Considérons l'équalion

et cherchons les valeurs des constantes A,B,C, pour que cette équation donne

On aura d'abord la relation

A = a + a + a ; ensuite, en vertu de ce qui a été trouvé au n.° i6

■M- __ Ox -f Q» TV fli (ffa — l)

Substituant ces valeurs dans les relations (46), on obtiendra sans peine

B =a («^ + aj — 2» + «j (a^ — i) = aa^ + aa^ + a^ a^ — (2a H- a^) G =; aa^{a^ — ^ i) — a{a^-{- aj -\- 2a = a{a^ — l) (a, — 2).

Et puisque les valeurs de X, X^, X^, donnent

on en conclura immédiatement pour la valeur de l'intégrale

y = ocr^t^ jx^-^i. d^ /^«i~«ï ÔlX l'Sx'^^ à.x , et lorsque V = o

Ecrivons a', a", au lieu de a^ — 1, «^ — 2, on s'assurera facilement que les quantités a, a, a", seront les racines de l'équation du troisième degré

ce qui fournit le moyen de déterminer les valeurs de a, a^, a , à l'aide des coefRciens A, B, G.

L'équation

se ramène à la forme précédente, après avoir remplacé a-\-bx parôjrr', €t divisé chaque terme par b'x^'; transformation analogue à celle opérée dans le second ordre (n.° 19).

25. Ce qui précède suffira pour indiquer les difficultés qui s'opposent jusqu'ici à l'intégration complète des équations linéaires passant le premier ordre; difficultés qui doivent augmenter à mesure que l'ordre de ces équations s'élève. On aura déjà pu entrevoir que cette intégration relativement à un ordre quelconque n , sera toujours possible, dès que l'on connaisse les n valeurs particulières qui satisfont à la proposée dégagée du terme V*

En effet si l'on suppose l'équation caractéristique décomposée en n facteurs d + X, , d 4- X, . . . . d -f- X„ , et qu'on fasse pour abréger ,

u^ =yX^ d^ , Wj z=ij\.à.x . . . .Un =yX„d^ , il est aisé de s'assurer que l'application de la méthode employée ci-dessus , conduira à la formule générale

y = e— "lye"»— w» daye"»— «» Ax .,. .fSe^n àx

ou bien, en posant comme précédemment

y^»i-«id^ = U^. ye»»— «» da; = U, . . . .fe^-^-^n^x = U„«.,

y==e-«»/dU./dU,..../dU„^,/Ve»«d^. (5o)

Dans l'hypothèse de V^o . la proposée sera satisfaite par chacune des n valeurs particulières

e-«. , e-«^U^ , e-«./u, dU. , . . . . e-«/dU,/dU, . . . ./Ùn^, dU„a.

Ces valeurs étant supposées, connues, elles serviront à en déduire les fonctions U, , U^ . . . . Un— i et leurs différentielles, que l'on substituera ensuite dans la formule (5o) , de sorte que la valeur complète

NOCV. MÉM. PRÉM. CLASSE DE t'iNSTIT. TOM. IV. 16

il92 INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

de l'intégrale y s'obtiendra par une suite de n intégrations successives, sans qu'il faille récourir à la résolution d'un sistéme de n équations à n inconnues , "ainsi que l'exige la méthode d'intégration duc à Lagrange et basée sur la variation des constantes arbitraires.

En négligeant les n constantes implicitement comprises dans la formule (5o) , celle ci ne représentera qu'une valeur particulière de y. Désignons la par Y , et par C^y^ , C^y^ .... C„y„ les valeurs particulières énoncées ci-dessus , et dont la somme exprime l'intégrale complète delà proposée dégagée du terme V, on aura évidemment

y = Y H- C^y^ -t- C^y, . . . . + Cnyn ,

Mais si l'on néglige seulement un nombre quelconque m de ces constantes arbitraires y la valeur de y qui en proviendra, n'en restera pas moins une intégrale particulière; et en substituant cette dernière à Y, la valeur complète de y conservera toujours la même forme que la formule précédente, eu égard à l'indétermination des coefficiens G^ C .... On en conclura donc que la valeur complète de Vintégrale de toute équation linéaire ^ se composera d'une valeur particulière quel" conque , et de Vintégrale complète de cette équation dégagée du terme V. ('')

On peut appliquer à la formule générale (5o) l'intégration par parties; on arrivera alors à une expression composée de n termes, analogue à celle obtenue pour le second et le troisième ordre. Elle donnera lieu par conséquent à généraliser la remarque faite à l'égard delà formule (4g).' En supposant que l'on connut seulement les n — i valeurs particulières

(*) Le même théorème a déjà été prouvé d'une autre manière par JI. le Professeur Van Reea , dans la Correspondance Phys. et Mathém. Vol. II. pag. 332. Ce savant géomètre y indique en même tems un procédé jiropre à obtenir l'intégrale particulière, lorsque les coefficiens des terme» de la proposée sont des constantes , et que d'ailleurs la fonction V est de nature à faire pressentir la forme de cette valeur particulière ; procédé qui pourra quelque fois faire éviter avec avantage les intégrations que nécessite l'emploi de la formule (25).

