Occupons nous maintenant de l'équation
qui se présente dans plusieurs recherches de physique mathématique» et dont Euler a fait l'objet d'un travail très étendu, inséré dans les anciens mémoires de l'académie de Turin (Tom. III. pag. 60). On lui doit l'expression de l'intégrale de cette équation, au moyen d'une série infinie , susceptible de devenir finie dans quelques cas particuliers. M. Poisson a montré le premier que cette série peut être transformée en une intégrale définie , et il a ajouté en même lems plusieurs remarques importantes relatives à l'intégrale obtenue de cette manière (*). Mais on va voir qu'il n'est pas nécessaire de chercher d'abord l'intégrale en série , pour en déduire ensuite son expression sous la forme d'une intégrale définie ; ce qui ofi're un grand avantage dans plusieurs équations où il serait moins facile de reconnaître la loi qui lie entre eux les divers coefficiens des termes de la série.
En posant comme ci-dessus ay:=-t, la proposée se réduit d'abord à
^\% = y^% H- * da;» + -^^ ^' (97)
Considérons séparément l'équation analogue à deux variables
a*«4^a«4 êa = A'a, (98)
(*) Journal de V École polyt. XIX Cahier pag. 215. Je crois devoir rappeler ici que déjà M, Cardinali , dans un mémoire intitulé Sul calcolo intégrale délie equazioni di differenze par • ziali , Bologne 1807 (pag. 15), avait donné l'expression sous forme finie de la même intégrale, lorsqu'on a /3~«. Cependant le résultat obtenu par ce géomètre, contenant des doubles intégrales indéfinies , paraît peu propre aux applications.
où A indique une constante. Faisons y disparaître le terme affecté de %. Pour cela soit z:=zux"; cette substitution changera la dernière équation en
d*u + (^)àu + C^"—'l-^"''-^^)u = A*u. (99)
Le terme affecté de u s'évanouira, en prenant l'exposant n tel qu'il satisfasse à l'équation du second degré
ce qui donnera pour n , les deux valeurs
Si , pour abréger, l'on fait encore 2w + ci=z ik , l'équation (99) se réduira à
et les valeurs correspondantes de k , seront
Pour que ces valeurs ne deviennent pas imaginaires, il faut que /3 soit
une quantité négative, ou bien que,/3 étant positif, on ait 1 — o(,> 2V//3;
il est évident d'ailleurs que A,, A^, exprimeront les deux racines de
l'équation
k{k — 1)=: tu ;
représentant la quantité Ç— fi — /3=:*(?— 1)— /3.
Cherchons maintenant la valeur de m, au moyen d'une intégrale définie; c'est à quoi l'on parviendra sans peine , en appliquant ici la belle méthode d'intégration due au célèbre Laplace (*).
(•) Théorie analytique des probabilités , pag. 110,
Supposons en conséquence u = ye^^Pd/) , P exprimant une fonction seulement de p, et l'intégrale étant prise entre deux limites qu'il s'agit de déterminer. On tire directement de cette valeur de u
du ::=fe^''Vp dp. d'u =/e^''Pjt>* dp
xb*u :=:Je^^Vp*£C dp = f^p'' dp e^^dp
=re^"Vp'—feP^d{Vp').
On trouvera par une opération analogue
^w = eP"P— /e^^dP.
Donc l'équation (loo) qui revient à
a;(d^u — A*w) 4- 2A ôw = o ,
se transformera en celle ci
e^^P (j»' — A^)+/e^'^dj»{2APp + A*clP — a(Pj»')} =0. (101)
En égalant à zéro la partie soumise au signe intégral, il en résultera, pour déterminer la fonction P , l'équation différentielle
2k Vp + (A* —p')dV — 2Vp=:o,
d OU -^ = -^-— — 7 —
et en intégrant P=:C(A* — />*)
Substituant cette valeur de P dans l'équation aux limites
e^"P(/>» — A^) = o, on en déduira e ^ (p' — A") =0.
Donc, en supposant l'exposant A>*o, les limites de l'intégrale seront pznk el pz=. — A, et l'on aura ainsi
Si l'exposant k devient négatif, les limites dont il s'agit cesseront d'être applicables alors. Or, les deux valeurs de k étant positives tant que 06 et (3 le seront également , on pourra dans cette dernière hypothèse employer ici l'intégrale définie que nous venons d'obtenir pour u.
Cette intégrale prendra une forme plus appropriée à notre but , en y faisant ;o = Acosa, ce qui changera ses limites en ft)=:o et û> = 7r; nous en tirerons alors pour l'intégrale cherchée
/ e sin (a au. (i02)
Et puisqu'on satisfait à l'équation (9H), en prenant z=M^**=w:r*~I , il est clair qu'on devra attribuer à k. ses deux valeurs k^, k^ obtenues ci-dessus, de sorte qu'il eu résultera pour l'intégrale complète de cette équation
e sm M au
!5=:Cx^' 2*/ e sm wdw + Ga;"* 2*/
ou bien, à cause de A =: 1 — A, , et en écrivant! «j, au lieu de 1 — i «
r" Jt, — -^ r^ Aa;co»» . cft»— i , , ^/ -*,—*, C^ Axcos* . i— a*i ,
t. =r Co?*' 2^ I e sm w d« + C ^i"^» *» / e sm oi au.
