D — AC 2D— AC

en vertu des relations trouvées au n.° 17; on aura en oulre entre les coefficiens et, /3, la relation

Comparons à l'équation (88) celle du second ordre aux variables t, x

((a 4- m) (d 4- m') — ^*)/ = o , dont l'intégrale complète s'exprime, comme l'on sait, par

ou bien, en suivant la marche indiquée au n." 3i ,

/ = ^-(-7-)-|Ay e"'^"**^^^ , -)^+**^sinû.d«

^rcos«-/(-i— )'+*»^ sin« d«} .

Il faudra de même remplacer dans cette dernière expression m ei m', par ad y et aà^ , ce qui fournira pour l'intégrale cherchée,

e = e-^'^'^-^l r"e"'=°'''^^^5+*^(p(y) a; sin« d«

^dsre'"'"'^'°^^^^My)xsma,da,}, (89)

« étant égal à 'L+î^ , et «, à ^^Hl'.

L'intégrale définie qui entre dans le résultat précédent , contenant une fonction caractéristique soumise au radical, il deviendra nécessaire de lui donner une autre forme qui soit rationelle, afin de pouvoir l'appliquer aux fonctions arbitraires qui en sont afiFectées.

A cet effet, nous allons partir d'un théorème remarquable sur la réduction des intégrales doubles, démontré par M. Poisson, à l'aide de considérations géométriques (*). En désignant par g, h,k trois quantités constantes, la double intégrale

//^^(^ cos w 4- A sin M sin V 4- A sin w cos v) sinw dwdv, .,

prise entre les limites % = o, M = 7r et v = o, v^zItt sera équivalente,

(*) Mémoires de l'académie des sciences, année 1818, pag. 126.

quelle que soit la fonction <p , à

/V) zzz ^L^ ,:^ î (H^ . ; 4^(1^5'' + A* -f- A* cosw) sina d«.

Si Ton suppose <p(^) = e*, A =:= o , qu'on change ^ et A en gx et kx^ le théorème dont il s'agit conduira à la relation

e X sva-Où auz=. 1 1 e ^ ^^smwdMdv;

d'où l'on voit, que l'intégrale caractéristique qui entre dans la formule (89) , est susceptible d'être remplacée par la double intégrale

-L //e ^' X Biau au av ^

prise entre les mêmes limites que ci dessus.

Substituant cette nouvelle expression , on trouvera aisément que le premier terme de l'intégrale (8g) se réduit, d'après la théorie des caractéristiques à

t zzi 1 1 e 'P\y+v*'x cosw — a^)x^xsm.u auav ^

le facteur — étant compris dans la fonction arbitraire; et le second terme à

t" = d j7^*'"''""""''4-(y + a^x cosw) x sinu du dv

pourvu qu'on change y en y — a,^, après avoir effectué la diflFérentiation par rapport à x.

Dans le cas où A-=zo, les deux expressions précédentes rentrent dans celles déjà obtenues ci dessus (n." 3i); et, en supposant a + a' = o i'équation à intégrer deviendra

^xt — a^t — -^ V =. o , (90)

on trouvera alors , à cause de a^:=o, a,r=:a, pour l'intégrale de cette dernière équation ' "-^ '

-ff

6 <P{y -\- ax cosu) X smu audv

xf/e r^[y-t-axcosu)xsinuaudv,

résultat qui coincide parfaitement avec celui obtenu par M. Poisson ^ d'une manière moins directe (*), C'est à l'intégration de l'équation (go) que cet illustre géomètre ramène celle de l'équation générale du second ordre (85). Mais il ne nous sera pas diiRcile de faire voir qu'il est toujours possible de réduire encore l'équation (85) à la forme très simple

Pour cela, changeons les variables x^ y, en d'autres m, v, telles qu'on ait les relations

wz^ax — y. v=:y — ax\

d'où l'on tirera

partant Da^=:(a — «')0c^. Dow^=(a — «')^«'

donc . Da'Da^=(a — a')^„Da^=r(a — a')*^»^*^»

ce qui transforme l'équation (88) en celle ci

d«d^/ — cV = o, (gi)

c étant égal à

a — a' On trouve en outre , à l'aide des relations adoptées ci-dessus

, y — a^xzr: . axz:z — '—.

(*) Hémoires cités, pag. 164.