Vi > Vi ••••y»— I » on pourrait en déduire les n — •! quantités u^ , u^....Un~i ; et puisqu'on a toujours w^ -f- m, -}-.... w^ = /Pd^, P désignant le coefficient du second terme delà proposée , cette dernière relation fera connaître w„, et partant la fonction U„i d'où dépend la valeur particulière y„, qui restait à déterminer pour parvenir à l'intégrale complète. 26. Euler avait déjà remarqué qu'il existe un cas général susceptible d'intégration complète ; c'est celui de l'équation

^•"^iZy + Ao;— '±=i^....4-Ma;ily-h% = V; (5l)

A....M,N étant des constantes.

On peut la ramener delà manière suivante à une autre équation de même ordre, et dont les coefïiciens sont constans. Soit a; =6**, ou—z=:du: il en résultera

du dx dx

Prenant u pour la variable indépendante, les coefficîens dififérentiels

!^ , ^ etc., qui supposent la diflFérentielle d^ constante, devront être d.T^ d-T»

transformés en d'autres qui repondent à l'hypothèse de du constante. Cette transformation peut s'effectuer d'une manière générale et assez simple , ainsi qu'on va le voir.

Pour cela, faisons -^ = a, l'équation précédente deviendra

dx

dtf Or , en observant que l'équation

donne (ô)y = ea*^;

on conclura directement de la valeur de « , les relations suivantes :

nX INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

(7u = e» -i- d (îîî^) = e3« -L d (^) ^ ' du M.r' dx ^dx'

(r)(T)»=.»-id{±d(|)}=.3.^d{^^d(|)}.

Donc , en continuant delà sorte , on arrivera à la formule générale

^ ' ^ ' ^ ' ^du dx" dx"

OÙ d^ n'est plus considérée comme constante.

En suivant le procédé ordinaire delà différentiation , on trouvera les mêmes résultats particuliers, mais ce n'est que par analogie qu'on parvient

alors à l'expression générale pour X^ t\' {*) Soit par exemple l'équation du troisième ordre

d.T» dx cl.T

déjà traitée dans le n.° 24 sous la forme

Elle deviendra en y remplaçant

^•é!^ par sa valeur (a)(â)dy=:(d— i) (d— 2) dy=(d»— 3a*+2a)y

et x'' -1- par sa valeur (8) ôy = (ô* — ^)y , dx*

Si maintenant dH-a,d+a, ô+a", représentent les trois facteurs delà caractéristique de cette dernière équation, celle ci aura pour intégrale

y = e-««ye(«— «>dwye(«'-«">dwyVe«"«dw ,

(*) Lacroix. Tom. II. pag. 337,

ou bien, en y introduisant la variable x. .

y'=.x aj"x^^a*—i dxfx^^' o"-i àxfVx^"-^ d.x ;

valeur qui coïncide avec celle obtenue dans le n.° cité, après avoir changé a en a^ — l , a' en a^ — 2, et V en \'x'. On peut la représenter encore sous la forme suivante

les dénominateurs A, A', A", exprimant les produits indiqués au n.° lo. Il est bon d'observer ici qu'on peut parvenir directement à l'intégrale de l'équation (5i), dans l'hypothèse de V=o. En effet, faisons y=a7" , ce qui donnera les équations

J^ = ax'^—^ , J? -J^ = aw ,

àx ax

et en général a?»-^ = a(a — i) {a — 2) .... (« — w+i)y.

L'équation à intégrer se réduira,aprèsavoir supprimé le facteur commun y,à

a{a — 1) .... (a — w+i) + ka{a — l) .... (a — n ' 2) .... -f- Ma-f-N:=o.

Celle ci étant développée et ordonnée suivant les puissances de a, sera du n.™6 degré. En supposant cette équation décomposée en n facteurs aH-û6^, a+fl6^, .... aH-«„, la valeur de y aura évidemment pour expression

y = C^ar— «1 + C,ar— «» . . . . + C„a:— *» ,

dont chaque terme désigne une valeur particulière qui vérifie la proposée dans l'hypothèse dont il s'agit.

