A»» + AA"-' + BA"-^ . . . . + M

en ses n facteurs binômes A + «^ , A + «^ . , . . A -{- a„ ; désignons chaque

facteur caractéristique A + a par A , et son inverse par 2; l'équation (lo) étant identique alors avec celle ci

Ox O* On

il est évident qu*en imitant encore ici le procédé du n.° 1 1 , on en tirera immédiatement

Oi Ot On

Quant à la valeur de chaque terme (2)V, on a d'abord, en intégrant

réquation

a {A)i/x = at/x + Ay* = o ,

qui revient à y^+i -+- (a — i)yx ==o ,

en posant i — a = «, Soit maintenant

yx = <»*X ;

on en dérivera (^)yar =:»'^''''AX,

et en général (A)"ya; = <is^+"A"X

Soit xzz: —% on aura en vertu delà dernière formule

ce qui change l'expression (ii) en celle ci

y, = A(i-« )-2 j^^^ + A, (i-aJ^2^Z p.+ etc.;( 12)

résultat qu'on aurait pu conclure encore de la formule (8) par le

changement de a en 1 — a , en observant que (A)^ = (^)y« L'hypothèse de V = o , réduit l'intégrale précédente à

y^=CJl— a)* + C.(l— «.)^+etc. (i3)

L'équation (A)''yar = o, représentant le cas d'égalité des n facteurs

caraclétistiques , sera évidemment satisfaite en prenant A'»X = o, c'està-dire par la fonction

qui en sera l'intégrale complète.

Tout ce qui a été remarqué ci-dessus relativement à l'intégration de l'équation (2J, devient également applicable à celle de l'équation en A ; c'est pourquoi nous croyons inutile d'entrer dans plus de détails à ce sujet. Il nous suffira d'avoir indiqué un procédé direct pour parvenir à l'intégrale de cette dernière équation.

34. Nous allons traiter actuellement les équations dont les coefficiens des divers termes sont des fonctions delà variable x.

En commençant par le premier ordre , il s'agira d'intégrer celle ci

qui prendra la forme

p ou bien, si Ton dénote la caractéristique E — P^ par E ^ et celle de

l'opération inverse par E\ elle deviendra

d'où l'on déduit

Pour obtenir l'expression de cette intégrale, considérons d'abord l'équation

on s'assurera sans peine, en y faisant successivement ^=0, 1,2, etc., qu'elle sera satisfaite par

Sr^ = C.P„.P ....P,x = C[P:,]

conformément à la notation factorielle.

lU INTÉGRATION DES ÉQCATIONS LINÉAIRES.

Soit à présent

X étant toujours une fonction de x; on en déduira

donc (£')y^ = y^+x— .P^y^=tP;"^']AX.

partant (^)Vx =[?:+?] A^X.

et en général {E)y, = [P^+^L,] A"X ( 1 4)

ou bien, en écrivant x-\-n au lieu de x

c'est-à-dire (!')« [P^+^^JX = [P:.]2"X. ( i6)

Si Ton y fait n=l, cette dernière formule donnera, en mettant X=r

En supposant P égale à une constante , on retombe sur la valeur déjà trouvée

Soit Vx^^^a"^, on aura [P^,] = a'' ; donc l'équation

aura pour intégrale yx-=.a ^ 2 Va * •

35, Passons aux équations du second ordre dont la forme générale est

yx+2 H- %a;+i + Sy^ = V.

L'application de notre méthode indiquera de suite la difficulté qui s'oppose à l'intégration complète de cette équation. En effet, supposons que la caractéristique de son premier membre soit décomposable en deux facteurs du premier degré E — P'^, E — P^ , de sorte que la proposée puisse être énoncée sous la forme simplifiée

Cela posé, une première intégration nous donnera, en vertu delà formule (17)

y. = [P: ,]2— ^=[p:JZ!-^2— 5^; (iq)

Intégrant une seconde fois , il viendra

valeur qui renferme deux constantes arbitraires. ^

Si, pour' abréger, on fait . ^~ = Qa;, cette intégrale se changera en

y. = [P:i,']2[Q:j2^-pqT3>

expression qui pourra se décomposer en deux autres intégrales , ainsi qu'on va le voir. La formule connue

