cas. /? = o et y =: G

intégrale complète de l'équation

d:a + Pd,dy»4-Sd^« = V, (62)

qui peut toujours s'exprimer sous la forme

(Dp. + y')^,» = V.

S.^ cas. />' = o et j'' = o.

P=p. Q=ro. R = d^P. S = y. T = d^S,

intégrale complète de l'équation (58)

d;a + Pd^ dy» + R^y» + Sd:r» -f- T» = V, qui sera réductible à la forme

pourvu que l'on ait entre les coefficiens P, R, S, T, les relations

R = a,P, T=d,S, qui exprimeront alors les conditions d'intégrabilité immédiate. g.^ cas. /> = 0. g:^o,

V=p. Q = o. R = P^. S = y, équation de condition

T = D^. (|) = D^^ = d^S + PdyS

mtégrale complète de l'équation (58)

d»» + Pd^ dy» H- Rdj,» + Sd^» -h T» = V,

réductible à la forme

Dp'(d^ + 9')« = V.

Cette même équation ayant déjà été traitée dans les i , 2 et 8 cas, on voit par là , que son intégrale est susceptible d'admettre quatre formes différentes, dont le choix dépendra seulement de l'équation de condition à la quelle satisferont les coefficiens P , R etc. Une circon-

stance semblable se présente également dans d'autres équations, ce dont on a déjà vu un exemple dans le 5.« cas.