Considérons enfin l'équation

d^ dy« + R^j.» + Sd^a + Tz =: V. (68)

On remarquera sans peine que la valeur complète de son intégrale ne pourra être déduite de l'expression générale (5o) , ou en d'autres

HOCV. MÉM. PREM. CLASSE DE l'iNSTIT. TOM. VI. 27

termes, que son premier membre ne saurait être réductible à aucune des formes particulières comprises dans (Dp^ -^q') {D -^ (/)z. Mais voici comment on pourra intégrer cette équation d'une manière analogue à celle exposée au n." i8."

Soit if = O^s -l-Ris,

on en tirera d^t = à^ d^% -f- Kdj,z -+- %à^K

S^ = Sô^«+RS»;

d'où l'on conclut immédiatement que la proposée sera susceptible d'être mise soiis la forme

pourvu que les coefficiens R. , S , T soient liés entre eux par la relation

T = RS + dj.R ,

qui exprimera par conséquent la condition d'intégrabilité. L'équation (69) aura pour intégrale première

d,« + R« = e-^^''-^ (/Ve^'% + <P(^)) , et pour intégrale seconde •

Dans le cas particulier où les fonctions R , S fussent telles que l'on eut la relation

âj,R=:ô.ïS, ou bien yRd.a? =:ySdy , la valeur de z se réduirait à la forme très simple

Lorsque le coefficient S disparaît, l'équation T = ô;.R sera la condition d'intégrabilité relative à l'équation

d^a^2i-hRa^»4-Ta = V, (70)

et il viendra dans ce cas, pour la valeur de l'intégrale complète

* = e-Z^'^l/e-Z^^'^d^ (/Vdy + <pix)) + 4^{y)] .

C'est à l'intégration de l'équation (68) qvL Euler ramène celle de l'équation générale. On peut voir dans l'ouvrage de M. Lacroix (Tom. II, pag. 6o5) , les développemens que cette marche exige par suite de l'introduction de deux nouvelles variables indépendantes. Il en est de même quant au procédé d'Uuler pour établir l'équation de condition

T = RS -h ^jrK ,

que nous venons d'obtenir d'une manière assez simple,

25. En terminant la discussion des divers cas que présente l'équation

générale (44) , il ne sera pas inutile de donner ici quelques applications

propres à éclaircir notre méthode d'intégration. Soit d'abord l'équation

En la divisant par le coefficient du premier terme , il viendra P = ff. 0=^^-=^. R = y'r-^'+'^\ Y=zx' + y\

La, proposée ne contenant point les coefficiens S, T, devra être rangée dans le cinquième cas.

Les équations

, -T» — flï

PP y. '

donneront

\A\^XAAA^& V#AA Ir

^.pz=:l.

Et puisque ces dernières valeurs vérifient l'équation de condition R = D^T? = ^^p -{-p'^yp.

la proposée sera réductible à la forme DyDp« = V, et son intégrale complète s'exprimera par la formule énoncée au 5.^ cas. Or, les équations diflférentielles

dy — pdx=:o. dy — p'dx=zOy

qui servent à déterminer les fonctions u, u\ fourniront, en y substituant les valeurs de p et p obtenues ci dessus

uz=.y* — x'' — 2ax. u' zz=.y^ — x^ -\- lax ^

donc S^V = Sp' (^* H- f) —fx'dx + S^y = 1! +f{u' -\- x' —' 2ax)dx = - x' — ax* + u'x = ^y* H- ax* — l x* z=: V.

. Sp Sp<V =S«V' =:2^-—-\- Rux -\-x' + 7ax')dx

Voici une autre manière plus expéditive que la précédente, pour parvenir à la valeur de cette double intégrale.

Si l'on observe que j;* -j- y* = t-LJL + 2^' , il en résultera d'abord

Or, \ S^'m' = jîm' = (w -|-4œa;)^.

donc • S^ Sp'w' = Sp (w -f- kax^x == - ux* -j- - ax^.

