Soit donnée encore l'équation

cLa = a^> + ^ d^« + -1 «.

ne contenant par rapport à la variable y que son coefficient différentiel du premier ordre. Si l'on y fait ay zzi , la proposée prendra la forme

Si l'on marque la caractéristique d^ par la constante A, il est évident qu'en traitant l'équation précédente comme celle (97), son intégrale s'obtiendra directement à l'aide de la formule (io3), pourvu qu'on y

change d^ ou A en zb ô< , ce qui fournira pour la première partie de l'intégrale complète , l'expression

J? * » / (e '-{-e ')(p(/)sm « d«,

(*) Institut, cale, integr. Tom. III. pag. 267.

(•{•) Mémoires présentés par divers savans. Tom. I, pag. 541.

Pour savoir ce que signifie la caractéristique exponentielle qui aflfecte la fonction arbitraire, il suffira de remarquer qu'en posant

M étant fonction des deux variables x^t^ on en tirera l'équation difié-

rentielle

^\u = cos*« d^M ;

d'où il suit que la valeur de u énonce sous une forme caractéristique l'intégrale de cette dernière équation, et pour laquelle nous avons déjà trouvé (n.° 33)

w = / e~" <p{x cos« + 70t. V^t) da. — co

La substitution de cette valeur de m, conduira à

z:^ar^~'i I sin ^ w dw / e ^(^cosw -|- 2<36l/^) d«

o — ûo

+ a?-l*»-*»/"'sin ~^*'« dw /"'* e-«'^(^ cos» + 2«1//) d«. (u3)

Telle est l'intégrale complète de l'équation (n?). Si l'on y fait *«=ro et t-z=.a*y, le résultat particulier s'accordera encore avec celui obtenu par M. Poisson , pour l'intégrale de l'équation

Dj.a = a"" I dx« -f- E « J .

Ce géomètre a prouvé en même tems que les deux fonctions arbitraires contenues dans la formule (i i3), sont susceptibles d'être réduites à une seule , ainsi que cela a lieu pour l'équation (gé) ; ce qui tient à ce que l'équation à intégrer n'est que du premier ordre par rapport à l'une des deux variables indépendantes (*).

(*) Journal de l'Ecole polyt, , Cah. XIX. pag. 240.

39. On vient de voir le parti qu'on peut tirer de l'intégration par les intégrales définies des équations différentielles ordinaires , pour en déduire celle des équations aux différentielles partielles. Voici encore quelques applications de la même méthode.

Soit à intégrer l'équation

d*» — ^x^y^-h-^T^ — ^djr%=ZO, (ii4)

Elle donnera lieu à l'intégration de l'équation à deux variables

ô'«H-?d« — êA« — Ad«=ro, (ii5)

A désignant ici la caractéristique Oj.,

Faisons % z=:Je^^Vdp ; on trouvera , en intégrant par parties

xd% —fe^^^px dp = e^'^Vp —.feP''d(Vp).

Ces valeurs étant substituées dans l'équation (ii5) mise sous la forme

x^*% + (cb — Ax) b% — (BA% = o, on obtiendra pour déterminer la fonction P , l'équation différentielle

d{Vp') — Aè{Vp) — »Vp 4- /3AP = o , qui se réduit à

ip' — Ap) dV -{- {2p — A — ctp -h ^A)V = 0 i

d'où ^ — i^ZULP+llZI^

P — ilJ—A)p

donc , en intégrant

V^Cip^Af-^-'p^\

Quant aux limites de l'intégrale, l'équation y relative étant /' (^'P AVp) = Ce^" (p — kf-^p^ = o, on en conclura , en supposant «6 > /3 , les deux sistémes de limites

jo==o, jo = A, et/?z=:o, P^^^ — oc- Partant, l'équation (ll5) aura pour intégrale complète

% = C /^V^ {X-pf-^-'p^'-'dp + G' re-'' i^+pV'^" P^"àp.

Si l'on prend /? = A sin*(p, le premier terme de cette intégrale se transformera en

/ 2 e ^ sm '^ (p cos ^ <p d<p.

Et en faisant ^ = Atg*<p, le second terme se réduira à C /^e tg "^ <p sec <J)d4>.

Au moyen de ces substitutions , on trouvera , en opérant comme dans le n.° 35, pour l'intégrale complète de l'équation (ii4)

%•=: I ^ ^{y + X sin*(î)) sin*^~'<p ços'^ ~^(p d<p

H- A ^''(y — ^ tg'<î>) tg'^^'V sec'^'cp dcp, (i i6)

jS' étant r= « — /3,

L'équation a> = ^ (di« -+- ^ d^«) , (l»7)

peut être traitée ainsi qu'il suit.

■ouv. K£ir, pbëh. classe de l'iitstit. tov, yi. 32

Faisons a: = V^2w ou ^*=2m, on aura alors

it)^a = dM». ()*a= ô««s4- 2wô*«,

ce qui transformera la proposée en celle ci

équation analogue à celle (io5). Donc la formule (to6) donnera en y remplaçant «par ?—, et remettant -^* à la place de w, l'intégrale

I — X __ 1—cc

%^x '* I <p(ay-}- cosw) sin * uàui