fay^-' cosû>)sin * w d«. " (ll

4o. Nous terminerons cette dernière partie de notre travail par indiquer les transformations successives qui peuvent être appliquées à l'équation générale

dU + PMj« + Q^> + Rc>^« + SD^!5 + T« = o, (119)

afin de réduire le nombre des termes de son premier membre , tous les coefficiens P, Q...., étant supposés fonctions de x seulement. En effet, après avoir déterminé les quantités p, p\ q, q\ à l'aide des équations suivantes (n.° 18)

?=/)+/?'. i^z=.pp'. K=zp'q -{-pg' -h^p. S=:q-{-q\

et posant en outre 1 = qq' -^bq — T',

la proposée prendra la forme

{J)p' + q')(Dp + q)^ = T%. (120)

Faisons d'abord «=e~^* ^i, t étant fonction des deux variables indépendantes, on en tirera •-''■ ^' ;

donc, l'équation (119) deviendra

Dp'Dpi + iy'-^q) T)pt = TV.

Prenons encore / = e*w, u étant également une fonction de x,y,et l'exposant k tel qu'on ait D^A=o, cette nouvelle substitution conduira à l'équation

DpDpU -f- {Dp'k 4- q' — q)T)pU = T'w.

Déterminons à présent la fonction k de manière à ce qu'il en résulte

lipk=q— q\

ce qui fera disparaître le second terme de l'équation précédente. Or, puisqu'on a en même tems D^A=:o, ces deux conditions fourniront pour évaluer cette fonction , les équations

(/''—f)^^'^ = $' — /» (/?— y)dxA=;?(9'— 5-'),

lesquelles étant intégrées la première par rapport à y , et la seconde par rapport à x, donneront

Ces deux valeurs de la fonction k montrent qu'elles ne pourront s'accorder que lorsque la quantité ^- — ^ se réduit à une constante. Donc , en adoptant cette hypothèse, il viendra

p{ç—g'<lv

et puisque %-=zê~-''^ ^/=re ~J'^ '^u^ l'exposant de e dans cette dernière expression aura pour valeur

l^-^Z2:)y — ClPI-Pl') d^.

L'équation en u se transformera alors en

équation qui revient , à celle ci

Si l'on écrit 2r au lieu de P, on s'assurera sans peine que la dernière équation peut encore s'énoncer sous la forme suivante

D> + (Q — r') a> 4- ijèp — dr) c)^ w = T'w ,

qui équivaut à D'm — Q'^ ^^u -\-K'èjUz=T'u, (122)

en mettant pour abréger

.- — Q = ^ — Q ' = (ZiZiLy = Q '^

d'où il suit en même tems R'=ôQ'.

On peut maintenant remplacer la caractéristique D,. par celle ^x ; à cet effet, il suffira de poser wr=e~ ^u\ r' étant la valeur de frdx , et u' une nouvelle fonction des deux variables x, y. On déduira alors la valeur de u de celle de u', en écrivant dans celle ci y — r' à la place de y.

L'équation u=e '-^w' donnera

Ces substitutions changeront enfin l'équation (122) en celle ci a;w' Q'^ ô^w' + dQ'dju' = T'w'.

Voici encore un autre mode de transformation qui pourra être appliqué à l'équation (121). En effet, soit uz=:e~^^'^u', /?, désignant l'intégrale

Jpàx\ on en tirera hpU=ie~^^''J'hxU , Par conséquent

ce qui conduira à l'équation

^W + {p—p) ^^^jW = Tu'.

Telle parait être la forme la plus simple à laquelle l'équation {iiL)) puisse être ramenée dans l'hypothèse que nous venons d'admettre relativement aux quantités ;o, p\ q^ q\ et l'on voit clairement, d'après la théorie précédente , que la difficulté de son intégration est réduite à celle de l'équation à deux variables

ô*M + P'dM = T'«, (i2:'5)

P', T' étant des fonctions de x. Donc chaque fois que la nature de ces fonctions permettra d'intégrer cette équation sous forme finie , il sera facile de déduire de cette dernière intégrale , celle de l'équation (121). Or^ le problème dont il s'agit est encore loin d'être résolu dans toute sa généralité. Les géomètres feraient, à notre avis, une chose utile aux progrès de l'analyse , en établissant diflFérentes classes de l'équation (i23), susceptibles d'être intégrées au moyen d'intégrales définies.

HOTE SUR L INTEGRATION DE QUELQUES EQUATIONS LINEAIRES A QUATRE VARIABLES INDÉPENDANTES ET A GOEFFIGIENS CONSTANTS.

1. Quoiqu'il n'entre pas dans mon plan de traiter pour le moment les équations différentielles contenant plus de deux variables indépendantes, j'ai cru néanmoins qu'il ne serait pas déplacé d'ajouter ici une application spéciale de la théorie des caractéristiques à l'intégration d'une classe d'équations linéaires à quatre variables indépendantes^, connues dans plusieurs recherches de physique et de mécanique, et dont quelques géomètres du premier ordre se sont déjà occupés avec succès. Cette application m'a paru d'ailleurs très propre à faire ressortir davantage les ressources que présente notre théorie pour simplifier singulièrement les opérations analytiques,