L'équation a?**D^a = V

donnant D^ ^ « = D (— ) =: -^ — — - ,

ou bien j:*"^' D" « = (^D^ — w)V, (78)

cette dernière relation va nous fournir le moyen de parvenir facilement à l'intégrale de l'équation générale

^«D> + A/'-' Dr~'« + B^""' »r'« .... 4- N» = V; (79)

A, B, C ...., désignant des constantes, et la fonction/? étant égale à ^.

Pour cela, posons ar=e*, yrre", d'où résulte — = d^, -i?:=dw,

donc xïipz = D\» , (80)

où la caractéristique D' se rapporte aux nouvelles variables ^, u.

Or, si dans l'équation (78), on donne successivement à n les valeurs 1,2, 3....W, on en déduira, à l'aide de l'équation (80), les relations suivantes.

x\ipz = D\a. a:^D> = D',(D' — i)(D' — 2)«

et en général

d'où l'on voit, qu'après avoir développé tous ces produits caractéristiques , la proposée (79) pourra toujours être ramenée à la forme suivante

D> + «D7-'!3 4-/30r-=a +Aa=:V;

équation dont les coefficiens ne contiennent aucune variable, et qui rentre par conséquent dans celle (yS) intégrée dans le n.° précédent. On n'aura ainsi qu'à changer dans la formule (76) a? en if, y en m, et ensuite e' en ^, e" en y; de plus (p(y — mx) devra être remplacé par

<p{u — i)=z(^log {^)z=<p(^). Effectuant ces substitutions, et observant d'ailleurs qu'il résulte de la relation (80) ,

il viendra pour la valeur de a, l'expression générale

On remarquera sans doute la parfaite analogie de cette dernière expression avec celle trouvée au n.° 2f) du mémoire cité, pour l'intégrale complète de l'équation à deux variables

X a t/ -\-Ax à y . . . . 4- Ny = V.

II est facile d'ailleurs de s'assurer que les n premiers termes de la formule (81), et qui représentent une valeur particulière de «, pourront être remplacés par l'intégrale multiple

analogue à celle rapportée au même endroit.

En supposant les n quantités a^, a^ , toutes égales à a, cette première partie de la valeur de s , prendra la forme

X Sp - Sp ^ m . . , S„ — : — .

Quant aux w autres termes qui doivent compléter l'intégrale, leur somme exprimera évidemment la valeur de », vérifiant l'équation

(D\ + afz z=0, (82)

Pour intégrer celle ci, faisons a = e~~"'Z, d'où l'on tire

partant (D\ + a)\= e-^'IT^Z.

Donc, si l'on prend D'fZrro, l'équation (82) sera satisfaite, ce qui exige (n.°g) que l'on ait

Substituant maintenant les variables x ^ t/, k l'aide des relations e^rrr^p, e»=y , on obtiendra pour la somme des n termes dont il s'agit, l'expression

^~"|<p(^) + {i^)<PA^ + (ixy(^f-).... + (i^)"->„,(y)|.

Si la fonction V se compose de termes de la forme Xn^) , YF(^) , on

opérera comme dans le n." 27, afin de changer les opérations indiquées par Sy, , en intégrations ordinaires par rapport à l'une des variables xouy. Remarquons encore que, d'après la nature de la fonction p^ on pourra permuter les variables x el y dans tous les résultats auxquels nous venons de parvenir relativement aux équations (76) , (7g) (*).

(*) Le 5"^ volume des Mélanges de la société royale de Turin, (années 1770 à 1773) p. 72 , contient des recherches de AfoMge sur l'intégration des mêmes équations. En comparant la marche suivie par cet ilhistre géomètre à celle exposée ci-dessus , et qui nous a conduit aux mêmes résultats , sans recourir à des opérations prolixes , on ne pourra raanqi^^r de reconnaitre la supériorité de notre procédé d'intégration , sous le rapport de la simplicité des opérations analytiques.

§ 3» Intégration des équations différentielles par des intégrales définies.

2g. L'application de l'analyse à la physique et à la mécanique conduit le plus souvent à des équations différentielles partielles qui n'admettent pas d'intégration immédiate. On sait que, dans ce cas, leurs intégrales complètes ne peuvent s'exprimer en général qu'au moyen de séries infinies , contenant des termes multipliés par les coefficiens diflférentiels des fonctions arbitraires, mais dont la loi n'est pas toujours facile à entrevoir. C'est au génie fécond à' Euler qu'on doit les premières tentatives pour exprimer plus commodément ces sortes de séries par des intégrales définies, d'où résulte en même tems l'avantage de parvenir promptement à la détermination des fonctions arbitraires , d'après les circonstances présentées par la question. Depuis, cette nouvelle branche de l'analyse s'est trouvée enrichie de plusieurs résultats importans. Cependant , malgré les succès déjà obtenus par les premiers géomètres modernes, les équations susceptibles d'être soumises aux méthodes proposées jusqu'ici, ne forment encore qu'une faible partie de celles qu'on sait intégrer par d'autres moyens, ce qui prouve assez la difficulté de la matière. Il semble donc que la recherche de méthodes générales et uniformes reste toujours un objet digne d'exercer l'esprit des géomètres.

L'essai que je présente sur cette matière, et qui ne s'étend pour le moment qu'aux équations du second ordre, est sans doute loin de pouvoir suppléer à l'imperfection des méthodes actuelles. Mais on en aura du moins une nouvelle preuve de l'importance de la théorie des caractéristiques , celle ci oJBfrant encore un puissant auxilaire pour simplifier les recherches dont il s'agit ; et l'on reconnaîtra en même temps que les progrès futurs dans cette branche moderne du calcul intégral , marcheront de pair avec ceux que l'on réussira à faire dans l'intégration analogue des équations linéaires aux différentielles totales, par

suite de la liaison intime que la théorie des caractéristiques établit entre ces deux parties de la science, traitées jusqu'ici par des méthodes tout à fait diverses; liaison qui ne semble avoir été remarquée jusqu'ici, et qui forme presque la base de la méthode que je vais exposer. Je n'ai eu en vue que d'indiquer une nouvelle route analytique, propre à conduire plus promptement aux résultats déjà connus ; d'autres géomètres pourront y puiser de nouvelles ressources pour étendre ma théorie à d'autres équations moins faciles à intégrer sous forme finie, et qui échappent aux méthodes ordinaires.

Pour plus de simplicité, je commencerai encore par considérer en premier lieu le cas particulier où les coefficiens des divers termes de l'équation différentielle sont des constantes , en supposant en outre que cette équation ne contienne aucun terme fonction seulement des variables indépendantes. Mais avant de traiter ce cas d'une manière générale, j'ai cru utile d'appliquer d'abord ma méthode d'intégration à une équation très simple, afin d'en faire mieux saisir le véritable esprit, et de faciliter par là l'intelligence du procédé plus général.

3o. Soit donc à intégrer l'équation du second ordre déjà traitée dans le n." 16

et qui pourra s'énoncer sous la forme

(dx + abj) (d^ — aèy)%z= o.

Comparons à celle ci l'équation analogue à deux variables s, x

ou, ce qui revient au même

dont 1 intégrale complète s'exprime par