En donnant aux quantités X^ , X, etc. , des valeurs déterminées en fonctions de a?, on pourra établir à priori dans chaque ordre, diverses

classes d'équations susceptibles d'intégration complète, soit directement , soit au moyen d'un changement convenable delà variable indépendante , ainsi qu'il a été montré ci-dessus.

27. Nous terminerons ce chapitre par faire voir succinctement que notre méthode d'intégration peut encore s'appliquer avec succès , à la résolution des équations simultanées du premier degré ; objet dont se sont spécialement occupés deux grands géomètres , (T Alembert et Ampère.

Soient d'abord les deux équations du premier ordre

^+PV + Q'^=T'.

P, Q, P', Q', T, T' désignant des fonctions delà variable indépendante t. Si l'on pose

l=r.l=p: S'=,. T^K. |=k: Qd. = d.-.

Les équations données prendront les formes suivantes

dy àt'

%+py-\-x^^.

et pourront par conséquent être représentées plus simplement par celles ci On déduit delà première

Prenant la dififérence de celle ci avec la seconde des équations (53), il viendra •

équation du second ordre, et susceptible d'être mise sous la forme

id){hl/ = Y, (54)

en posant, d'après le n." l6,

M -h w' = /? + y. uu* -{- hu z=: pq -\- ^p — /?'.

Soit = «. i — -=rt

on parviendra sans peine à l'équation suivante

qui servira à déterminer w , w' en fonctions de f^ , chaque fois que son intégration devienne possible.

Quant à la valeur de y , on tirera de l'équation (54) , en mettant pour abréger

y^d/,==/Qwd/=:p, y^'d/, =/Qw'd^=: ju',

et en vertu delà formule (38)

y = e-i«'yèf*-f*'d/,/Vef*'d/^ ,

ou bien y = e-/*yQe"'-/*'d/yVQe^'d/. (56)

La valeur de w se déterminera ensuite à l'aide delà première des équations données.

L'analyse précédente montre que c'est à l'intégration de l'équation {55) que se réduit toute la difficulté du problème. Dans la méthode ordinaire, la détermination du facteur par lequel on multiplie l'une des équations proposées, dépend de l'intégration d'une équation différentielle plus compliquée que celle (55) , comme on peut le voir dans

l'ouvrage de M. Lacroix. (Tom. II. pag. 348). Le procédé que nous venons d'exposer semble donc préférable tant sous le rapport delà simplicité , que par l'avantage qu'il présente de fournir immédiatement les valeurs de y et ^ en fonctions de t , sans exiger une nouvelle élimination, ainsi que le comporte la méthode due aux deux géomètres cités ci-dessus.

Lu cas particulier de P'=o, donnerait, en vertu de l'équation i^^b')

M, = r. d'où w=:j(?. ui-^r-q. iK-zr.jVà.t. p'rzryQ'd^.

Si les coefficiens P , Q , P', Q', ou bien les rapports /? , ^ , sont des quantités constantes, les valeurs de w, m' seront données par les deux équations

u -\- u' zzzp -\- q. uu'zi^pq — p';

on aura de plus

ju = ujQdf. fA>/ = U'JQdt ,

ou bien , lorsque P , Q sont des constantes

l* ^ Quf, f = Qw f;

valeurs qu'il s'agira de substituer dans l'expression générale de y. Lorsque les équations différentielles sont delà forme

(My + N^) d^ -+- Pdy + Qd^ = Td^ (M'y + N'^) d/ -^ P% 4- Q'da; = T'd^,

il est évident que l'élimination successive des différentielles dx, dy, les ramènera immédiatement à la forme que nous venons de traiter , de sorte qu'elles deviendront susceptibles d'être intégrées d'après le même procédé. La méthode exposée par quelques auteurs , exige une relation particulière entre les huit cocfHciens des premiers membres de ces équations , pourque leur intégration devienne possible. Cette relation est •donnée par le sistême d'équations

Q + Ql^—N + Nl dl^^i^l=o

P + P'S- M+M^* iM-t-M'^J

en éliminant entre elles la fonction S*. (*)

Cependant puisque notre analyse a fait voir , que cette intégration pourra s'efiFectuer dans tous les cas où l'équation {55) sera susceptible d'intégration, et indépendamment de toute relation particulière entre les coefficiens variables, il semble que la méthode ordinaire n'offre pas toute la généralité que la.matière comporte.

Lorsque ces coefficiens sont constans , on peut , sans avoir récours à l'élimination préalable de l'une des différentielles , procéder encore delà manière suivante.