Substituant ces valeurs dans celles de f' et /" données ci -dessus, on pourra obtenir sous forme finie l'intégrale de l'équation (gi) qui ne semble avoir été exprimée jusqu'ici qu'au moyen du développement en série. Si, pour abréger, on fait encore v -^uz=x^^ v — u = x^, on trouvera directement pour l'intégrale dont il s'agit, la formule

t = I j e^^^^^''^ <^{x^ -\- x^ cos«) x^ sinoe doft d^

"^ ^xx //e'^'^'*'"**^ 4'(-^, + x^ cos«) x^ sinesdoj diS;

les intégrales étant prises entre les limites <»=o,ûsr=7r et /3=o, ^c=.2n. 33. Considérons en particulier l'équation

^jy% = a^l% H- b^x'z 4- c%. (92)

à laquelle se réduit notre équation générale, en y supposant

A = o. B = o. Gr=:^. D = — 1. E = e.

Il ne parait pas possible de dériver son intégrale de celle obtenue pour le cas général, à cause que les quantités n,n\k deviennent infinies. Mais voici un procédé assez simple pour parvenir à l'expression sous forme finie de l'intégrale cherchée.

Désignons la fonction caractéristique «ô^+ôd^-fc par la constante A, la proposée pourra s'énoncer alors ainsi qu'il suit;

^jZ — A« = o ; équation dont l'intégrale est évidemment

et en remplaçant A par son expression caractéristique , il viendra

Or, puisque nous avons déjà trouvé ailleurs, (*) l'équation identique

(*) Mémoire sur la théorie des caractéristique» , pag. 58.

DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES A TROIS VARIABLES. e^%{x) = -2^J^ * e~*>(a; +7 ce, l^y)dc6 ,

Texpression de % se transformera immédiatement en celle ci

le facteur -Ir- étant compris dans la fonction arbitraire. En supposant 6 = o, c=:o, on tombera sur la formule

« = / e~* (p{x + 2<j6 l/ay)d<*,

intégrale de l'équation

ainsi qu'il a été trouvé pour la première fois par Laplace

Si l'on écrit y au lieu de ay et ax au lieu de x, on en déduira pour l'intégrale de l'équation

;s = / e""* <S^{ax + 2a l/'y)dflf.

L'équation (94) est du genre de celles qui, quoique s'élévant au second ordre, ne comportent cependant qu'une seule fonction arbitraire. Mais on peut parvenir , ainsi qu'il suit, à un développement de son intégrale, contenant explicitement deux fonctions arbitraires.

En effet, l'équation à trois variables ^, y, «,

dja = «*«, ayant pour intégrale complète

HOOV. OÉn. PBÉU. CLASSE DE L'iIfSTIT. TOM. VI. 30

la substitution de la caractéristique ad^ à la constante a, fournira immédiatement pour l'intégrale de l'équation (g4^)

Développant les caractéristiques exponentielles qui affectent les deux

fonctions arbitraires, il viendra, en mettant ^''^/(y) = (p^(y) z = <p(y) 4-^ ô(p(y) H--li*4l- a^<î)(y) -i-etc.

(i*X' \ ^ / \ . fi' A"*

+ ax <p^{y) H- -^ d(p,{y) +___ d*4)^(y) + etc.

D'après une remarque faite par M. Poisson , ce dernier développement peut être transformé en 'un autre qui ne contienne qu'une seule fonction arbitraire de ^, et qui s'accordera alors avec celle qu'on obtient directement par l'intégration de l'équation proposée , en donnant à celle ci la forme

ôv« — -1 d*» = o, savoir

% = e""" <p(x) =i<p(x) + Lh*(p(x) -\- J- -^-d*d)(^) + elc.

fi* i.2rt*

34. La méthode que nous venons d'exposer s'applique avec le même succès à une classe d'équations du second ordre , dont les coeiRciens sont des fonctions d'une seule des deux variables indépendantes. Une des plus simples de ce genre est celle ci

qui se ramène immédiatement à

dîa=ia^« + i.«, (95)

en y faisant ayzzzt.

Si l'on substitue la constante A à la caractéristique d<, il ne s'agira d'abord que d'intégrer l'équation du premier ordre à deux variables

d'où l'on tire '^ ^ = A* ^ — ^ ,

et en intégrant a = G^~*el****,

ce qui fournira pour l'intégrale de la proposée,

* = ^-*ei^*^'(p(^), (90

ou bien , en opérant comme dans le n.* 33.

intégrale qui ne comporte de même qu'une seule fonction arbitraire. L'équation ((^5) conduit à celle ci

dî« + 2»» d^«==:i d^» + (— — ■?»*)«,

en y écrivant d^+w à la place de d^. La même substitution étant effectuée dans l'intégrale (96), il en résultera

= x-à e^"^""* e^^î (^{t-\-mx')

= ar-*e / e-«*<p(/-}-wa?*-l-*jtl/2)dar.

Si l'on remplace en outre t par ay , on obtiendra pour l'intégrale de l'équation

.— -r-fc