L'équation

^^x® + 2^^i/* = a-^* + bxy 4- cy* ,

donne »=:^. m = ^. M=: aa; + 6y + c^'

ykdo; =/(« + .ÔM + cw") ;«?d^ = 1 (a + 6w + cw*) x" , donc « = - («a;* 4- ôary + cy*) + 4)(|).

Si la fonction M ne contenait que la variable x , il est évident que la valeur de l'intégrale complète serait donnée immédiatement par l'équation

% z=fkdx -h <p(u).

Dans le cas particulier où R=QY, Y étant fonction de y seulement, on aurait J)pZz:zpY, donc 2 =yYdy-j-<Ç(w), en vertu de l'équation (26).

Remarquons encore que le second procédé d'intégration exposé au n," 6 , devient également applicable au cas général qui nous occupe. En effet, on i)eut facilement s'assurer que les formules (l4) à (18) ne

cessent pas d'être exactes, en y remplaçant la constante a par la variable/?, et que celles (lo), (il) deviendront alors

Par conséquent, en effectuant le développement delà fonction M, suivant les produits XY , ou joXY , les deux formules précédentes fourniront toujours des moyens plus expéditifs pour évaluer S„M, que la méthode d'élimination indiquée ci-dessus.

On tire encore de ces mêmes formules

S^Y = ^Y — Sj,{pxèY) (29)

S^7>X = yX — S^(yc)X). • (3o)

L'application des formules (27) à (3o) à des fonctions données n'offrant aucune difficulté , nous n'entrerons pas dans des détails à ce sujet, 11. Il nous reste maintenant à traiter l'équation

Pô^2 4- Qc)j/2 = R

en y supposant P, Q, R, fonctions des trois variables à la fois.

Observons d'abord que si le terme R se réduit à zéro , l'équation

ou ce qui revient au même, celle ci

s'intégrera absolument delà même manière que si la variable z contenue dans la fonction p, fut remplacée par une quantité constante, c'est-àdire , qu'en désignant par uzrzo , l'intégrale de l'équation dy—pdx=o, prise dans l'hypothèse de « constant , la proposée aura encore pour intégrale comjilète, z^=<^{u) = <p{x, y , z). Pour s'en convaincre, on n'a qu'à supposer la fonction cp(w) développée en une série dont le terme général soit %''^{x, y). Or, puisque D^a=o, il est évident qu'on

aura, en vertu des équations (i4),(i6), 'DpZ^^^{xj y) = z^^I)p4^{Xf y); d'où l'on voit qu'en effectuant l'opération D^ sur la fonction v|/(m), la variable z s'y comporte comme une quantité constante, ce qui prouve la justesse du procédé d'intégration dont il s'agit. Pour en donner un seul exemple, soit l'équation

qui donne j» = — '^T* ^^ quantité 2 (y — b%)di/-{- 2 (^ — a%)dx, étant la différentielle complète de ^*+y^ — • 2 (a^+éy)^ = w , il en résultera

z = ç{^*H-y* — 2{ax-^6y)z]; expression que l'on pourra écrire encore sous la forme suivante

•^^ + y* — 2 (ax -\~ by)z = <f (z) ;

ou bien [x—azY-^ {y—hzY = <p(r) + (a^+ô^);?* = ^{z).

Cette dernière intégrale s'obtient directement, en posant dans l'équation donnée, ce — az'z=.œ\ y — bz'=.y\ ce qui la changera en

y'^x'Z — a'èy/z = o ;

d'où z = <p{x"-^tj"),

1 ?. Dans le cas général que nous traitons ici , l'intégration de l'équation

Và^z + qbyZ—K,

présente quelquefois de grandes difficultés qui la rendent impossible à effectuer. L'illustre Lagrange qui s'est occupé à plusieurs reprises de cette intégration générale, l'a fait dépendre de celle d'une équatiou différentielle du second ordre , qui s'obtient en éliminant une des variables avec ses différentielles, de trois équations différentielles. Nous allons indiquer une classe assez étendue d'équations susceptibles d'être intégrées d'une manière beaucoup plus simple, que par les procédés employés jusqu'ici.