En considérant z comme fonction des deux variables /, ^, cette dernière formule exprimera également la valeur de l'intégrale complète de l'équation (97) , pourvu qu'on y remplace la constante A par la caractéristique d^ , et les constantes C, C' par des fonctions arbitraires de ^; ce qui conduira à l'expression
1, La; r^ TCOSwt*/ / V . ihi — I J , 'Xy — k, P"" a;C08«Dy|-.> . 1—2*, ,
*=J7** »* / e cp(/)sm «dw + a?» * **/ e ^^{t)%\Vi «d»,
(io3)
qui , d'après la théorie des caractéristiques , revient à z = a7**"~î* / <P(ay + £C cos w) sin^ '~ w du
+ iî7ï** *W v|/(ay + ip cos «) sin *« d^ (^O^)
après avoir substitué ay k t.
Si l'on suppose o6 = o, la valeur de a s'accordera exactement avec celle obtenue par M. Poisson , pour l'intégrale complète de l'équation
En faisant /3=:0, l'équation (97) se réduira à
d> = a'(d>H-f?d^»). (io5)
et son intégrale deviendra, à cause de k^-=.\ — -•=z-cb ,
a = ^' */^ (p(ay H-a7C0Sû))sin^~*«d»
t|/^(ay + a: cos«) sin coda. (^f>6)
Supposant en outre «=0, on obtiendrait pour le premier terme de l'intégrale de l'équation
l'expression *^^^/ <P(«y + ^cosw) ar sin« da.
Le second terme donné par la formule (106) ne pourra être applicable à l'hypothèse actuelle , puisqu'on a y?;^ z= o.
Il est bon de remarquer ici que la valeur de u donnée par la formule (102), quoique n'indiquant qu'une intégrale particulière de l'équa-
tion (loo), a suffi cependant pour obtenir l'intégrale complète de l'équation (97) , ce qui provient de la double valeur dont l'exposant n est susceptible. Mais on peut facilement trouver une seconde valeur particulière de m, d'où l'on tirera de la même manière une autre expression pour l'intégrale complète de l'équation en z. En effet, k étant toujours supposé un nombre positif, l'équation aux limites
sera également satisfaite, en prenant /?= — A et />:=: — 00; d'où il résulte pour u , la nouvelle valeur
u — zf
Posant maintenant /) = Asecù>, les limites de l'intégrale se change-
ront en «=o, « = -; et l'on aura alors
"Z — Axsec» . 2* — r ,
^ e tg « sec M d».
On en déduira comme ci-dessus pour la valeur de », l'expression
« = ^ ^~â / ^<p{ay — arseca) tg** *"~*«sec«da» •^ o
-t-a:7~*i/ ^^{ay — ^secco) tg'~^* 'wsec«d«, •^ o
moins simple cependant que celle obtenue en premier lieu.
Observons encore que si dans l'équation (97), on remplace la caractéristique ^t par celle d^ + a, elle deviendra
d'à -h 2a ^t% = dis 4- ? d^« -h (-^ — «')«,
et son intégrale déduite de la formule (io3), aura pour valeur
HOCV. ll£S. PREM. CLASSE DE t'iNSTIT. TOM. VI. 31
zzzzx"^ 2/ e <p(/ + iFCOs«) sm w d«
— — *■ C^ axcoseii/. , \ • i — 2*1 ,
-\-Xz **/ e rp[i-hWCOsa)) sin u du,
36, Nous allons montrer qu'il existe encore d'autres équations plus compliquées, qui par de légères substitutions se ramènent facilement à celle que nous venons de traiter.
Prenons d'abord « =: e»»*w , il en résultera da:« = e'»^(dx -f- m)w et d^»= e"*^(da; 4- w)''m; ces valeurs changeront l'équation
en celle ci
(d^ + m)'w H- - (djp + 7ti)u -|- ^ w = {jby -\- ayu,
ou bien, après avoir développé les divers coeificiens caractéristiques
dlu + {2m H- -) ô^w — d^M — 2ad^u + (£ 4-i^ + n')u = o ,
n* étant égal à ?»* — a*.
Donc, cette dernière équation étant donnée , la supposition M = e~"'^« la ramènera immédiatement à la forme de l'équation (97).
Considérons encore l'équation
En posant z=:x^z', on s'assurera aisément que la supposition /*=— fera disparaître le terme affecté de d^«, de sorte que l'équation qui en résultera , prendra la forme
ô>' + 2 Ad^ d^» + B dl% = ^ d^»' 4- 5! a'; (108)
les coefficiens C, D' ayant les valeurs suivantes
G'=rC— 2Bn. D'=E + Cw — n(n—i)B.
L'équation précédente peut s'exprimer encore ainsi qu'il suit
A'* étant égal à A* — B.
Faisons maintenant a'=:e~ "^ *w, u désignant une nouvelle fonction des deux variables x^ y. On en tirera
donc (by + Ad^)a'= e'^-^^^u,
et en posant pour abréger —- = « , -^ = ^, il viendra après les substitutions exigées , au lieu de la proposée , l'équation
analogue à celle (97), et dont l'intégrale s'exprimera par conséquent par
«rra?^ »/ <|5(A'y + a:cosw) sin ^ «d» J o