On aura de même , en changeant seulement a en — a

S^ S/j'W = - u' x"" — ■ - ax*»

Donc , la somme des deux résultats fournira sur le champ

ce qui s'accorde avec le résultat trouvé en premier lieu. L'intégrale complète de la proposée s'exprimera ainsi par

a = -II!— - H- S^ (p'(y^ —x^+ '2ax) + (p(y* -^ x^ — 2ax),

Pour évaluer le second terme de cette expression, il faudra y remplacer y* — a;*, par la quantité M-t-2aji: , et intégrer ensuite <|>'(M+4aar)d;r, en y considérant u comme une constante , ce qui exige une détermination préalable de la fonction <^' .

Soit à intégrer l'équation

di« — d> H \— d^& z= o ,

qui rentre dans celle {6j) traitée dans le n." 23, en y faisant •

^es valeurs de q et q' deviendront

L'équation de condition sera

q^ ■=^p àyq da^y ,

à laquelle on satisfera , en prenant /> = — l , d'où il suit w = y4-^. w' = y — x,

et partant S^q = S^ - = — ;

donc , en vertu de la fonnule (56) , on aura pour la valeur de l'intégrale

tf -

en regardant u comme une constante pendant l'intégration , que l'on remplacera ensuite par x-\-%j. Ce résultat s'accorde avec celui obtenu par M. Lacroix (Tom. II. pag. 692) , en cherchant d'abord l'intégrale première de la proposée.

L'équation d^a — ^ d*a — 1 dy» + - ():r« = o ,

rentre dans celle (66). On aura ici

En prenant />=i:?^, il en résultera D^/?=:o, et puisqu'on à R-|-/?S=:o,

la relation (|3), sera satisfaite; donc q=.Oy q'z=.-^ u=ïj u'-=:xy^

So'o'zr: / . = 1 iEl == — , et il viendra, en vertu de la formule réla- ^^ J u' a u' ay

tive au 3.^ cas

Pour obtenir la valeur du premier terme , il faudra , en particularisant la fonction cp', écrire ux au lieu de y, et intégrer ensuite la quan-

tité e ^^ (p' (ux^jdx , dans l'hypothèse de u constant. Intégrons encore l'équation

qui donne V=^, Q=^-, V=:H, y=:/ = o.

»=»'=:^, w=:w' = ^; et à cause de Dp'p = o , on pourra appliquer ici la formule (55) ; donc

Soit M =: ^"^ 4'(^)» l'expression précédente se réduira facilement à celle ci

le signe 4' désignant une fonction donnée,

26. Quoiqu'il n'entre pas dans notre plan d'aborder pour le moment l'intégration des équations des ordres supérieurs au second , nous allons néanmoins indiquer ici quelques équations de l'ordre n , qui sont susceptibles d'être intégrées facilement à l'aide des formules précédemment démontrées.

Considérons en premier lieu l'équation générale

èlz + u ^"~' byZ + i3 d^"" èj.z .,.. + h byz = V, (71)

ût, /8 , étant des coefficiens constans, et V une fonction de x et y.

Il est évident d'après la théorie des caractéristiques , qu'en représentant par X + a^, X + <z^ , X -f- a^, X + a„ , les n facteurs binômes du polynôme

l'équation (71) pourra s'énoncer sous la forme simplifiée

d'où l'on déduira , en intégrant successivement par rapport à chacune des caractéristiques D

et finalement

« = Sa, S^^ Sa„\ + Z"" 4^(y— «•»),

le second terme de cette intégrale indiquant la somme des n fonctions arbitraires de y — ax , prise depuis a=ra^ , jusqu'à a=zan. Quant à la valeur du premier terme, on pourra toujours l'obtenir par les procédés exposés au premier 5.

