Da« D^-a

ou bien = — n . = — n ,

DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES A TROIS VARIABLES. JOl

qui donneront respectivement pour valeurs particulières de l'intégiale seconde (n.° 7).

% = e— «* c|5(y — ax) , « = e— «'a' 4^(y — a'jp).

Donc la valeur complète de cette intégrale sera exprimée par

z = e— "^ (?{y — ax) + e— "'* 4^(y — ax). (3g)

Observons maintenant que l'équation (38) ne pourra jamais admettre une intégrale première, à moins que le terme (E — 7in)z , ne disparaisse de son premier membre. Pour s'en convaincre , il suffit de considérer cette équation comme le résultat d'une opération effectuée sur une équation du premier ordre

^.t» + a^j^z 4- 6» = (Do 4- 6)z = V'.

Or, cette opération ne pouvant être représentée plus généralement que parla caractéristique Do» + 6', il est clair que ce résultat sera uniquement delà forme

(Do + 6)(Da' + 6» = V.

L'équation

E-W=o, d'où E = ^CD-BC.-D.^ (4„,

en vertu des relations (37), exprimera par conséquent la condition (Tintégrahïlité immédiate^ applicable aux équations du second ordre et à coefficiens constans. Nous supposerons pour le moment que cette condition soit remplie, en nous reservant d'indiquer plus loin les moyens d'obtenir la valeur complète de 2, dans le cas où les coefficiens A,B, C, D, £, ne vérifient point l'équation (4o).

Si pour simplifier nos raisonnemens , on remplace la caractéristique

(Da+w) par (Da) , l'équation qu'il s'agira d'intégrer se présentera sous la forme abrégée

A cet effet , posons » := e— "^if , on en tirera sans peine

et par suite (Do') {Da)z = e-«^{Da' Do^ -f- (w — w) Dj] = V,

*"" ^'^'' Da Do'/ + {n— n) T)J = Ve"^.

Une première intégration par rapport à D^ , nous donnera sur le champ Ba'i + {n — w) / = S„ Ve"^ + (p(tj—ax).

Faisons encore /r=e(*"~**')^/', l'équation précédente se réduira à

e{n-n')x J)a't'= ^a Ve"^ + Cp(y ax) ,

d'où D„,jf'= e(«'— «)* So Ve"^ + e(~'-»)* (î)(y — ao?) ,

par conséquent

i' = So' [e(«'— »»)*S„ Ve»»^ + e(«'-«)^(î)(y— ax)] + 4)'(y — ax) .

Or, en observant que

So' e(»'-«)* (p(y — ax) = e(»*'-«)^4'(y — ax) ,

ce dont il est facile de s'assurer à l'aide des formules (i8) et (33) , on aura enfin

pour l'intégrale complète de l'équation (4i), Si l'on fait V=o, nous retrouverons comme ci-dessus

« = e*""^ cp(y — ax) + e'~"'=^ (p'(y — a x) ,

pour l'intégrale complète de l'équation (Do).(Do') « = o.

On voit par là que l'expression générale (42) se compose d'une valeur particulière

%' = e-»'^ So' [e(« -«)^ Sa Ve«^],

et de la valeur de % satisfaisant à l'équation (Da). (Do')* = 0'

Cette valeur particulière est susceptible delà transformation suivante. En effet, d'après la formule (i8), (n.° b) , on peut écrire

'" n — fi\ . i

Et puisque l'équation

dy» =r -pi- (Do'S — Do»),

fournit la relation caractéristique ,

Do' = Da -f («'—«) dy, d'où l'on tire S^ D„ =Da.Sa= l + (a — a) So d^,

il en résultera Do' S» Ve"^ = Ve«^ + (a — a) % d^Ve"^, ce qui change le second membre de l'équation (43) en

i f e(« -«)^ SoVe»^— So' Ve"'^— («'— a) So' [e(" -«)*Soe«' ^jV] I .

Par conséquent

»'=-^|e-»»^SoVe"^— e-'»'*SaVe»'* — («'— a)e-"'*So.[eC«'-»)*Soe»»^dyVj|.

