MÉMOIRE

L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUXDIFFÉRENTIELLES PARTIELLES À TROIS VARIABLES.

R. LOBATTO.

1. Malgré l'importance des travaux sur l'intcgration des équations aux différentielles partielles, dus aux géomètres modernes qui, depuis Euler et (T Alemhert ^ se sont attachés à perfectionner cette branche d'analyse , on ne saurait cependant disconvenir que les méthodes employées jusqu'ici laissent encore beaucoup désirer sous le double rapport de l'uniformité et delà généralité. Diverses classes d'équations différentielles , amenées par l'application de l'aralyse à des questions de physique et de mécanique , ont déjà fait l'objet de profondes recherches delà part des premiers géomètres de ce siècle , parmi lesquels il suffira de citer les Laplace^ Lagrange ^ Poisson^ Fourier^ Cauchy ; recher. ches où l'on admire les efforts que le génie a du faire pour vaincre les difficultés qui avaient arrêté d'autres géomètres moins heureux dans leurs travaux. Toutefois, en regardant la disparité des méthodes d'intégration , et la prolixité des calculs qu'elles exigent souvent , on se convaincra sans peine que la matière est loin d'être épuisée encore , cl que les progrès ultérieurs dans cette partie de l'analyse ne peuvent

provenir que de l'emploi de nouvelles méthodes tendantes à simplifier et à généraliser en même tems les procédés d'intéjçration. A cet efiFet, je pense (|u'il deviendrait indispensable d'adopter de nouveaux signes propres à représenter l'ensemble de diverses opérations analytiques, et à former la base d'une espèce d'algorithme de calcul, applicable à ces opérations. On a déjà pu remarquer dans le mémoire précédent , les avantages d'une notation simplifiée en ce qui concerne l'intégration des équations difierentielles ordinaires; c'est dans le même sens que je vais présenter ici quelques nouvelles vues relativement à la théorie de l'intégration des équations aux différentielles partielles. Le présent travail qui se borne aux équations linéaires à trois variables, ne doit être considéré que comme un premier essai sur la matière, et dont je reconnais toute l'imperfection. Mais en attendant que je puisse m'occuper à étendre mes recherches aux équations d'un plus grand nombre de variables , je verrais volontiers que la publication de ce travail préliminaire put donner lieu à ce que d'autres géomètres perfectionnent les vues qu'il contient, et qui, à ce que j'espère , ne seront pas jugées indignes de fixer leur attention.

2. Les équations aux dififérentielles partielles de tous les ordres, sont susceptibles d'être rangées, sous le rapport delà difUculté de leur intégration , en deux classes principales ; savoir :

I,° Celles qui établissent une relation entre la fonction inconnue et ses coefficiens différentiels partiels , multipliés chacun par une constante.

2.° Celles où les facteurs qui affectent ces coefficiens différentiels sont des fonctions d'une ou de plusieurs variables indépendantes.

Nous ne traiterons pour le moment que les équations des premier et second ordres , en suivant pour chaque ordre la classification ci-dessus énoncée.

§ 1. Equations différentielles du premier ordre,

3, Soit % une fonction des deux variables indépendantes or, y, et désignons, conformément à la notation adoptée dans notre mémoire sur la théorie des caractéristiques , par c)^2, ^^a, les coefficiens dijfférentiels partiels de cette fonction, pris par rapport aux variables x^y. L'équation la plus simple du premier ordre , appartenant à la première classe , sera représentée par

hx'z + « dysn: o.

On parvient directement à la valeur de son intégrale , en substituant aux coefficiens différentiels partiels , leurs expressions en fonction delà caractéristique E ^ ce qui transformera la proposée en

[l(^.)-{-al(^,^)]2==o;

d'où l'on tire l'équation caractéristique l(^x) + «I(^y) = o, qui donne la relation Ex'=-{Ey)'^ ; donc, à cause de 2j= j&^Zy.o (le mémoire cité n." 19), il viendra en y substituant la valeur de Ex

■ax

c'est-à-dire z-:=<p(i/ — ax) ^

pour l'intégrale cherchée ; (p indiquant une fonction arbitraire.

Cette intégrale peut s'obtenir encore ainsi qu'il suit. Si l'on remplace la caractéristique aby par la constante A, l'équation différentielle

bjZ H- Az =0, qui en résultera , aura évidemment pour intégrale complète

Ecrivant maintenant au lieu de A , sa valeur caractéristique, il viendra pour l'intégrale cherchée

a = e-«^V cp(2/) = <p{y—ax).

Représentons par la caractéristique D^, l'opération à effectuer sur la fonction z, pour en déduire la valeur de ^.r^-\-ady%-, cela vevient à poser la relation caractéristique

L'équation D^ariro,

étant intégrée par rapport à cette nouvelle caractéristique , donnera d'après ce qui précède