L'équation du troisième ordre
yx+z + Qy^+2 + Ryx+i -h Syx = v ,
qui revient à celle ci
pourrait être abaissée d'un ordre , s'il était toujours possible de remplacer la caractéristique de son premier membre , par une autre de la forme
d'où Ton déduirait immédiatement
yx+2 '^XVX+I + '^XVX = [Px-l] 2 .
Désignons par %x cette première intégrale; on tire delà p "
En comparant les coefficiens de cette dernière équation à ceux de la proposée , on aura
P^ + M^+r = — Q. N.+x + P:rM^ = R. PA = — S; (26)
relations qui devront servir à déterminer les fonctions inconnues Pa-,Mj,Nar.
A cet effet multiplions la seconde par Vx+i , elle' deviendra , en vertu
de la troisième
M^P^P^+r — S, = RP^+,;
d'où M:r-|-iPa;-f-iPa;-J-2 S, = R,P-t+2.
Or, la première des trois équations (26) donnant
P^P;c j iP;r+2 + Mx4-iP^-{-iP*+2 + Q Px+tP:r4.2 = O ,
il viendra, en la combinant avec ïa précédente,
PxPx-l-iPxH-a + Q P*-F iPx+2 + R,P^-{-a = — S, ;
équation du troisième ordre et du troisième degré , qui est évidemment plus difficile à traiter que la proposée elle-même ; d'où l'on voit comment les difficultés d'intégration augmentent avec l'ordre des équations.
Mais si l'on connait deux ou trois valeurs particulières de l'intégrale qui repond à l'hypothèse de V ?= o , la valeur complète de y^. pourra se déterminer ainsi qu'il suit.
Admettons que la proposée puisse être mise sous la forme simplifiée
i<*intégration conduira successivement à
Q^'ar étant égal au rapport
en faisant Q x = ■ ^ ' ; expression où le premier signe intégral embrasse ceux qui le suivent, et qui devra être complétée par la fonction
[?:" x] { C + C 2 [QT ] + C 2 [QT] 2 [Q^]}
AUX DIFFÉRENT. ET AUX DIFFÉR. FIISIES. 151
Soient maintenant
y. = [p::;]. y\ = Ki;] 2 [QT']. y". = Kz:.] 2 [Q r '] 2 [Q"3
les trois valeurs particulières dont il s'agit. La première fournira de de suite P^ = ?^i±i. La seconde donne d'abord 2 \Q'Z'~']=^-^=z z^i donc [Q'2~ ] = A^it* ^'^ ^"'® ensuite de la troisième
donc 2[Q"^]=:-^'-=«^[Q":] = AsV
Or, il résulte des valeurs de Q'.tï Q'x, Iji relation P', = P..^^Q'..+,QV;-.;
d-oûiisuii [!":■■"]= [pSI] [Q'Sa [Qiî;)
En substituant cette valeur de [P^J"'"'] ainsi que celles de [Q//^], [Qi"~S indiquées ci-dessus, dans la formule (27), on pourra exprimer l'intégrale ifx en fonction de V et des trois valeurs particulières y'^,, y"^, y" qui se rapportent au cas de V = o.
Si l'on n'avait que deui valeurs y/^, y' x connues, la fonction P''.t se déteniiinerait de la manière suivante.
On a évidemment la relation V^-\~V'x-i-ï-{-^.x-\-z^=^ — Q qui représente le coefficient du second terme de l'équation à intégrer.
Or P x-i = Px Q'x , donc P'<r+i = P^+aQ *-j-c
P''^ = — {Q 4- P.-I-2 ( IH- QV+.)) et d'après ce qui a été trouvé ci-dessus , on aura
n% INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
par conséquent P''^ = — [q + ^-^ (^ifdj t^5f±!) |
ùkZx-
Q-.=z:^.=^j:iri. [Q-^]j^;-o
valeurs qu'on substituera ensuite dans la formule (27).
Celle ci étant susceptible d'une décomposition intégrale analogue à celle opérée dans le second ordre (n.° 35) , il est facile de s'assurer que la valeur de yx sera égale à la somme des trois valeurs particulières y'x, y *i y" XI multipliées chacune par une fonction de x] propriété qu'on a également remarquée dans les équations diflférentielles , et qui s'étend encore aux équations des ordres supérieurs.