Sous cette nouvelle forme l'évaluation de %* peut quelque fois être rendue plus facile. Si, par exemple, la fonction V est égale à y<p(^),il est évident que l'expression

Sa [e{n'-n)x S„e«^clyV] = So'[e(«'-")^ Sae"* <P{x)],

pourra être remplacée par la double intégrale /e(»'— »)^e"^ <^(-^) ^^^'

Mais lorsque le terme V est fonction seulement de x ^ la valeur particulière %' que nous venons d'obtenir, se réduira à l'expressirn plus simple

HOXJV. MÉM. PRÉM. CLASSE DE l'iBSTIT, TOM. VI. 25

'Si la proposée ne contient pas le terme E« dans sou premiermembre, on aura nzzzo, ou n'=zo , c'est-à-dire, D = Ca , ou D = Ga', ce qui donnera , pour le premier cas

%= e-n'^Sa[e^''^SaY] -f e-w'-^cp(y — a'x) ■+■ (p'{ij — ax) ^

et pour le second

i8. Nous venons de voir qu'une équation du second ordre à coefficiens constans ne saurait admettre une intégrale première, à moins que ces coefficiens ne soient liés entre eux par l'équation de condition (4o). Cherchons maintenant les conditions analogues, qui devront avoir lieu dans le cas général où il s'agit d'intégrer l'équation

d> -f- Vdjyz -t- Q^% + R^yZ + Sc\^* -f Ts; = V; (44)

P, Q, R, S, T, V, désignant des fonctions des deux variables x, if. Pour que le premier membre de cette équation puisse être considéré comme le résultat de deux opérations semblables effectuées successivement sur la fonction «, il est facile de réconnaître que la caractéristique relative à chaque opération doit avoir la forme DP-hç; de manière que nous exprimerons alors la proposée sous la forme abrégée:

Il faudra maintenant indiquer les moyens d'opérer celte décomposition caractéristique, c'est-à-dire, de déterminer les fonctions />, p' , (/, t^', qui devront servir ensuite à évaluer l'intégrale complète de l'équation (45). A cet effet posons l'équation

i = J)^% + qz=z (D^, + q)% = iJ)p)z.

On en tire d'abord

par conséquent

(D^.) (D^)z = \^p D^Z + qX^pZ + ql^pZ + (^9' + T^p'q)z = V. Or , on trouvera sans peine que

D^' XHpZ = d> + (p-hp) ^X àjrZ -\-pp' ^j% + "OpP. djyZ.

Substituant cette valeur dans l'expression précédente , et comparant ensuite les termes de celle ci , à ceux delà proposée , on en déduira immédiatement

V=p-i-p', q=:pp'. R=p'q-+-q'p-t-'Dpp. S=zq-{.q' (46)

'I = qq' + J)pq. (ij)

Telles sont les équations auxquelles on devra satisfaire dans le cas d'intégrabilité immédiate. Après avoir déterminé p, p' au moyen des deux premières , on substituera leurs valeurs dans la troisième , qui servira avec la quatrième à obtenir q, q'. Les valeurs de p', q, q\ devront vérifier ensuite l'équation (47) , qui établit en conséquence la condition d'intégrabilité dont il s'agit.

Pour parvenir à l'intégrale complète de l'équation générale (45) , nous n'aurons d'abord qu'à chercher celle de l'équation du premier ordre

JSpt^.q't=y. (48)

Supposons en premier lieu V = o, l'on aura à intégrer l'équation

JSpt-rz. — q't^ ou bien D^'log^ = — q\ qui donne log^ = — S^^'-f ^'(w') ,*

«*=ro désignant la fonction qui satisfait à l'équation différentielle

dy — />'dj7:=0.

on aura ainsi tz=ie~^f'^ <P'(w').

Faisons maintenant dans l'équation (48)

il en résultera (D,/ -\-q')t = e'^P'^' Dp'f = V,

donc D;, /' = Ye^"'^', i' = S^- Ve^'''^' + <p'^u') ,

partant t = e-^^^' (S^-VeS^'ï' + ç'iu')]; ('uj)

expression qui a la plus grande analogie avec celle de t déduite de l'équation linéaire du premier ordre

La fonction t étant déterminée au moyen de la formule précédente, qui exprime l'intégrale première de la proposée , il restera encore à intégrer l'équation

On en tire de la même manière

où il faudra substituer la valeur complète de t obtenue ci-dessus, ce qui fournit l'expression générale

a =: e-^'''l{Spe^''^-^p'9' (Sp'Ye^p'^' + (p'(M')) + <^%] . (5o)

Si le terme V disparaît de l'équation générale , on aura successivement

■ %=e-^P^{Sp{e^'1-^'y(p'(u)')-{.cPiu)}, (5j)

pour la valeur complète de «, où le premier terme ne peut être évalué qu'après avoir particularisé la fonction arbitraire <P'(u).

