Soit l'équation plus générale

■ d',<î) = Ad:<? + Ba^<p + Cô,(î)-h2Dd^0y<p + 2E^^d^(Ç-h2Fa^cl^(?. (7)

Nous allons montrer que l'on peut faire dépendre son intégrale de celle de l'équation {2) traitée ci dessus.

En effet, donnons d'abord à la proposée la forme suivante

b-,(p = bl<^ + b'y(p 4- èl(p + 2a(i^èj<p + 2bd^^^(p + 2ctlyd^(p , (8)

ce qui s'effectuera , en changeant les variables comme précédemment , et, posant en outre

l/BC i/AG v/AB

Considérons séparément l'équation *

et introduisons à la place de x', y', %', trois autres variables indépendantes cr,y,», liées avec celles là par les relations

X = ûtx' + ci^y' •+■ »^%'

%z=yx' -hyy -\-y^%'; d'où il est aisé de conclure

^x'<P ^ [«d* + (^àjr + ydz\<(>

Il est évident maintenant qu'en substituant ces valeurs dans l'équation (g), celle ci prendra précisément la forme de la proposée réduite à l'équation (8), pourvu que l'on détermine les neuf coefficiens a, |3, y, etc. , de manière à satisfaire aux six relations suivantes

a^ + »\ + »lz=:i. ^^ + ^[-{.(31=1. / + y; + yl = i

uy H- «,y, + ot,y^ = 6

Rien n'empêche à présent de disposer de trois de ces neuf coefEciens, afin d'en réduire le nombre à celui des équations qui doivent servir à les déterminer en fonction des coefficiens de l'équation (8). Supposons donc ^:=o, y^o et yi=o; il en résultera d'abord

et il restera à résoudre les équations

0^ -h oi'^ -h oc^ z=z l

d'où l'on tire facilement

Les relations (A) se changeront alors en celles ci

D'après ce qu'on a vu ci-dessus (n.''2), le premier terme de l'intégrale complète qui vérifie l'équation (9) a pour expression

Jje ^ 'VsinMF(a.'', y', a )dwdv.

Il ne s'agira maintenant que d'y remplacer les caractéristiques ^%' ^ dy', dz', par leurs valeurs précédentes en fonctions de dx, dy, d^. Effectuant cette substitution , on trouvera sans peine que l'exposant

(fODV. HÉX. PBEH. CLASSE DE t'iNSIIT. TOH. VI. 33

caractéristique de la quantité e, s'exprimera par

/{(6 cosw -f- ot sinu sinv + a^ sinu cosi/jd^ 4- (ccos w + /3i sinw cos v)3jr H- cos w d«} .

Donc , si pour abréger , on pose

X ■+• t{b cosw + ûs sin M sin v + «, sin u cos v) = X y + t{c cosw + /3^ sinw cosv) = Y z+ t Q.08U =: Z

*»*i»/3j ayant les valeurs énoncées ci-dessus, il en résultera pour l'intégrale complète de l'équation (8), l'expression

<p=y/F(X, Y, Z) /sinMdwdv-fc>//[/F(X, Y, Z)/sinMdwdy. (lo)

En remettant au lieu de ^, y, «, les variables -^ , -^ , — ^i et au

lieu de a, 5, c, leurs valeurs en fonction des coefficiens de la proposée, on s'assurera facilement que notre intégrale coincide parfaitement avec celle obtenue par M. Cauchy, en suivant' une méthode tout à fait différente (*).