Soit maintenant

z = V<p{y—ax) (1)

où le facteur P exprime une fonction de x et y; on trouvera aisément, en effectuant sur cette équation, l'opération indiquée par Do,

Do« = D«P.cp(y— a^) (2)

d'où l'on voit que la fonction arbitraire se comporte ici de la même manière qu'une constante dans la différentiation ordinaire

En repétant successivement la même opération , il viendra en général

Ty^z = -Dy.<p{y—ax), (3)

où l'exposant n énonce le nombre de fois que l'opération dont il s'agit a été effectuée sur les fonctions », P.

Si l'on désigne l'opération inverse -^ ou D~\ par le signe intégral

Sa , on trouvera de même l'équation générale

J)-\ = Sy = S:P. <piy-ax). (4)

Lorsque le facteur P qui entre dans l'équation (i) est seulement fonction de iT ou de y , on aura dans le premier cas ,

By=^.<p{y-ax) ) (5)

S>=yPd^.(p(y — a^), et dans le second cas,

. S:*=:-l7Pdyn.(p(y-ax).

Supposons Do2 =r o ,

on satisfera à cette équation de deux manières; d'abord en prenant P = Aa?«-i + Ba;»»-2 + M^ + N,

intégrale de l'équation — = o ; ensuite en faisant

P = AV«-^ + BV"-= . . . . + M'y + W, intégrale de" l'équation -1- = o ; il en résultera

%= {Aa;w-i + Bar«-2-|-etc.} <p(y — ax) , ou bien a = {A'yw— i ^ 'B,'ijn—2 ^ etc.} (p(y — aa?).

Aucune des deux expressions précédentes ne représente cependant la râleur complète delà fonction %, donnée par l'équation Iilz = o. En effet, si l'on observe que chaque intégration successive par rapport à Da, introduit une nouvelle fonction arbitraire (Ç>(y — ax) ^ il est évident qu'une première intégration donnant

HOCY. HÉIII. PKÉM. CLASSE DE l'inSTIT. TOM. IV. 21

16â INTEGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX

une seconde fournira

ainsi que cela résulte delà dernière des équations (5) , en y supposant P=i et w=i. Or, par la nature des fonctions arbitraires, celte expression peut se réduire à

I>"~'« = (p (tj—ax) + x<p^ {y — ax) .

En raisonnant de même sur la troisième intégrale , on verra facilement qu'elle s'exprimera par

D"~^» r= (^{y— ax) + xc^Xy — «•=«^) + -^'^/(y— a^)

et ainsi de suite , chaque nouvelle fonction arbitraire étant multipliée par une puissance plus élevée àe x \ on en conclura pour la valeur complète de l'intégrale w™^.

a = (^(y — ax) + ^'(pj(y — ax) + x'^d^^V — ax) + x'^--^(Pn-i(y—ax) (7)

Il est évident qu'on aurait pu obtenir delà même manière

% z=.<!?{y—ax) + y<p,(tj—ax) + y^d^^{y-^ax) . . . . + y^-'(!?n-i{y—ax) (8)

Ces deux expressions qui comportent la même généralité , satisferont à l'équation

exprimant sous une forme abrégée , l'équation de l'ordre n^^

(d- -f- ad )"a = \-na h a .... H- a" — =0.

^ y' dr» àx"—H\y 1.2 d.r"— »di/* dy»

^ "Gés mêmes expressions serviront en outre à compléter la valeur

de S^a donnée par la formule (4), afin de lui donner toute la généralité possible; ce qui établit une analogie remarquable avec les intégrations ordinaires.

5. Passons maintenant à l'équation du premier ordre d^z -+- a^y% — V = o ,

contenant un terme V fonction de l'une, de deux ou des trois variables à la fois.

Cette équation qui peut être représentée plus simplement par

donnera immédiatement pour l'intégrale cherchée , l'expression

2 = SoV + <p(y — ax) ;

ce qui ramène la question à celle d'obtenir la valeur de S^V, quelle que soit la forme de cette fonction.

Supposons d'abord que V ne contienne qu'une seule variable x ou y; dans cette hypothèse , on aura évidemment

s«v z=fYdx , ou = ^yvdy,

ce cas particulier rentre ainsi dans l'intégration ordinaire.

Lorsque V est une fonction de ^ et y à la fois, on fera y — axzzzt^ et l'on remplacera la variable y par sa valeur t-\-ax, V devenant alors une fonction des variables x^ t ^ on pourra toujours la supposer développée suivant les puissances de x multipliées par des fonctions de /. De cette manière la détermination de S„V sera réduite à celle de la quantité SaAa;"<p(^), qui exprime le terme général du développement deV. Or, puis qu'en vertu de la dernière des équations (5), la fonction (?(/) se comporte dans chaque terme comme une quantité constante, on remarquera sans peine, que l'on pourra se dispenser d'effectuer le développement dont il s'agit; et que toute l'opération se bornera, après avoir changé V en une fonction des variables x^ t, k intégrer Vd^, seulement par rapportât, en y regardant <f comme une constante, qui devra être remplacée ensuite par sa valeur y — ax. Les deux exemples suivans éclairciront ce procédé.

Soit i'. y -s^xy. Cette fonction se transformera en tx^ax* , d'où il suit f\àx=.'-tx^ -\-lax\',

donc %z=zSaXy=z^ {y — ax) ^"^ -\-\ «-^^ + <P{y — ax)

zzz - x^y — - ax' -\- (P(y — ax)

sera l'intégrale complète de l'équation

^^% H- aby% = xy.