V = or* + y* ; on aura

Jydx =-f{t^ + "^axt ^- (a*+i) ^'}da;

donc % = S„{x'+i/) = xy' — ax'y + (— +-)^' + <^(y—ax), exprimera l'intégrale complète de l'équation

6. La règle que nous venons de déduire de notre théorie pour obtenir la valeur de Sa4^(^, y), quelle que soit la forme de cette fonction, revient au fond à celle donnée, quoique d'une manière moins simple, par les méthodes d'intégration employées jusqu'ici (*). Mais il importe de faire voir maintenant , qu'on peut-môme éviter l'élimination delà variable y , au moyen de sa valeur t-\-ax^ en appliquant à l'évaluation de S„ <p(j?, y) une méthode d'intégration par parties, tout à fait analogue à celle employée dans le calcul intégral ordinaire. En effet , il est facile de s'assurer qu'en représentant par X une fonction de x^ et par Y une fonction de y, on aura la formule

D„XY=:Yc)X + «XDY. (9)

(*) Voyez entre autres Lacroix. Tom. II. pag. 538.

Changeons ÔX en X , et X en X', il viendra, en intégrant par rapport à D^ ,

S„XY = X'Y — aS«(X'^Y) (lo)

X' étant égal à fXAx,

Chaque fois que Y sera une fonction algébrique et entière de y de l'ordre w, celte dernière formule ramènera l'évaluation de S^XY à celle

de fxdx^. On tire encore- de l'équation (9) , en y changeant OY en Y

et Y en Y=frdij

S„XY = ^|XY — Sa(YOX)|.^ (il)

Si la fonction X est de nature à donner è"Xz=:o, l'évaluation de S„XY sera ramenée par cette formule à celle de / Yd?/".

Dans le cas particulier de X=i: 1 , la formule (10) donnera

S„Y=^y — aSo(arôY) (12)

et la formule (11)

S,Y=lfYdy ^ (l3)

ainsi qu'il à déjà été indiqué dans le n.° précédent.

Or, puisqu'il est toujours possible en général, d'exprimer la fonction V au moyen de produits delà forme XY, on pourra alors appliquer à chacun de ceux ci, une des formules (10), (1/).

Soit d'abord Y=xi/, on en tire immédiatement en vertu delà première de ces formules

SaXy =zy — — a / — dx =z - yx — z ax' ' 1 J 1 2 6

Prenons encore V = ^* + y^; on aura en vertu delà formule (12)

= xf—ax^y-{-('Ùtl)x*

résultats conformes à ceux obtenus par notre première méthode d'intégration. Mais, en évaluant S„y^ d'après la formule (i3), on obtiendra pour So(^*+y^) l'expression plus simple

qui semble différer du résultat précédent. Cette différence tient uni-, quement à ce que la quantité

y^ — Sa-vy» -j- S^/'-T'y — a^x^ (y— ax)*

que l'on obtient en soustrayant le premier résultat du second, pourra être englobée dans la fonction arbitraire 0{i/ — ax) , qui doit compléter chacune des. deux intégrales. Ces deux expressions sont donc également exactes. Soient en général P , Q , deux fonctions des variables x, y k la. fois , on trouvera sans peine que

D„PQ = PD„Q + QD„P (i4)

D„ (I) = 2M^llM (.5)

DaP'» = wP"»-'DaP (l6)

D„eP=ePD«P, (17)

relations analogues à celles données par la différentiation ordinaire , et qui nous seront utiles dans la suite.

La première fournira encore la suivante , qui servira à l'intégration par parties

SaPQ = PS«Q^SJD,PxS,Q], (,8)

et qui comprend comme cas particuliers, les deux formules (10), (11) 7. L'intégration devient plus compliquée et très souvent impossible à effectuer, lorsque le terme V contient les trois variables à la fois. Nous n'entreprendrons pas de traiter ce cas général ; mais nous nous bornerons à indiquer divers cas particuliers, dont l'intégration se ramène

aisément à celle des équations contenant un terme V seulement fonction

des deux variables indépendantes.

Supposons en premier lieu Y=:ccz + T'T désignant une fonction de

jp, y, et (34 un facteur constant. L'équation différentielle pourra s'écrire

alors isous la forme

(Da — «)2 = T.

Pour intégrer celle ci, faisons !5=e*^Z; d'où l'on tire

Das — «« = e^^DoZ + Zc)e^^ — «e^^Z = e'^^D^Z.

La proposée se changera ainsi en

e'^^DaZ = T, ou bien DaZ = c-«^T.

II s'en suit immédiatement

Z = Soe-«^T + (p {ij—ax) donc « = e^*{Sae-«^T + <p(y — ax)}.

En intégrant par parties, d'après la formule (18), on trouvera encore pour la valeur de 2 , la série

Donc si la fonction T est de nature à donner BiT =: o , la série précédente s'arrêtera au terme db -^ I^o T.

Soit V = «T: la supposition 2 = e* donnant Da« = e'Da/ := «D^/, la proposée se réduira à Da^ = T, d'où il résulte

/=:S„T + 4>(y— ao;), T exprimant une fonction des deux variables indépendantes ; donc » = e^''^(^{y-^ax).

168 INTEGRATION DES EQUATIONS LINEAIRES AUX

Bans le cas particulier de T z=z a . il viendra

Soit encore V= «"T ; on posera /z=r~î— 2^~", d'où Ton tire ce qui réduira la proposée à celle ci

donc i?=S„T + ;î>(y— a^),

partant %^'->^ = (i— -n) SaT j^(p{y—ax)^

Supposons plus généralement V=^4/(s)T, T indiquant toujours une fonc-

-^, on en déduira

Da^ = T. ^ = SaT + <p(y— a^) z= /Jji-,

ce qui établit une relation entre les trois variables et la fonction arbi. traire.

