cas, /?'=o et
P=/?. Q=zo, R = Py'-hd^P. S = y'. T = o.
équation de condition R = PS -|- d^V
* = S^ e-^''^" (fYe^^'^ dx 4- <p'(y')) -h (?(«), intégrale de l'équation
a:«+pa^dy» + Rdj,«n-sa^»=v, (63)
réductible à la forme
La même équation admettra en outre deux autres intégrales de forme différente , que l'on déduira de la formule (56) en y faisant successivement j» = o et /?' = o. La première hypothèse donne
P=y. R = P2'. Sz=çf^q\
et pour condition d'intégrabilité
l'équation (63) étant alors réductible à la forme
(Dp» -h y) (d^ + y)» == V.
L'hypothèse de j»'=o, fournit les mêmes relations que dans le 2.® cas, et l'équation de condition deviendra , à cause de T=:o
yy'=: — 0^9', ou bien q-=.è~J'^ ^4'(y)» » = e"^"^ [Sp ye^"' {jl dx + (^'(y)) + <?(«)}.
L'équation (63) sera alors réductible à la forme
Les quatres autres équations que l'on obtient en outre en faisant disparaître à la fois trois des quantités p -, p\ $', q\ se ramenant immédiatement à des équations du premier ordre de la forme
il serait inutile de nous arrêter ici à les discuter en détail.
23. Mais il nous reste encore à traiter quelques équations non comprises dans les cas précédons , et donnant lieu à des relations particulières entre les quatres quantités dont il s'agit.
Telle est par exemple l'équation
d>-hPd^aya-hQa>=V, (64)
oii les coefficiens R, S, T ont disparu à la fois; ce qui exige qu'on ait
q= — q. ip-'p)q = -Dp'p, J)p'q = q\
La seconde de ces équations servira à déterminer la valeur de q^ et si la troisième est satisfaite par cette valeur, la proposée sera réductible à la forme
{Dp'~q){Jip + q)z=zY.
Son intégrale s'exprimera alors par la formule (56).
En supposant q=:q'z=:o et D^'/> = o , les trois coefficiens R, S, T, disparaîtront également; dans ce cas, l'équation (64) se réduira à la forme plus simple
pourvu que p = <p'{u') , et son intégrale aura pour expression
%=Sp S^^V + Sp<p'{p)-\- <p(w).
Supposons en outre P = o et Q = — /?%
il viendra /?' = — p. ipq-^^Tip'p. q"=^ — y, D^/^r=y'.
Les seconde et quatrième de ces équations étant mises sous les formes
on en tirera e^^ ^ =: V^jt? 4'(m'). e^'''^ = 5'(p(w).
Donc, l'équation de condition pourra être représentée encore par une de celles ci
/? = 9'* dS^iu) , ou j-' = /) 4i(M')
et l'intégrale a s'exprimera par la formule {^^)t en y changeant seulement p' en — • p. La proposée qui revient à
sera réductible alors à la forme
Si l'on avait D pjo=ro, d'où résulterait yr=o et y =0, la proposée se réduirait à la forme
La condition d'intégrabilité étant alors exprimée par l'équation
^xp — P^jP = O ,
celle ci donnerait , en vertu de ce qui a été exposé au n.* 1 1 , la relation
p-=.<i^{y-\rpx).
Lorsque le coefficient /?* est fonction seulement de x , les équations
^piq-=.^q-=zq'. '2pqx=l\ipp-=.}ip ,
fourniront directement les valeurs
«,^ étant deux constantes arbitraires. On voit par là que l'équation (G5)
sera susceptible d'intégration immédiate, chaque fois que la fonction/»
sera de la forme — ^—r-i et puisqu'alors
g-/îd^---l. e-'^^'^''=X^p. e/^«-''>'*^=», la valeur de a aura pour expression, en vertu de la formule (5o)
oùl'ona « = 2^-/>d^ = y~yl^=y--i-
w'r= y — fp'dx=z y +/pdx = y + -^ .
Soit encore l'équation
d> —p^ d> + Rd^« + Sd^« = V. (66)
formant un cas particulier de celle (67), Elle donnera pour y, q\ les valeurs suivantes
qui devront vérifier l'équation de condition (iy)
qq' + T>-pq = 0,
pourque la proposée soit réductible à la forme
Quant à la valeur de l'intégrale , elle s'exprimera encore par la formule (56), où l'on n'aura qu'à changer;»' en — p.
S'il existe entre les coefficiens de la proposée, la relation
R — pS — D jt,j» = o, («)
ou bien, en prenant;» avec le signe contraire
K^pS-\^J)pP = o; (^)
la valeur de ^=0 qui en résultera, satisfera à l'équation de condition, ce qui rentre dans le troisième cas précédemment traité. C'est donc à la formule y relative qu'il faudra recourir pour obtenir la valeur de «. Mais si l'on trouvait la relation
R j y?S — 'D-pP = o,
la quantité q' s'évanouirait, et la condition d'intégrabilité s'exprimerait dans ce cas par
D— p5' = O ; d'où il suit S =; §- = 4'(w'),
ou bien, en donnant k p le signe contraire, S = 4'(w).
La dernière condition donnant S ^q ■= x ^l/{u) , on trouvera, en vertu de- la formule qui se rapporte au quatrième cas,
z z= e-^'^(^){S^ e^^J'W {S-pY + (p'(w')) H->(S)} .
En traitant l'équation (66), Euler ne donne que les relations (at), (/3), pour conditions d'intégrabilité, et l'on vient de voir qu'elles n'expriment qu'un cas particulier d'intégration.
Si l'on suppose R = o, l'équation
^>-/^> + Sdx« = V, (67)
donnera lieu aux valeurs
^ = 2S-f-5=^. a' = iS — !2-£^,
1 ip n. ap
qui devront vérifier l'équation de condition qq' + D^ q=zo.
La formule [56) sera encore applicable à la proposée , en y remplaçant p' par — p.
