Py + Q^ + 2Rî5 = o

En employant la première, l'équation à intégrer se transforme eu

qui revient à Dp log 2 + D^log (a:4- y) = 0,

d'où il suit log « + log (a: + y) = <P(w);

ou bien %(x-\-y) =z<^{u),

eii changeant convenablement la fonction arbitraire. La seconde des deux relations réduit la proposée à

4*^011 l'on tire D^ s* -h D^. j?y = 0,

donc a* H- ary = cp (u) .

Ces deux intégrales complètes donneront évidemment une troisième

L'équation (y — bz)^x^ — (^ — a%)^y%-=zbx — «y,

déjà traitée au n.° 12, présente outre la relation

aP4-6Q + R = 0, encore celle ci Vx + Qy -}- Rz = o.

La première nous a donné

Il résulte de la seconde

d'où D^s* + D^, (x' 4- y*) = o,

donc %^ + x*-{-i/^=z(p{'u).

Ces deux intégrales, conduiront à

ce qui s'accorde avec le résultat donné par M. Lacroix, (Voyez Tom. II. pag. 535.)

En général on peut conclure de ce qui précède , que si l'équation

est satisfaite par deux intégrales particulières

celles ci fourniront immédiatement l'intégrale complète

ou bien » — T = <p(T — ^U).

En effet puisqu'on a

2 = U+<p(w), et i5=:T + v^(M),

il en résultera w = (pj(» — -U), et « = 4/»(« — T),

par conséquent z — U z=z (^{z — T),

le signe <p indiquant toujours une fonction arbitraire delà quantité qu'il affecte.

i4. Lorsque] les fonctions Q , R ne contiennent que les variables y, z, P étant fonction des trois variables à la fois , l'intégration pourra s'effectuer de la manière suivante.

Soit Kdy — Qdz z=: [AdT ,

- indiquant le facteur qui doit multiplier le premier membre de celle cette équation pour le rendre une dififérenlielle exacte; on aura alors

Pd^z = jud^T.

Or, à cause que T représente une fonction des variables y, z, on pourra en tirer z=4^(T,2/), et éliminer ensuite la variable z ainsi que son coefficient différentiel dxZ, de l'équation que nous venons d'obtenir, ce qui changera celle ci en

Pt|.^(T,y)d,T — /.d^T = o,

qu'on peut écrire encore sous la forme

d^T — Ucl^T = o,

où U représente en général une fonction des trois variables x , y , T. Si maintenant l'on intègre cette dernière équation , en y considérant T comme une constante dans le coefficient U (n.° u), on en déduira

T = <Pix,y,'ï).

On remplacera ensuite la quantité T, par son expression en y, z, ce qui fournira une relation fonctionnelle entre les variables x, y, z.

Il se peut aussi que les fonctions P, R, ne contiennent que :r et 2, Q étant fonction des trois variables; dans ce cas on posera

Rd^ — Pd« = jwdS donc Qdy« = pt)a;S,

d'où l'on tirera, ainsi que ci-dessus

d^S — Ua^Sr=0; U désignant une fonction des trois variables x, y, S. Cette dernière équation donnera

S = <p(a,-,y, S), et ensuite une relation fonctionnelle entre les trois variables.

Appliquons cette méthode à un exemple particulier. Soit l'équation

qui rentre dans le premier des deux cas précédens. Il viendra T = y^ + ^% z = l/(T — y*)

L'équation à intégrer sera réduite à

La fonction u se déterminera à l'aide de l'équation différentielle

xày — IX (T -- y*) d^ = o, qui étant mise sous la forme

Ax __ dy __ ^ X |/(T— 1/»)"~ *

donnera « = log a; + arc (cos = -^— ) ,

donc T = 4)W = cp(^e — =^)^^^^ .^

ou bien l'intégrale cherchée sera , après avoir éliminé la quantité T

Si, pour abréger, l'on fait y =:^ cos a», et 5:=:^sin«, cette intégrale prendra la forme simplifiée

xe" z=z(J}{t) y ou tz=z(p(^xe"),

i5. Voici encore quelques cas d'intégration qui se rapportent aux équations où le terme R seul contient les trois variables à la fois, les cocfEciens P , Q , étant des fonctions de j? et y.

