L'équation a<cî) = Ac)^<p + Ba;4) + Cd^cp , (ii

est susceptible d'être intégrée ainsi qu'il suit.

Après avoir fait disparaître les trois constantes A, B, C, et en employant la notation adoptée précédemment (n.° 2) , elle pourra s'écrire sous la forme simplifiée

L'intégration de cette équation du premier ordre par rapport à la variable /, donne sur le champ

ou bien (Ç = e * y 't|/(^,y, «j. (12)

ji — : : . —

(*) Journal de l'Ecole polyt. XX Cah. , pog. 298.

Or , puisque (n." 33)

on aura de même

^H{x, y, «) = -^y'*e"^*v|.(^, y, «H- 2yl/^) dy

d'où l'on conclura immédiatement pour la valeur de (p donnée par la formule (12)

(p=JJJr^'''-^^'+^'^^[x+7ta^t, y-+-2/3l^/, »+2yi//}d<*d/3dy, (i3)

chacune de ces intégrales s'étendant depuis l'infini négatif, jusqu'à l'infini positif.

On en tirera encore pour l'intégrale de la proposée

(p=rrre~^''''^^*'^%{x-\-2ci;i^At, y+i^W^t, »-h2yl/C/f}d«d^dyî

valeur qui s'accorde de même avec celle donnée par M. Poisson pour le cas parliculier de A=iB = C:^a. (")

5. L'intégrale que nous venons d'obtenir, conduit directement à celle de l'équation plus générale

^t<J? + wcp = d^<î) 4- hyd? H- d!<p + •2abxàj<p + 26d.rd^(p + 2cd^da<p. (i5)

En eJBFet, changeons d'abord (p en e—'"^*^\ <p' étant une nouvelle fonction des quatre variables indépendantes , la proposée prendra la forme

i)<(p' = bW + ôj<p' 4- ô!(p' + 2ad:,ô^(p' + 2bdxdz<P' + 2cdyd^(p'. (16)

(*) Kémoires cité», pag. 144.

Prenons trois autres variables x, y, z, telles qu'on ait comme cidessus (n." 3)

xzzzux' -^ ût^y' -{- cc^z'

y = ^x'-i-(By + (B^z- (A)

z = yx' +yy +y,«',

Or, en déterminant ces neuf coefficiens de la même manière que dans le n.'S, l'équation (i6) se réduira immédiatement à celle ci

a,<î)' = [ôi, + d;:+a,^](p', (17)

dont l'intégrale est donnée par la formule (i3). Quant aux relations (A) , elles deviendront dans le cas actuel