + aX'). Ainsi l'équation

av— (XN-aX)y=V

qui revient à {à) (a)y= V,

aura pour intégrale première

(ô)y=:e-«/Ve«da:,

et pour intégrale seconde

y — ! eye^-^^àxjYe^^dx

qui dans l'hypothèse de V=o, deviendra

y = Ce" 4- C'e^ye-*»* do;

u étant toujours égale k jXdx.

Ce qui précède montre que l'intégration des équations

a-y — Qy = V dépendra encore de celle de l'équation du premier ordre X* 4- ôX = Q. Cela se prouved' ailleurs directement, en posanty = e ^, d'où l'on tire

ôv=y(X* + ôx).

£n£n l'équation

pouvant être représentée par

ô(%=:V, se ramène sur le champ à celle du premier ordre

(%=/Vda:

dont l'intégrale est yz=.e~^ ^/^ ^/Vdxy

comprenant deux constantes arbitraires.

Mais si l'on écrit la proposée sous la forme

(a)ôy=V;

on en déduirait d'abord

ôy=e-^^'^YVe-'^^''"d^.

Partant

y z=JeJ ^ àxj^fe '^ àx

valeur identique avec la précédente, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer par la différenliation.

ig. On peut demander de déterminer les fonctions P, Q, telles qu'il

en résulte X = -, et X'=:-; dans ce cas les relations (36) donneraient

a-\-af p fia — a __ q

Donc l'équation ô*y -h - ^y + ^ y = V,

A,B étant des constantes, pourra se réduire à la forme

en faisant A = a + a'. B = « (a' — l) ;

d'où il résulte que les constantes a, a seront les racines de l'équation du second degré

On aura alors w •=.f\.^x = l^x"), u = /x'da;=/(j?«); et en yerlu delà formule (38)

y r3 x—'^fx^—°-'à.xy^x'^à.x z= — l |a:i-«yV^«'d^— a;-yV:c«+ida?| ; (43)

valeur qui devra être complétée par la quantité

Remarquons encore que l'équation

{a 4- 6:r)* d*y + A (a 4- ô J?) ôy + By = V,

rentre immédiatement dans celle que nous venons de traiter, en y faisant «4- ôof c= 6a?', et divisant ensuite chacun de ses termes par 6*^'\ 20. Passons maintenant à l'équation du troisième ordre

HQVV. HÉX. PRÉX. CLASSE DE l'iRSTIT. TOM. IV. i5

S'il était possible en général de décomposer son équation caractéristique en deux facteurs, en lui donnant la forme

l'intégration delà proposée serait évidemment ramenée par là, à celle de l'équation du second ordre

et rentrerait alors dans le cas précédent. Or , celle décomposition ne peut être effectuée qu'après avoir inlégré une autre équation non linéaire du second degré, intégration qui échappe aux méthodes connues jusqu'ici. En effet , posons

On en déduira

ô» = ô^y + M ô'y -1- (N + ôM) ôy + yôN

Xarr: X c)> + M Xôy 4- N Xy ,

et puisque la proposée revient à > *!«— »>:fc\

la comparaison des termes semblables donnera lieu aux relations

M4-X = P. N-i-MX + ÔM = Q. NX + aN = R (45)

qui devront servir à déterminer les trois fonctions inconnues X, M, N, Pour cela, différentions la première de ces équations , et substituons

les valeurs de M et ^M , dans la seconde ; celle ci deviendra

N + PX — . X^ — ÔX = Q -- ÔP = S.

' .; .n/> /• eo.

Cette nouvelle équation étant différentiée, et multipliée par X, la somme des deux résultats donnera, en ayant égard à la troisième des relations (45)

d*x 4- (3x — p) ax + X' — px* -h (S — ap)x = r — as ;

équation du second ordre mais dont l'intégration générale ne semble guère possible dans l'état actuel de l'analyse.

On tombe également sur une équation de môme espèce que la précédente, en supposant l'équation caractéristique décomposée ainsi qu'il

suit ,

■ (c>^ + Ma 4- N) (d + X) r= o.

Si l'on fait alors

« = ay + Xy

et qu'on en déduise la valeur de d'a + Môs-f-N* qui représentera le premier membre delà proposée, oh trouvera que les fonctions M, N,X se détermineront par les relations

M4-X = P. MX + 20X + N = Q. NXH-HIDX + a^X = R; (46)

d'où il est aisé de tirer l'équation finale

a^-X H- (P — 3X) ÔX + r — PX* + QX = R

dont l'intégration présente le même obstacle. Ainsi tant que cette difficulté restera à vaincre , le troisième ordre ne pourra être ramené au second que dans quelques cas particuliers que nous indiquerons ci après. 21. Il n'en est pas de même cependant, toutes les fois que l'on connaisse la valeur particulière y =e~^ , qui, d'après la dernière décomposition de son équation caractéristique , vérifie la proposée dans

l'hypothèse de V:i=o. Dans ce cas, on aura d'abord Xizr — ^^\ Les

équations (46) donneront ensuite M = P — 'X, N =: Q — MX — 2aX. Les fonctions M, N étant déterminées de cette manière, il ne s'agrira plus que d'obtenir l'intégrale de l'équation du second ordre.

c)'2i-f-MÔ2J + N2 = V.