Dans le cas d'égalité des n quantités a, , a^ .... a„, la proposée conduisant alors à

son intégrale complète prendra la forme

z=Sy + (!?,{]/— ax) + a!<ç^{y—ax)-\-a!^<p,{ij — aœ).... +ar~'(p„^i(ij—ax)

ainsi qu'il déjà été remarqué au n.° 4; la somme des n derniers termes n'exprimant autre chose que 8^(0) , ou la valeur complète de l'intégrale de l'équation ('j 2) dégagée du terme V.

S'il n'y a qu'un nombre m de ces quantités égales à a , l'intégrale pourra alors être représentée simplement par l'expression

« = Sa, s„, . . . . Sa„ s:v + s:(o) + zTr"'<p{y-ax),

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'intégrer une équation de l'ordre n , susceptible d'être mise sous la forme

Dju + « D«r'a + ^ Dîr'^s . . . . + a^t = v, (73)

où m, «, |3 . . . . A représentent encore des constantes. En laissant aux quantités «^ , a . . . , a„ , la même signification que ci-dessus , cette équation reviendra évidemment à celle ci

(Dm -4- «J (Dm + aj (Dm + a„)z = V. (7 i)

Or, puisque l'équation

a pour intégrale (n.° 7)

la fonction arbitraire 4)(y — mx) étant comprise sous le signe S»i, il est aisé de voir, qu'en appliquant à l'équation (74), le procédé exposé au n." 1 1 de notre mémoire sur l'intégration des équations linéaires à deux variables, on aura relativement à la proposée,

+ e-«^>,(y— w^) + e~"»'(Ç»,(y— »ïx) .... + e-''''^(p„(y— /»^}; (75)

les coefficiens A^, A .... A„ ayant ici les mêmes valeurs que celles obtenues à l'endroit cité. Cette expression pourra être présentée encore sous la forme simplifiée

les signes S s'étendant depuis A=Aj jusqu'à A=A„ , et depuis a=a^ jusqu'à a-zz.a^', de sorte que chaque terme de la dernière valeur de % se compose de n expressions semblables. Au reste, il est presque inutile d'ajouter que tout ce qui a été rapporté aux n."' i4 et l5 du susdit mémoire , s'applique exactement à l'équation (74), en changeant seulement le

signe I de l'intégration ordinaire en S^.

27. On peut facilement établir une classe d'équations à coefficiens variables, susceptibles d'être ramenées à d'autres équations qui rentrent dans celles (71), (73) que nous venons de traiter. En e£fet , si dans l'équation identique

où p représente une fonction quelconque de iP et y, on suppose que celle ci soit telle qu'il en résulte uzzzp (wmo, étant toujours l'intégrale de l'équation dy — ^dj? = o), ou plus généralement, qu'on ait

jo=z:(P(m), donc Dp/? = o,

lOOV. m£M. Pa£M. CLASSE DB l'iNSTXT. Ton. VI. 28

on aura , en vertu de la formule (i4) n.° 6.

de même que si le coefficient /> fut une constante; d'où l'on conclura sans peine l'expression générale

Cela posé, à cause que l'équation J)ppz=o est satisfaite en prenant />=- , ce qui donne w=^, il en résulte sur le champ que l'équation

afèlz H- nx^-^yK-^^-h^^^^^-yàl-'è^z ....+ y"a> = V, (76)

qui, après avoir été divisée par ^", revient à

aura pour intégrale première

pour intégrale seconde

et ainsi de suite, d'où l'on tirera finalement (n/g)

Supposons à présent que la quantité V se compose de termes de la forme X/(-) 1 YF(^) , X, Y étant respectivement des fonctions de O! et de y, de sorte que l'on ait,

V = X/(?)+X./:(?) + X./.(f) + etc.

+ YF(ï) + Y.F,(?)+Y.F.(|)+etc.

il sera facile de s'assurer, à l'aide des formules (24) et (26), et en ayant égard à l'équation F(^) =--. (^)" F(^) , que le premier terme de l'expression générale (77) aura pour valeur

S;V' = /(!)/•"! d^" +/. (ï)/'^ d^ + etc.

+ F(|)/"| dr + F. (|)/" j-i àr + etc.