Soit d'abord R = PX«, on aura à intégrer l'équation

DpZ = Xa , c'est-à-dire Dplog^ = X,

donc log z =zfx.dx -f (p{u)

Soit encore R = QYz , la proposée se réduira à

'Dplogz=pY,

donc log ;r =:y Ydy + c|) (m)

Telle est l'équation h^rZ + ay^jZ = y^z ;

d'où l'on tire sur le champ, à cause de Yss-y""',

la fonction u étant donnée par l'équation ayàx — dy=ro, d'où il suit u = log ( — ) , par conséquent

Si l'on a R = T vK-s) , T contenant :r et y seulement, on trouvera en

posant /-li-=Z, et - = /

Quant à l'évaluation du terme S^^, fonction de ar et y, on pourra toujours y appliquer un des trois procédés précédemment indiqués, et dont le choix dépendra delà nature delà fonction /. (n." loet 12,)

Supposons plus généralement R une fonction quelconque de x , y et z. Après avoir divisé l'équation différentielle par P, elle prendra la forme

Cherchons la fonction w, et éliminons du second terme M la variable y, à l'aide delà relation obtenue entre les trois variables x, y et w. Il en résultera pour la quantité M une fonction de x, z, u, où cette dernière variable devra être considérée comme une constante relativement à l'opération désignée par la caractéristique Dp. La composition delà fonction M pourra alors présenter deux cas distincts. En premier lieu, si elle contient un facteur X qui soit fonction de x seulement, l'autre facteur Z ne contenant que ;sr et w , on mettra l'équation à intégrer sous la forme ^

d'où l'on déduit de suite

|=/Xda; + <p(t*).

pour l'intégrale complète delà proposée.

En second lieu , si la séparation des variables x et z, ne devient pas possible dans la fonction M , on intégrera l'équation

delà même manière que l'équation à deux variables

dz — Md;c = o,

en y considérant la variable u contenue dans M comme une constante. Après avoir effectué cette intégration , on éliminera la variable u , et il ne restera qu'une fonction de x, y, z, qu'on égalera à <P{u). En effet, puisque z pourra être regardé comme une fonction des variables indér^ pendantes x,u, on aura

d« rr d^z dx + ^^z du.

Or, puisque dw = jw(dy — pdx), on déduira facilement de l'équation précédente, pour les valeurs des coefficiens différentiels partiels pris par rapport k x et y.

Par conséquent DpZ =: b x^ + pb^z == è ^% , ce qui change l'équation à intégrer en

dar» — M=o, ou bien dz — Md^ = o,

dont l'intégrale devra évidemment être complétée par une fonction arbitraire de la seconde variable u..

Lorsque le terme R ne renferme pas la variables, l'intégrale cherchée se réduira à . .

z=yM'dar + <p(M),

résultat qui rentre dans le cas particulier déjà traité au n.° ip.

Les deux exemples suivans pourront éclaircir le procédé applicable à chacun des deux cas que nous venons de distinguer.

Soit à intégrer l'équation

Elle donnera p=^, u = U; donc y z=.ux. Éliminant y du second terme delà proposée, celle ci deviendra

'D^z=z2xz-i-xu*z''-=x('2z + u'%y,

d'où .J?£L=:^.

ou bien f-^ = log (-^) = a?» + 4>(w) ; donc, en y remplaçant u par sa valeur ^, cette intégrale se changera en ^£±ylf = e-^' (^(l) , d'où il suit 2 = -7 ^, r-

«OCy. Vis. PRfiU. CtASSE DB l'iNSTIT. TOK. VI. . Zi

Soit encore l'équation

(^•* + '2x*y%)^^z 4- {x'y + '2œy*z)^jZ + x%{'2x* + y«) = o , qui se réduit à

, . , 2âSZ + U%^ ou bien a D.z H — j =: o.

Les variables ^ et z ne pouvant être séparées ici , il faudra intégrer l'équation diflFérentielle

{x^ -Ir '2XUZ)^Z + {2XZ •¥ uz^)dx^=='0 , d'où l'on tire a?'j:r + y ;?*=<?(-).

pour l'intégrale complète de la proposée.

Il est assez évident que le succès de cette méthode dépend principalement de la possibilité d'exprimer la variable 2^ en fonction de x et u , afin de pouvoir en effectuer l'élimination dans la quantité M,

§ 2. Equations différentielles du second ordre*

l6. Après avoir traité les différens cas que peut présenter l'intégration des équations linéaires du premier ordre, nous pourrons maintenant nous élever à l'intégration de celles du second ordre. Nous discuterons en premier lieu le cas où les divers termes de la proposée sont multipliés par des constantes, ce qui forme la première des deux classes établies au n.° 2.

L'équation fondamentale

étant différentiée par rapport à la caractéristique D^» = d^ -f. aby , on

en déduira d'après la théorie des caractéristiques , l'équation du second ordre

ou bien, en développant la caractéristique composée qui affecte la variable 2 dans le second membre ,

Da' Do^r = ^xZ 4- (a -f- œ) ^x ^y» + aa dyZ.

