FINIES
2g. La méthode d'intégration qui a fait l'objet du chapitre précédent peut s'appliquer avec le même succès aux équations aux différences finies, et nous conduira d'une manière assez simple aux résultats remarquables obtenus par Laplace et Lagrange sur cette partie de l'analyse. Mais , pour ne pas étendre inutilement le présent chapitre , nous allons traiter immédiatement l'équation générale de l'ordre n, à coefficiens constans, d'où \ il sera facile de déduire ensuite les formules qui se rapportent aux
divers cas particuliers.
Soit donc à intégrer l'équation générale
Si l'on y remplace chaque terme yx+h par son équivalent E^y^^ conformément à notre notation caractéristique /et qu'on écrive simplement y au lieu de yxt la proposée pourra être représentée sous la forme
Or , en désignant par a^ , a^....an les n racines de l'équation caractéristique
J'"-hAJ'w— 1 + M=o,
l'équation (i) pourra encore s'énoncer ainsi:
[{E—aJ{E--a,){E--aJ....{E—a„)]y=zY (2)
et indiquera sous cette nouvelle forme une suite de n opérations semblables à effectuer sur la fonction y et ses dérivées successives. Chacune de ces opérations aura pour caractéristique E — a, que nous désigne-
rons par (E) , et dont l'inverse pourra être indiquée par (£') , en
faisant £— * ou — r= £'.
Cela posé, il est évident qu'on déduira de l'équation (2) par un procédé absolument analogue à celui développé' au n.' 1 1 , l'expression
pour exprimer l'intégrale de l'équation
Oi Oi On
qui n'est ^«'une transformation delà proposée ; les coefRciens A^ , A , etc., ayant les mêmes valeurs que celles obtenues à l'endroit cité. Il ne
s'agit maintenant que d'indiquer le moyen d'évaluer chaque terme {E\S , Y étant donné en fonction delà variable x ; c'est de quoi nous allons nous, occuper.
3o. A cet effet, considérons d'abord l'équation du premier ordre
(E)i/ = ( E—a)tj = y.r+i — ay^ = o , on en tire aisément l'intégrale /.^iijj-tt;
a c'est la fonction qui satisfera à l'équation {E)y zzz o.
Donc, en supposant V=o, la formule (3) se réduira à l'expression
yx = C,< + C,al . . . . -i- C„a^ ,
où chaque terme indique une valeur particulière de l'intégrale de l'équation
yx+n + h.yxJ^n-i + '^yx-^^n-i +My^=-o. (4)
Cette dernière équation peut être regardée oomme énonçant l'échelle
de relation d'une série récurrente. Si l'on veut exprimer alors les n constantes C^, C^ .... €« , comprises dans la valeur de y^, en fonction des n premiers termes arbitraires delà série , on y parviendra facilement delà manière suivante.
L'équation (4) donne pour une de ses intégrales premières
Oj Os an
(F) {£).... {E)y,=zc,at ou bien, en développant le produit des n — i caractéristiques,
[JF»-i 4- A:£n-2 ^ B'^~-3 .... -I- M'Jyx = c,a' ; (5)
les coefficiens A', B', etc., étant liés avec ceux de l'équation donnée par les relations
A' — a, = A. B' — œ^A'=B. C — aB'=C, etc.
Si maintenant on suppose x=o dans l'équation précédente, on en déduit immédiatement pour la valeur delà constante
c, =r yn-i -H A'yn-a + B'y„3 .... H- M'y„.
Or , l'équation (5) doit être également vérifiée par la valeur particulière yxzrzC^a"; il en résultera ainsi, après avoir divisé par a'
Et puisque dans l'hypothèse de ^ = o , les deux valeurs de c^ deviendront identiques , on aura sur le champ
On obtiendra évidemment des expressions analogues pour les n — l autres constantes C^ , C3 .... C„ , en changeant seulement a^ en a^ , a^ etc. Les résultats que nous venons de trouver s'accordent parfaitement avec ceux rapportés dans l'ouvrage de M. Lacroix (Tom. III. pag. 2o4) , mais obtenus par une voie moins simple que la précédente.
5]. Lorsque toutes les racines a sont égales entre elles, l'équation (4) prendra la forme simplifiée
Pour parvenir dans ce cas à la valeur complète de l'intégrale , qui doit toujours renfermer un nombre n de constantes arbitraires , considérons l'équation
pétant une fonction quelconque de x. On en tire celle ci
y^^.I = a*+^(X-^AX),
donc a
(iS')y^ = «^+iAX, (5)
et en continuant delà même manière , on trouvera
{B)y^=za'+nA''X. (6)
Donc, pour que l'équation
soit satisfaite, on n'aura qu'à prendre la fonction X telle qu'il en résulte A"X=o, ce qui exige que
X = cix^-i + j3a'»-2 .,., -I- Aar + jM.