Supposons en premier lieu que les fondions P, Q, R soient liées entre elles par l'équation

«P H- jSQ + yR = o ,

tf,^,y étant des facteurs eonstans. L'intégration deviendra très facile dans ce cas. En effet , la proposée se réduisant alors à

ou bien à DpZ = — - (<« + /3/?) ,

il en résultera , à cause de Spp = y

Soit l'équation de ce genre

(y — 62)d^a — (x — az)èyZ=zbûe — «y, elle donne «=«. /3r=6. y=i. (y — 6^)dy + (^ — az)d£crzoi donc %-^ax -{'J^i/z=z<p(i/^ -j-x"" — 2 (ax -^ l!>y)%)

en vertu de ce qui a déjà été trouvé au n.° précédent. Si les fonctions P, Q,R présentent la relation

R = Py + Q^, la proposée devenant

J)jjZ = j/+/?X = 1)^X1/,

on aura » = a?y + 45(w).

Soit Rrr^^îL^Iy,

a viendra D^r=i^=D^ (?).

donc s = ? + $(m).

Supposons plus généralement que l'on ait la relation

R=:PYaX-hQXdY,

X, Y étant respectivement des fonctions de x et de y; l'équation à intégrer se réduira à

D^a = Yax -f-pX^Y = DpXY; d'où z = XY-t-4)(w).

Soit encore R=:a(P-+-aQ)

on en déduirait J)p%=z%(i -^ ap),

ou bien ^ = D^ log « = Dp(^ H- ay) ,

par conséquent log « = ^ + ay -h cP(m),

Si l'on a K = a%(^^),

il viendra D^a = a« ('-i^);

donc Iog» = alog(a:H-y) H-<p(w),

Soit enfin R = 4'(«) (P YdX + QXd Y} .

Posons /'— =Z, ce qui donne ^=D„Z; d'où l'on tirera

Z = XY + (p(w).

On voit par là qu'on peut assigner un grand nombre d'équations dont l'intégration s'effectuera sans difficulté , dès qu'on a trouvé la fonction w = o , intégrale de l'équation Pdy — Qd^ =: o.

irOlIV. MÉM. PRÉM. CLASSE DE l'inSTIT,' TOM. VI. 2?

Il est évident d'ailleurs, quelle que soit la composition des fonctions P, Q, R, qu'il sera toujours possible en général d'établir une relation entre ces quantités et les trois variables , et que la difficulté de l'intégration dépendra seulement delà nature de celle relation.

En appliquant les remarques précédentes aux équations dont les coefficiens P, Q, et le terme R ne contiennent point la variable «, on j)ourra très souvent faciliter leur intégration, surtout lorsque la quantité u se compose d'une fonction transcendante des deux variables indépendantes, ce qui rend impraticable l'élimination de y, exigée par le procédé exposé au n." lo. L'équation

{xy-\-x)^j,'z. — {xij -\-y)'6y%=:x\f — x^y

rentre dans ce cas. En effet , en intégrant l'équation différentielle

{xy + ^) dy H- {xy -{-y)Axz=zO ,

qui revient à xy(à.x + dy) -4- d. a:y = o ;

on en déduira uzzi x -\- y -\-\Q^xy.

Or, il est visible que la proposée fournit la relation déjà indiquée ci- dessus

R=:Py + Qa?.

Par conséquent, on trouvera immédiatement pour son intégrale complète a = ^y + <P(t H- y H- log ^y).

i3. Outre les équations que nous venons d'indiquer, il en existe d'autres qui admettent à la fois deux relations différentes entre les fonctions P, Q, R, dont chacune sera propre à fournir une valeur particulière de l'intégrale. Ces équations présentent une classe assez remarquable , en ce qu'elles dispensent de la recherche de la fonction u , ainsi qu'on va le voir par les exemples suivans.

Soit donnée l'équation

(•^' -^ xij — 2a')â^a + ( ■}%"■ — xy — y') c^.^* = «(y — x).

On observera sans peine qu'elle fournit lès deux relations suivantes: