L'équation

m' \ ^ , nz

d„ de« =:-^ d„« H- -^ d«» 4

traitée pour la première fois par Laplace {") , est encore du genre de celles qui se ramènent à l'équation (g 7) , ce qui ne paraît pas avoir été remarqué jusqu'ici. Il sera donc possible d'obtenir directement son intégrale sous forme finie, sans qu'il soit nécessaire d'en chercher auparavant le développement en série infinie. A cet effet, introduisons deux autres variables a;, y, telles qu'on ait les relations

u^ziax — y, f = y — a'x^

il en résultera (n." 32).

Do« = (a — a') d,,« , D«'i5 = (a — a) Dm»

Ces valeurs changeront la proposée en celle ci

ou bien, en exprimant chaque membre en fonction des coefficiens différentiels partiels d^ , ^y

Or, puisque les constantes a, a sont entièrement arbitraires, on pourra en disposer ici, de manière que le terme effecté de <iy% disparaisse dans cette dernière équation, ce qui s'effectuera en posant

Ces substitutions faites , l'équation dont il s'agit deviendra

Ojr%-\-{m — m) dxOj% — mmd^a + mm (^T- ^ Ox'z-\ a = o.

(*) Mémoires dé l'académie des sciences , année 1779.

Si l'on compare à présent cette équation à celle (lo8), on aura

C = — mm'(m-\-m'). D' =r — nmm',

ot

__ kmm' p, ___ k'imm'

m-\-in' (w-}-/7i'j»

Il Tiendra de plus

^__ jH-t^^__W / ^ v^ . flH^'o __ mv-m'u

a — a m-\-fn' a — a' m-\-r/i' '

^nmiu-\.p)-\-i-^—){mi^-m'u) ^,„,^^ donc X — Ay= ; — ; = 1 —

*' . / A \ mv~m'u , /m'u-\-mu\ et A y H- yx — Ky) cos ta = 1- ( — ^ — ) cos w

= mv cos* mu sin* -.

Substituant ces valeurs dans la formule ( i og) , on obtiendra pour l'intégrale cherchée

a = (m'M-+-mv)**~ i / <p(mt; cos* - + mu sin* t) sm ^"""^w àot ^ o

H- (m'w4-»zv)T-*' / ^[mv cos' - + mu sin* -) sin^~" *« d» ( i lo) k^ désignant, comme dans le n.'SS, une des racines de l'équation

Dans le cas particulier où l'on a w = o, ce qui donnera à la fois ^=o, on aura A,=z -, 2^, — i =« — i, et la valeur de % se réduira

alors à celle ci

<p(/nî; cos*- +m'w sin* *) sin* ^« d» o ^ -

+ (wt'w -h wv)' */ ^['(wvcos* -+m'ttsin* -) sin'""*»d». (m)

Si l'on suppose en outre mz=im\ il en résultera pour l'intégrale de l'équation

la valeur

« = / <p < 7» (v cos - + M sm -) > sin ^ 'ca do»

-f. (u+v)' f t|>| m(vcos^ - 4- wsin* *) | sin'^"*'*"'» du.

C'est ^'w/er qui, le premier, a donné un développement en série infinie de l'intégrale de l'équation précédente (*). Parseval a fourni ensuite le moyen d'exprimer la valeur de cette série au moyen d'une intégrale définie (j-). Mais il est aisé de s'assurer que le résultat auquel on parviendrait, en effectuant les transformations indiquées par ce dernier géomètre, serait d'une forme beaucoup moins simple que celle que nous venons d'obtenir ci-dessus.