Soient les équations

(«y + 6^) d/ 4- «dy -f. /3d^ = Td^ (atj + 6» dt + » dy + (5'dx = T'd^. Posant a:zzûtm, àrzz^n^ az=zobm\ 6'=/3V, elles deviendront

a {^^ my) + ^ {^ + nx) =zT

ou ce qui revient au même,

ml

/3^AW-T

(d)y + e(a)^ = i et et

Or, puisque l'hypothèse actuelle donne {h) {à)y =z (à) {è)y , on peut déduire des équations précédentes, celles qui suivent

(*) Voyez entre autres Garnier, leçon» de calcul intégr. 3.» édit. pag. 335, et Boucharlat, Élémens de cale, différ. et intégr. 4.e édit. pag. 343.

nOTIV. MÉM. PRÉM, CtàSSE DE l'iNSTIT. TOM. IV. 17

m' m fy, m «' m

et K

d'où l'on tire

«quation qa'oa pourra transfaraner en celle ci

ai «2

(d)(d)^ = T,, en posant

Les quantités «^ , a, , pouvant être déterminées au moyen de ces dernières relations, on les substituera ensuite dans l'expression suivante de iT, donnée par la formule (i8)

où les deux constantes arbitraires sont implicitement comprises. Quant à la valeur de y, on l'obtiendra également en fonction de ^, en substituant celle de a,' dans une des équations [Sj), ou bien en éliminant directement cette dernière variable , ainsi que nous venons de le faire à l'égard de y.

28. Passons aux équations du second ordre. Soit à intégrer le sistéme d'équations à coefficiens variables

Eliminons d'abord l'un des coefiRciens différentiels du second ordre; ces équations pourront alors être amenées à la forme

d/» 'd/ ^*d^ ^ 2 ^ iV

de sorte que nous n'aurons à traiter que ces dernières.

Supposons à cet effet qu'on ait intégré séparément, les deux équations du second ordre

OU en d'autres termes, qu'on puisse les représenter par

(a)(dV=o. (a)(V = o;

p , q , p', q\ étant des fonctions de t.

Si l'on fait N^ = Q^w, N^=:Q^%', les équations (58) pourront s'écrire ainsi qu'il suit.

On tire delà seconde

vi' p' q' m' n' m'

m' étant une fonction que nous déterminerons tout à l'heure. Si l'on soustrait de cette nouvelle équation, la première de celles (5g), on aura

m' p' 1 n .m n PI *^' m

(ô) j-(a)(d)^- Q, (d)^ + im^) - (a) (d)]y= W(^)-T,

Prenant maintenant mzzzp-\-q — n'=.V ^ — w, et posant, pour simplifier w'«'+ on' — pq — ^qzzz mn+ ^n — M^ = w'(P^ — n) + ^n — M^

(d)(îi)-T. = RS, Q. = RV, l'équation précédente se réduira à

d'où l'on déduit encore

Eliminant la fonction {à)y entre celle ci et la seconde des équations (69), on obtiendra la suivante

qui, par le développement de son premier membre, conduira aune équation linéaire du quatrième ordre, dont l'intégration sera toujours possible, lorsqu'on connait trois ou quatre valeurs particulières qui y sgitisfont dans l'hypothèse de Vi = o. Quant à la fonction y , son expression en t pourra s'obtenir à l'aide delà seconde des équations (59). N'ayant eu en vue que d'indiquer la marche générale de la solution du problème dont il s'agit , nous ne nous arrêterons pas à discuter ici les divers cas particuliers que les coefEciens variables pourraient présenter pour faciliter l'intégration de l'équation finale. Nous observerons seulement qu'en supposant ces coefficiens constans , les équations (59) fourniront celles ci

p' q' P q P[ 'i' Vi^ p' 1'

d'où l'on tire immédiatement l'équation du quatrième ordre

(% (à) (à) (hi/ - Q. Q. (d) {à)y = fa) (a)T, — Q, (a)T, = V,

qui revient évidemment à

en ayant égard aux relations^

p + q = V,. / + /=P,. /.y = M.. />V = M,. n = ^. n=^, ou bien , en développant le premier membre , on trouvera

{a* + (p,+pja'-h(M,-4-M.+p^p, — Q^Qja^

équation que l'on traitera d'après le procédé général d'intégration exposé au n." 1 1 .

Par la méthode ordinaire le problême est réduit à l'intégration d'un sistême de deux équations du premier ordre à cinq variables; complication qui peut être évitée , ainsi qu'on vient de le voir.

Quelque soit le nombre de variables qui entrent dans les équations simultanées, si les coefiiciens sont des constantes, on s'assurera aisément qu'il n'y a aucune difficulté à parvenir par notre procédé à réquation finale qui restera à intégrer.