Aeû* H- Be

Si l'on suppose la quantité» fonction de deux variables x, y^ il est évident que la valeur précédente se changera en

pour l'intégrale complète de l'équation aux différentielles partielles

Remplaçons maintenant la constante a par la caractéristique aà^ ^ ce qui transformera la dernière équation en celle (83) , dont l'intégrale deviendra en conséquence

Or , puisqu'en vertu de la théorie des caractéristiques , l'expression e"'^^^(p{y), est identique avec <?(y + a^), il s'en suit que la valeur de « revient effectivement à

z=:(p{y + ax) + ^y — ax),

ainsi que nous l'avions déjà trouvé au n." 16 , en suivant une marche différente.

Il est facile de voir que par un changement convenable des constantes A, B, l'intégrale de l'équation (84) peut s'exprimer encore ainsi

qu'il suit

% = A(e«^ — e-«^) + B(eo^ + e— «^),

et sous cette nouvelle forme, le second terme énoncera précisément le coefficient différentiel du premier , multiplié par une constante. Observons de plus que ce premier terme exprime la valeur de l'intégrale définie

» /'"" axcosx . j A/ e xsm ce act.

Par conséquent, la valeur de % intégrale de l'équation (84), se changera en

A/'"'' axcoix • 1 i ) \ /^^ axcosx . ,

/ e xsinoid»-}- Ao^ / e ^smc*d»;

d'où l'on conclut immédiatement que l'équation à trois variables

d* — a*a=:o, aura pour intégrale complète

a = / g«^cosa! ^ ^^^ ar sin « d<» 4- dx / e"**'*"'' 4* (y) x sin et d«.

Or, en écrivant dans celle ci, a3y au lieu de la constante a, on en déduira de suite, eu égard à l'équation identique

e«^^(Ç(y)=<î)(y-|-aa7), l'expression

a=/ (Ç{y -i- a xcos et) X sin ce dc6-{-dg / 4'(y + «* cos ») ^ sin « d«. •^ o «^ o

pour l'intégrale complète de l'équation

dl% — a*d^« = 0, 3i. Passons maintenant à l'équation générale du second ordre

di« -i- Adjrd^z + Ba> -h Cd^a + Dd^« + Ea = o , (85)

susceptible, d'après ce qui a été exposé au n.' 17, d'être mise sous la forme plus simple

(Do + w) (Do' + w)« + (E — nn)%zzso,

a^ a'y n,n ayant les valeurs énoncées à l'endroit cité.

Supposons en premier lieu qu'elle puisse admettre une intégrale première , c'est-à-dire , qu'on ail l'équation E — nn' = o , ce qui réduira la proposée à

(Do-f-n) (Da/H-w')a = o

Nous allons montrer qu'il est toujours possible de ramener l'équation précédente à celle de la forme

DoDo'/ = o.

IfOtr. KÉl. PREX. CI.A3SB DE t'iHSTir. TOH. VI. ^

En eflfët, posons d'abord z=z e-'^'^%\ on en tirera (n." 17.)

Soit maintenant %'zzze^f, p étant une fonction de x, y, qui donne Dfljozro; on trouvera sans peine que cette dernière équation se changera alors en

Or, en prenant pour p une fonction telle qu'il en résulte en même tems Jia'p ■=.n — n\ le terme affecté de 0^/ disparaîtra de l'équation précédente ; et il est aisé de s'assurer que la valeur

satisfera aux deux conditions que nous venons d'énoncer, de sorte

que la supposition

(n'r- n)y -f- (o'n — an')x

réduira la proposée à la forme simplifiée

identique avec celle ci

(D^ + ad^) (d^ + a'd^)if=o. (86)

Observons à présent que l'équation analogue à deux variables t^x^

(ô + 7w) (d 4- m)t = 0 ayant pour intégrale . . . ,

celle ci nous donnera immédiatement pour l'intégrale complète de l'équation à trois variables tyX,y^

(d*H-w)(d^4-ȔO^ = o, (87)

l'expression /= e— »*^4)(y) -^- e— *'»'^4'(y)«

Posons mzna+fi et m'=zei — /3, cette dernière valeur de t se changera en

expression que l'on pourra transformer encore en celle ci

et d'où l'on déduira enfin , comme dans le n." 3o ,

f = e"*"^ I / e *^''**'<f) (y) ar sin w dû> + d ^ / e^'"^°'^"^{y) x sin w d«| .

Pour appliquer ce résultat à l'équation (86) , il ne s'agira que d'y remplacer m par aby et m' par a'd^, ce qui revient à faire

«=f-±5')a^ = a.d, et/3=(:irifi)d^=«^,V

Ces substitutions donneront pour le premier terme de la valeur de /, lequel nous désignerons par ^

t' = e"""*'^'"'' / (J}{y + a^x cosu) ^ sin w d« ,

(p{y 4- (a, cos« — a,)a?}x sin« dw.

Le second terme t' aura pour expression

4'(y + a,^ cosft») ^ sin« da , o

en observant de changer y en y — a^x , après avoir efiTectué la différentiation par rapport à la variable x.

Si dans l'équation (87) on change m en a^j-^n et m' en a'dy + n' l'intégrale

fournira sur le champ

ou , ce qui revient au même

t = e-«^(p(y — ax) + e— »'*4'(y — «a?) i

pour l'intégrale complète de l'équation

(d + aby 4- w) (da; + a'^j' + w*)^ = (Do + n) (Do' + 7Î)t = o,

ainsi que npus l'avions déjà trouvé au n.» 17 en suivant une marche très différente. On voit par ce qui précède, comment l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à coefficiens constans peut se déduire facilement de celle des équations de même espèce aux différentielles totales. Cette remarque sera d'ailleurs pleinement confirmée par le procédé que nous allons développer maintenant pour obtenir l'intégrale sous forme finie de l'équation générale (85), lorsqu'elle n'admet pas d'intégration immédiate.