Celle ci nous fournira immédiatement le moyen d'obtenir l'intégrale complète de l'équation

d^^ + Ada,dy5r + Bd*« = o. (3i)

En effet, en désignant par a, «', les racines de l'équation du second

"^^^'^ w" — Aw + B = o,

ce qui donnera . a + a' = A , aa^: B ,

la proposée pourra s'énoncer sous la forme simplifiée

DaT)a'Z=:o; (32)

d'où l'on déduira les deux intégrales premières

DaJ?=o, Da'Z = o,

et par suite les valeurs particulières

j? = 4) (y — ax) , z = <p'(y — ax),

dont la somme représentera la valeur complète de ;^, ou de l'intégrale seconde. Ceci se prouve d'ailleurs directement en intégrant l'équation (32) d'abord par rapport à D^, ce qui nous donnera

Do'a = cp(y— ««), et par une seconde intégration relative à D^', il viendra % = Sa'<^{y—ax) + (^[{y—ax).

Or, si l'on observe que

Da' <p(y — ax) = (a — a) d. <p(y — ax) = '^{y — ax)^ (33)

la valeur précédente se réduira évidemment à

z = (p (y — ax) + <p'{tj — ax) (34)

p, <p' indiquant deux fonctions arbitraires.

Dans Je cas particulier où l'on a a'= — a, donc A=:o , et B= — a%

expression % ■= <p(y ^ ax) -\- ^^(ij — ax),

représentera l'intégrale complète de l'équation

^Iz — a*àyZ=:o,

connue dans la théorie du mouvement des cordes vibrantes , et dont le célèbre à! Alembert s'est occupé le premier.

Lorsque les deux racines a, a sont égales, ce qui suppose A*=4B, la proposée se présente sous la. forme

Mais l'équation (34) ne donnant alors qu'une seule fonction arbitraire , on aura recours à la formule (7) qui exprime la valeur complète de«, satisfaisant à l'équation D^*=o; il viendra dans ce cas

zz=:(S^{y—ax)^œ(!?Xy—^'^)'

Si l'équation (3i) contient dans son second membre un terme V fonction des deux variables indépendantes , elle prendra la forme

D„D„,« = V, et fournira immédiatement l'intégrale première

Posons SaV=:V'. Cette dernière quantité pouvant toujours évaluer à

l'aide d'un des pi'océdés exposés au § précédent, on obtiendra, en effectuant une seconde intégration par rapport à Da'i

% tn Sa' V + a?' {y—ax)

Il est bon d'observer que la proposée donne en outre pour intégrale

première o xr >.'/ » •

Do25 = S„' V H- 4) (y—ax) .

Soit par exemple l'équation

on trouvera pour les deux racines, a = «-j-|3, a:=<x, — /3. Or , d'après ce qui a été trouvé au n°, 6, on aura

Y'=:SaXy=::^y^-^; 2 6

donc , en vertu de la formule (27)

Sa'Y' = Sa'Saxy=zSa>^-^Sa>^=zix'y—.l-(a-^a)x'',

partant

Il sera inutile d'appliquer notre méthode à d'autres exemples, toute l'opération se réduisant, comme on vient de le voir, à évaluer la double intégrale c v — «s v'

17. L'équation du second ordre que nous venons d'intégrer n'est qu'un cas particulier de celles qui contiennent en même tems la fonction Zi avec ses coefficiens différentiels du premier ordre, et qui sont comprises dans la forme générale

àl% + Ad^ dya + B^y% -h Cd^a + Dd^s 4- E« = V. (35)

Pour parvenir à l'intégrale complète de cette équation , on effectuera

d'abord la transformation suivante. En désignant comme ci-dessus par a, a\ les racines de l'équation w* — Am + B = o, les trois premiers termes delà proposée se réduiront à l'expression Da. Da'«. De plus les relations

Do'» = d^a ■+- a'^y», conduiront à

ôx« = — r^ — { â^aZ — aDa'»} a' — «t J

(36) dy«=:-J^ — I Do'^ — Do^^j.

Substituant ces valeurs des deux coefficiens différentiels dans l'équation (35), celle ci deviendra

Do Da'Z 4- m'D„z -f- wDo'X: 4-^E« = V,

en posant pour abréger

d'où il suit M-f-w=C.

La transformée pourra s'énoncer encore delà manière suivante

[(Da + w)(D„< + w'j]^ + (E — wwV=:V. (38)

Considérons séparément l'équation du second ordre

(Do -f- w) (Do' -f- n)z = o

où la quantité renfermée dans chaque parenthèse représente une nouvelle caractéristique d'opération; il est évident qu'on en déduira les deux intégrales premières

^aZ + 71» = o , \ia>Z 4- n% == o.