10. En supposant que les coefficiens de la proposée ne contiennent, que la variable x, les signes Sp, Sp> se changeront par rapport aux fonctions q , q' , eh ceux de l'intégration ordinaire , ce qui réduit l'équation (5i) à

ou bien , en posant pour abréger f</dx = q^ , fq'dx = ^,

% = e-^' {Sp{e'i'^^' <P'{h')) + <p(u)] . (53)

Si en même tems le terme V est fonction de x seulement, la quantité renfermée entre les deux crochets , devra être augmentée de l'expression /e^'"~^* d^/Ve^' dj?, pour donner la valeur complète de z. Quant

à la condition d'intégrabilité applicable à ce cas particulier , elle se réduit, en vertu de l'équation (4 7), à

Lorsque les coefficiens P, Q , etc. , sont fonctions de t/ seulement , on pourra ramener ce cas à celui qui précède , en permutant entre elles les variables x, y, dans l'équation (44) mise sous la forme

On effectuera ensuite la même permutation dans la valeur de * donnée par cette dernière équation.

20. Il ne sera pas inutile de faire voir qu'il peut exister entre les coefficiens P, Q, etc., supposés fonctions de x seulement, une relation telle qu'il devient possible de dégager l'expression (52) du signe S^ qui affecte l'une des fonctions arbitraires. Cette circonstance aura évidemment lieu, lorsque le produit eV(^~î'^*^'' 4)(w') sera réductible à la forme Hp4^{u') , ce qui exige qu'on ait l'équation

Or, puisque u*c=Ly — Jp'dx^

il en résultera e^^^^^'^'^' z^p—p'.

Donc, en différentiant

{q~9')(p—p') = ^p—èp\ ou bien , à cause de p -\-p' r= P

(y — y') (p — p') = 2àp — dp.

Ajoutant à celle ci, l'équation

2p'q + 2pç' =: 2K — ^^p (n." 18), la somme deviendra

(9+9') ip-^P') = PS = 2R--dP, d'où il suit 2R— PS— aP = 0. (54)

Telle est la relation qu'il s'agissait d'établir. Si les coefficiens P, R, S, y satisfont, la valeur de « donnée par la formule (53), se réduira à

21. Reprenons le cas général, et supposons qu'il résulte des relations (46), (47), J»'=j» et q'=^q\ alors ces relations se réduiront à

V=:2p, Q=/, R=2;»5' + D^;?, Sz=i2q, etT = y' + D^y;

d'où l'on tire facilement les équations

4R=2PS + 2a^P + Pdj,P

4T = S*4-2a^S4-PayS,

qui exprimeront ainsi les conditions auxquelles les coefficiens P, R, S, T doivent satisfaire , pourque la proposée soit réductible à la forme

Quant à la valeur de l'intégrale complète , l'expression générale fournira dans ce cas

z=e-V {S;VeV-f-^4)(«) + (p^(î*)}. (55)

En faisant disparaître un des trois coefRciens P, R, S, la valeur de a conservera la même forme que dans le cas général ; il n'y aura que les relations (46), (47) qui se simplifieront un peu. Mais il n'en sera pas de même lorsqu'on suppose T=o. En effet, cette hypothèse conduisant à l'équation de condition

d'où to = Dylogy=— y',

celle ci donnera ^ = e~^'^ 4'(w')«

Et puisqu' alors

S^, (Ve^'''^') = S^. Mu') (Y) = ^^u') Sp' (I) ,

en vertu de (22) , il viendra en substituant dans la formule générale (5o)

a = e-^'-^jS/, ye^^î (S^' (Y) + <p'{u')) + <?)(«)} (56)

pour l'intégrale de l'équation

è%% H- vè^bjr% + qa;^ + Rdj» -h Sè^z ■= V. (67)

22. En supposant nulles quelques unes des quantités p,p', q, q\ on pourra établir a priori divers cas particuliers de l'équation (44) , qui donneront lieu à des expressions simplifiées pour la valeur complète de «» Nous allons les discuter successivement, en indiquant pour chacun d'eux les conditions d'intégrabilité immédiate qui s'y rapportent.

l.er ca*. pz=:0.

V=ip' Q=ro. R = ^P. S = y' + y,

j» ' - — P^ ^'>PS — R

d'où g = j^, q = — p— ,

équation de condition T = qq' -i-Dp-q.

intégrale complète de l'équation

dl%-hVi)sàjZ-{-'R.^jZ + Sè^%-\-Tz = \, (58)

réductible à la forme

2,^ cas. p'=;o.

V=:p, Q=o. R = P^'+a^P. S = yH-y'

équation de condition Tz=:qq' + ^^q

intégrale complète de l'équation (58) , réductible à la forme

{à. + g')iDp + q)%=Y.