Dans le cas particulier de V^"^^^ ar^ï*'-^» ^^ proposée prendra la forme plus simple p
d'où y,=:(^rv=[p:jr V
en vertu de la formule ( 1 6); valeur à compléter encore par la fonction [P^, J
p (CH-C,^+Cj.a;') qui vérifie l'équation {E)»i/3;=^o. On trouvera aisément à l'aide des équations (22) et (26) que les coefficiens Q, R, S devront alors satisfaire aux relations
Q = IKS + IKS^ + ^S, . R = IKS» + IKS; + ^S S, ;
P* étant égal à — iKS.
38. Il existe dans chaque ordre de différences, deux classes d'équations susceptibles d'intégration et que nous allons indiquer ici.
Soit yj; z=.Vz^^ V étant une fonction quelconque de x. Cette équa. tion fournit les suivantes
yx+i = P,«a;-l-i. y-r-f 2 = P,«x+a yx+n = P„«xH-/i.
Supposons maintenant qu'on ait tiré de l'équation générale
tixJ^n + A»-c+n-i + B%x+n~2 . . . ' + ^*« = O t (28)
l'intégrale %x=z C, a'^ + C^a' . , . . + Cn a*.
Si l'on remplace Zx par sa valeur ^, l'équation (27) prendra la forme suivante
y^+n + A -^ yx-t.«-i H- B -^ yx+fl-2 . . . . + M^ y^ = o,. (28) et aura pour intégrale complète
Faisons P = [X*] , il en résultera Ces valeurs changeront l'équation (28), en y écrivant x au lieu de x+n , en
y^ + A Xxy«-i + B [Xa:] ya;-2 C [Xa;] ijx-z .... 4- M [X^] y^-n =p dont l'intégrale sera par conséquent
Soit encore P = , on déduira de y^= 1 %
d'où l'on voit que l'équation
[ar+w— i]yx+n 4- A[x+w — 2]yx4.n-i....+ Mj:yx+i + Nya;r=0. (29) se ramènera à
%x+n H- A«a;H-n-i . . . . + MsJjr-f-i + NSj = 0 HOOT. KÉV. PBÉH. ClÂSSE DB t'iWSTIT. lOll. IT. 20
184 INTÉGRATION DES ÊQDATIONS LINÉAIRES, en posant yj; = £liJ- , et aura pour intégrale complète
3g. Les équations simultanées aux différences finies sont susceptibles d'être traitées d'une manière tout-à-fait analogue à celle appliquée aux équations différentielles. En effet , considérons celles du premier ordre et dont la forme la plus générale est
M^ yx+i + N^ yx + R.r ^x+i -{- S^. «^ = T^
Il est aisé de voir qu'on pourra toujours , en éliminant successivement %x+i 1 yx+i » les ramener à la forme suivante
y'x y^+i — Q-r Vx + 2^ = u^ ]
Faisant Q^zr^w^Pa., ces équations pourront encore être représentées ainsi qu'il suit
On déduit delà première
{JE) Zx + lA^yt = U'ar. )
P' Substituant dans celle ci la valeur de {E)%j, tirée delà seconde, on
parvient de suite à l'équation finale du second ordre
(iT) [p, (i?)y,] ;.',y,= ( JS-) U, — U; = V,
qui , après avoir efiFectué les opérations indiquées dans son premicF membre, deviendra
OU bien
Cette équation finale étant indépendante de toute relation particulière entre les coefficiens des termes des deux équations (3o) , devra ainsi être regardée comme renfermant une solution plus générale que celle donnée par la méthode ordinaire. (Lacroix. Tom. III. pag. 24o.) Lorsque ces coefficiens sont des constantes, l'intégration complète de l'équation (3'2) sera toujours possible par la méthode exposée au n." 27
du chapitre précédent; et l'on parviendra alors directement aux valeurs
p de yxi'^x ^^ fonction de a: ; »^ étant égale à U^, — fA^(E)y^, d'après la première des équations (3i).
Il sera superflu de nous occuper de même des équations du second ordre; ce qui précède pouvant suffire à indiquer la marche à suivre à cet égard, et qui d'ailleurs sera parfaitement semblable à celle développée au n.** 28 , pour les équations différentielles.
Octobre d82i.