HOUV. HÉM. PRÉ«. CLASSE DE l'iRSTIT. TOH. IV. 19

donne, en y écrivant ^q à la place de y,

Si l'on applique celte formule à la valeur de y^» que nous venons d'obtenir, il en résultera la suivante

Dans le cas de V = o, 'on aura simplement l'expression

dont chaque terme indique une valeur particulière de l'intégrale qui se rapporte à ce cas. Elle sert en même lems à compléter la valeur de ysct donnée par une des formules (20) ou (21). On remarquera aussi que cette valeur est formée de la somme des produits de chacune des intégrales particulières qui repondent à y = o, mulltpliée par une fonc* tion de x\ propriété analogue à celle qui s'est présentée sous ce rapport dans les équations différentielles du second ordre.

Cherchons à présent les relations qui doivent avoir lieu pour pouvoir effectuer la décomposition caractéristique que nous avons admise ici.

En posant l'équation

on en tirera %x^i^=zyx-\-^ — P.r+iya;-i-i;

donc %^+,-'r^%^z=.{E)%,:=z{E){E)y^

= y-«-+2— (P:r-l-i-'rPyy.r+,-î-P^P;y^=V.

La comparaison des termes de cette dernière équation à ceux de la proposée , fournit immédiatement les relations

P^^-,-fP',== — R. P^P:r=S; (22)

d'où il s'agit de déduire les valeurs de P^ etV'.v en fonction de Xy ce qui reviendra à intégrer l'équation du premier ordre et du second degré

Px(P.+i^-R) = — S; (23)

intégration qui ue parait pas possible en général dans l'état actuel de l'analyse. Toutefois , ces deux relations offriront le moyen de déterminer à priori plusieurs cas d'intégrabilité , en attribuant diverses valeurs 4 la fonction P^;.

Dans le cas particulier de R=o, on aurait à intégrer l'équation plus simple P^; P^-{-i = — S, ce qui pourra s'effectuer facilement, en Ihettant P^=e^x, S = — e^; on obtiendra alors l'équation

dont l'intégrale est

d'après ce qui a été trouvé au n." 32.

Si la fonction X est de nature à faire évanouir la différence A^X , la valeur précédente de Zx pourra s'exprimer par la série

Quant à la valeur de y^., la formule (21) fournira dans le cas actuel, à cause de

P'.=-lp.+,;Qx=^=-i, d'oùrésulte 2[Q:j=2(-l)-=i(-i)-S OU bien, en faisant V = — ST = P^ Px+i T

pour l'intégrale de l'équalion

yx+2 ■+- Sy^ = V.

Le produit [Pa;,] sera équivalent à e^-*; et puisqu'on a z^-j-a^-4-, = X, ou %x = - "t il viendra [P^,] = e* ; expression où il faudra

substituer à «^ , sa valeur donnée par la formule (24). L'hypothèse de V = o, réduit l'intégrale précédente à

36. La difficulté que nous avons signalée ci-dessus en traitant l'équation

di'sparait chaque fois que l'on connaisse une valeur particulière y'^ de l'intégrale, lorsque V=o, En supposant alors y'ar=[P^J, on en conclut sur le champ

r^__ — - — . JTj- — <J. \Ja; c; : O— i ;

y ^^ y x-hi -P* y^+i

S— 1 désignant la valeur que prend la fonction S par le changement de X en X — 1. Il ne restera ainsi qu'à substituer ces valeurs dans la formule (21).

Pour que la proposée puisse prendre la forme

(^-P,)V, = (^)'y, = V, les coefficiens R, S doivent être liés entre eux par la relation

ainsi que cela résulte des équations (22). On aura de plus Px = V^S,et l'intégrale aura pour expression

fc=(i')-V=[P:,12--^ (25)

en vertu delà formule générale (iC). Celte intégrale devra être complétée

p par la fonction {C + C^^} [P^-,] , qui vérifie l'équation (£')'y^ = o.