•'. in M- t j oiijijj'iui ' En sup^ioslint <ftrc sOtt intégration soit possible d'après le procédé exposé au n.° i6 , ou en d'autres termes, que le première membre de

lie INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

son équation caractéristique puisse être décomposé dans les deux facteurs d -f- X^ , ô + X^ , la proposée sera réduite à la forme simplifiée

d'où l'on déduira successivement , en posant pour abréger u ::=/ Xdar. u^ rrzjX^dx. u^ = yX^da: ,

Xl X yy

(à) {d) y = e-«»y Ve«» dx

{b)yzzi e-**! /e«»~"» do?/ Ve"» d^

y z= e—^ J e^-^i àx fe^^-^i dx fSf e^'^ àx (ij\

ou bien yz=zy^ 1 î— 1' dxje^^^—^^ dxjYe^i dx ,

à cause de y, = e"-^^'^' = e-w.

Celle valeur de y sera complète ou particulière , selon que l'on y ajoute ou non les constantes arbitraires comprises dans la triple intégrale indiquée par la formule (47).

Lorsqu'on a V=o, l'intégrale complète delà proposée deviendra

y = Ce—" + C^e— "ye"-«id^ + C,e— «ye«— «» dxfe^^—»^ dx.

Cette valeur prendra la forme suivante

y = e-«{c + C,U + C,/u,dU} (48)

en posant pour simplifier

Jlu-ut da; = U, /^«i-«j d^ -- u^^

L'intégrale complète représentée par la formule (47) est susceptible encore delà transformation suivante, analogue à celle effectuée sur la formule (38j pour le second ordre.

AUX DIFFÉRENT. ET ATJX DIFFÉR. FINIES. Ili^

En effet ou a d'abord , en intégrant par parties y^Mi— Ml d:r /Ve«» d^ z= Jd\] ^ /y e^*^ dx

= U,/Ve"^ d^ yvU e«» d^,

donc e"y=yi],dUyVe«»da? — /dU /YV ^e*"» dx,

La première de ces doubles intégrales revient à /il.dU x/Ve«> d^ ~yVe«> dxfU^dV =fl^d\] x/Ve"» dx — yuU^Ve"» d^ -\-f'Se^^ d^/UdU et la seconde à

u/VU^e«» d^ ycu,Ve«^ d^.

Effectuant les substitutions , on trouvera que la valeur de y pourra s'exprimer par la formule

y = e-«|/Ve"» d^/UdU^ — U/vU^e«- d^ +/U,dU x/Ve«» d^| . (dg)

Et puisque e~", e— ''U, e""/ UidU, représentent dés valeurs particulières de l'équation (44) en y supposant V=o , la formule que nous venons d'obtenir énonce la propriété analogue à celle que l'on aura pu remarquer également dans le second ordre (n." 17); savoir que l'intégrale de la proposée se compose delà somme algébrique de ces valeurs particulières multipliées chacune par une fonction de x , dont la détermination n'offre d'autre difficulté que celle qui tient à l'intégration des produits indiqués dans la formule (48). Il est évident d'ailleurs que pour rendre cette intégrale complète , on n'aura qu'à y ajouter la fonction

e-«[c^-c^u^-c^/udu}.

2 2. Supposons maintenant que l'on connaisse deux valeurs particulières y^ = e—". y^ =. e—^^fe^^—"^ dx = e-"U

qui vérifient l'équation (à) {d){d)y =zo.

On en tirera d'abord

Et puisqu'on a évidemment

X H- X +X^ =P , d'où M + w 4- M^ =fVdx ; il en résultera

valeurs qui étant substituées dans une des formules (47) ou (^g), détermineront celle de l'intégrale complète.

23. Dans le cas particulier où u^z=.u^, la formule (iy) se réduirait à

y r= e— " /e«— ^1 d^ jYe^^ dx"" , et en y faisant V=o , elle deviendrait

Si l'on avait u^-=.u, on trouverait

y r= e— ** ^/e»- "^ dx^yVe"» da; ; et en supposant de même V=:0

AtX DIFFÉRENT. ET AUX DIFFÉR. FINIES. 118

Soit encore « = «, = «,, il viendrait simplement

y = c— " yVe" dx* et pour V =o

y = e-" |C-j-C,a; + G,^*|. u = if?dx.

Dans ce cas les relations (45) (i6) feront voir aisément que les fonctions P , Q , R devront être liées entre elles par les équations

P^ + 3aP = 3Q. PQ H- 5èQ = gR , à cause de N=:X* + ()X

Supposons w, = — Wj , ou bien X^ + X, = Q, il en résultera M=:o, X = P et en vertu des équations (46)

2ÔP + N = Q. NP + c>'P = R; d'où il suit

a»p 2Pc>P = R— -PQ.

Telle est la relation qui existera alors entre les fonctions P , Q , R. Quant à la valeur de X^ , puisqu'on aura ici (n.° l8)

x; + ax^ -f N = o ,

il s'agira d'intégrer l'équalion du premier ordre

X;-hc>X, = 2ÔP — Q.

La valeur générale de y, donnée par la formule (47) deviendra dans le cas actuel

y =z e-«ye"-«i dxje-"^ dxJYe-'^^ dx ;

u étant égal k Jvdx. Lorsque V = o, on aura

y = Ce-" + C^e-« /è« - «» d^ + C^e—^fe^"' dx.