Ce résultat nous donne sur le champ pour la valeur complète de l'intégrale dont il s'agit ,
yjc = a^{C -h C,^ •+■ C,a7* .... + C«-.,a?«-'}.
HOUV. MÉX. PRÉM. CLASSE DE l'iNSTIT.' TOH. IV. 18
S'il n'y a qu'un nombre vi de racines égales à a, la proposée pre-' nant alors la forme
a Oi, cil ar
donnera pour son intégrale complète
yx = C^< + C,a^ .... + C,.< + a'' {c+c,x + c,^* .... -f Cm i^»»-i) ; r étant égal à n — m.
Lorsque l'équation caractéristique renferme deux racines imaginaires <*-h/3l/ — 1,« — /3l/ — 1 , les termes C^a' , C^aJ qui s'y rapportent , devront être remplacés par C^(<»-j-/3lx' — l)^ , C,(« — |3l^ — i)^,.dont la somme sera équivalente à
y^ (G'sin mx -\- Q," cos mx) ,
en faisant es* + 13* = y% sin m = n , cos m = - ,
C^+C-C; (C— CJl/-i = C';
et on agira de même pour chaque couple de racines imaginaires, 32, Il résulte delà formule (6), en y prenant n négatif,
{E)-^^y = {EVy = a^-« S«X.
Soit X = — , on obtiendra à cause de ^fzzla^\. la formule générale
{EyY = a^-nJ.'iÇL)-^ (7)
expression qui renferme nécessairement n constantes arbitraires. Dans le cas de n-=zl , il viendra
}.iï
En appliquant cette expression à chacun des termes qui composent la valeur générale de y, donnée par la formule (3), celle ci se changera eu
3^ = A.<2-Z + A.<2-^ + etc. (8)
Elle représentera l'intégrale particulière ou complète de l'équation (i) ou (2), selon qu'on négligera ou non les constantes arbitraires provenant des intégrations indiquées par le signe 2. Dans ce dernier cas la valeur complète de y sera égale à la valeur particulière augmentée delà fonction
C afH-C,af .... + C.<,
qui forme précisément l'intégrale complète delà proposée dégagée du terme V. On remarquera encore que cette valeur complète, telle qu'elle est énoncée par la formule (8), se trouve égale à la somme des produits de chaque intégrale particulière de l'équation (4) multipliée par une fonction àe x\ ce qui établit une parfaite analogie entre les propriétés des intégrales des équations linéaires aux différences finies , et celles aux différentielles.
L'équation générale
Oj Ot On
ai
étant intégrée d'abord par rapport à la caractéristique (E) , donnera
a» Oj On Oi __
(E) {E) .... (^)y = (^)V = aî2-^= V.
Si l'on continue les intégrations semblables , il viendra pour la seconde
et finalement nh-T c
y = «^~i2(±liil)*....2:(^)'2:-^; (9)
^ " ^ an ' ^ai <?*+' * ^^^
no INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
formule dans la quelle le premier signe intégral embrasse tous ceux qui le suivent , et qui est encore analogue à celle trouvée au n.» 1 2 pour les équations difierentielles.
En effectuant l'intégration par parties , à l'aide de l'équation
>r^.ryp-«-SP-SPa^x a — 1
on retrouvera l'expression générale (8j.
Dans le cas de m racines égales à œ , la formule (9) deviendra
valeur à compléter par la fonction ^
Toutes les fois que la quantité V sera une fonction algébrique, ration, nelle et entière de a; , l'intégrale y pourra se développer en un nombre fini de termes.
En effet, prenons d'abord l'équation du premier ordre
d'où y — a^-*!.^.
Or , puisque 2 Va^^ = ^ i Yà-^ — 2 a'- ^ A V | , on en déduira
En continuant ces intégrations, on parviendra facilement à la série y V 1 fV 1 AV 1 A^V . ] y. A"V }
dont le dernier terme se réduira à une constante dans l'hypothèse de V = a 4- /3j; 4- y^* .... + ju^»— ' , qui donne A^'V = 0.
Si l'on remplace chaque intégrale qui entre dans la formule (3) par Ja série précédente, la valeur de y prendra la forme suivante
y = C V -f C, AV H- C, A^ V . . . . H- C„iA»-' V
OÙ les quantités AV, A*V etc. pourront aussi être remplacées par leurs valeurs en fonctions des coefficiens différentiels des divers ordres. Il est facile de voir que l'intégrale particulière y sera alors de la même forme que la fonction V.