8. Considérons maintenant l'équation du premier ordre et delà secon< de classe

Pd,^ + Q^j,« — R = o; (19)

où P, Q,R, représentent des fonctions des deux variables ^,y.

Pour faciliter Ja recherche de son intégrale, supposons d'abord R=o, de sorte que nous aurons à traiter l'équation plus simple

Vd^.% + QàyZ=:o. (20)

laquelle nous servira ensuite à obtenir l'intégrale de l'équation (19). En la mettant sous la forme

— H- '^- = 0, Qdr^PcLr '

et posant ensuite y Qda? = w, Jvdy=ztj les nouvelles variables seront encore des fonctions de ^, y; et l'on aura, au lieu de l'équation proposée , celle ci

àz , àz

qui rentre dans la première classe , et dont l'intégrale est

Donc, chaque fois que la différence Vdy — Qd^, représente une différentielle exacte dU , on aura / — u-=J{^dy — Qd^) = U

et a = (p(U).

Dans le cas contraire, on pourra toujours multiplier chaque terme de l'expression différentielle par un facteur jw, propre à rendre intégrable J'équalion

Vfjbdy — Q/*d^=:o.

Si donc U représente cette intégrale, on aura encore 2=:cp(U); ce qui est conforme à la méthode ordinaire.

Lorsque P=cp(y) et Q=4^{x)^i[ viendra, en posant^dy=P', yQd^=Q',

« = (p(P'— Q), Soit , par exemple , à intégrer l'équatjon

ydjg'z — xdj%z=zO; on aura P'=iy*, Q'= — io;*; donc !S=:cp(^*-|-y*),

Lorsque P = (PW, et Q = 4^(y) , onîera J^'^=:V\ f^=zq\

la proposée devenant alors

dz , dz

lOOT. SÈa» PRÉB. CLASSE DE l'iUSTIT. TOM. IV. 22

il en résultera encore ^,^, ^,.

Prenons pour exemple l'équation elle donnera P'rrioga?, Q = logy, et par conséquent

g. Si, pour simplifier, on écrit j» au lieu de ^; l'équation (20) se réduira à celle ci

où p exprimera en général une fonction de ir, y, Désignons par la

caractéristique D^, l'opération dx+pàj- à efifectuer sur la fonction a»

et soit u l'intégrale de la fonction différentielle dy — jt?dx, multipliée au

besoin par un facteur p^ que l'on peut toujours regarder comme compris

dans les fonctions P et Q; il est manifeste, d'après ce qui précède, que

l'équation ^

aura pour intégrale %z=z<p(u).

Soit à présent « = ?(?(«),

P exprimant une fonction des deux variables x,y; on en déduira pareillement, en la différentiant par rapport à D^, les équations

De même, en désignant par S^ l'opération inverse de D^, on trouvera

Lorsque P est fonction seulement de .r, les équations précédentes se réduisent aux suivantes

S^;s:=yPd^.<pi(w). Sj2; = yPda?".<î)(M). (24)

En supposant P fonction seulement de y, la première des équations (2 j) donnera

Mais ici les différentiations ou dérivations successives donneront lieu à des expressions de plus en plus compliquées , à cause delà fonction p à deux variables qui y entre comme facteur. On tire de l'équation

(25) en y remplaçant -— par P', et à cause de ;5 = P(p(w).

S^(/?PX«))r=/P%(p(w). (26)

L'équation D^5:=o,

ayant pour intégrale première

D^~'^ = 4)(w), son intégrale seconde sera, en vertu des équations (24)

D"~ ^ = a? 4) (w) -i- (?>'(«') • Et en continuant de la sorte, on en déduira

D^-^^: = ;p* 4) ( w) + ar cî)'(w) + <^\y)

et en général

z = x'^~^ cp(w) -h «"— ^ <^{u) ,,,.-\-x cç>('»-2)(w) 4- <f>(»-i)(M) ,

expression composée de n fonctions arbitraires de u , et qu'il faudra ajouter au second membre de l'équation

pour obtenir la valeur complète de S^« ; ce qui coincide avec ce qui a déjà été observé ci dessus (n.° 4), pour le cas où j» désigne une constante.

lO. Reprenons à présent l'équation générale du premier ordre On pourra lui donner la forme simplifiée

en posant ^=j», — =:M; et il en résultera

u étant toujours l'intégrale delà fonction dy — />da:(n.°8).

Il s'agira maintenant d'obtenir la valeur de S^jM , quelle que soit la composition delà fonction M en a: et y. Pour cela , concevons cette quantité développée en une série dont le terme général soit X(p(w),

X étant fonction de x seulement. Or, puisque S^X<p{u)=zJ\dx. <p{u) , il est évident que toute l'opération reviendra à éliminer d'abord la variable y, à l'aide de l'équation u=zf(x,y), et à intégrer ensuite la différentielle Md^ = t|/(a7, u)dx , en y considérant u comme une constante, que l'on remplacera, après l'intégration, par son expression en X et y. On voit que ce procédé est entièrement analogue à celui indiqué au n." 5, lorsque p est une constante. Voici quelques applications: 1.° Soit d'abord l'équation

xi^^z-\-ybyZ = n1^(aj' + y^).

Elle donne p = 1i. m = n}^{i +^\

En intégrant l'équation dy — ï^d^ = o, on en déduit ttr=?^;

donc M = n\^ i + w*. JïiâiX t=z nxl^ i + w* = wl^a?* + y*