Soit en premier lieu l'équation

a=,4) = Adl4)-f-BÔJ4)-hCD^cî), (1)

la variable ^ étant fonction de x, y, z, i.

On pourra toujours la réduire d'abord à la forme plus simple

en écrivant xl^k^ yl^^t aV^C, à la place de x, y, a, ou bien à celle ci

d%<!? = [bi + a; 4- ci;](p = tr>, (3)

en regardant ô.^-f ô^-f-ô, comme une seule caractéristique d'opération que, pour abréger, l'on désignera par le signe tJ\

Il est clair à présent qu'en appliquant à l'équation (3) le procédé du n.°3o, son intégrale complète s'exprimera par

4)=/ e ^°^''fsmu'F(x,y,z)du-\-èfl e ^°^''/sin«F'(a:, y, »)d«. (4)

Or, d'après le théorème de M. Poisson cité au u." 32, on a immédiatement

e isme*diar=l e >" ^^:c^ yr , /smwdw

1 /^/^/(cosM ['',+ 8ÎnM8in»3 -|- »inMCOsr^,) . . -, , /c\

z=.-—ffe^ ^ -r^ '^isinuduav. (D)

De plus , l'expression

indiquant , d'après la théorie des caractéristiques , la quantité

F(^ + «, y + /3, s H- y), il devient facile de conclure des équations (4) (5),

^ ^rJJÎP(x-{- icosUf y + Zsinwsinv , îs + ^sinwcosv) ^sinwdwdv -\-^fjjF'(x-}-écosu, y + ^sinwsinv, a + /sinMCOsv)^sinwdwdi'; les intégrales ayant pour limites

M = o. u=z7r. V = o. i;=25r. On en déduira directement pour l'intégrale de l'équation (i) <P=::jjF{x-\-[/A.fcosu, y + V/B/sinwsinv , a+l/C/sinMCOsvj^sinwdM dv + 0,yy F'(a. + l/A^cosM, y+v/B/sinwsinv, 2H-l/C/sinMCOsi')/sinwdwdî;.

Le résultat auquel nous venons de parvenir par une voie assez simple, s'accorde exactement avec celui donné pour la première fois par' le susdit géomètre, en traitant le cas particulier de A:=B = G=a* (*).

(*) Hémoirea de l'Académie de8 sciences, année 1818, pag. 110.