E + E~^ = 2 COS
on en tirera facilement
Ux-hn + ^U^+n-^-h"-^^^^^Ux-i-n-,+ etC 4-Ma;-n= 2«(cose d)"w^.
On trouvera pareillement à l'aide de l'équation
JS — JF— ' = — 2ï sin ib
Ux+n — »W*+n-î4-^^^^W^4-n-^ — etc ±W«— n=±(2 2)"(sin2*d)"Wx
(32) selon que n est paire ou impaire.
i6. La théorie des caractéristiques peut encore être appliquée avec succès à des recherches qui sont du ressort du calcul intégral. C'est ce que nous allons montrer par un exemple utile.
On sait que la quadrature des courbes ou la valeur de l'intégrale
Jyx^^ prise entre les limites x=zO, a;=rw, est susceptible, quelque soit la fonction y^, d'être calculée approximativement, au moyen des valeurs particulières de cette fonction , correspondantes aux abscisses ar=o, 1, 2..,w, qui croissent par des intervalles égaux à l'unité de longueur; ce qui revient à supposer que la courbe donnée se confond entre ces limites, avec une courbe parabolique passant par les w+l ordonnées y„ , y^ , y, , 2^n« Voici comment on peut obtenir la valeur
WODV. MEM. PRÉM. CLASSE DE l'iNSTIT. TOM. VI. 4
de / * Vx^^ dans cette hypothèse , sans recourir au calcul intégral. En écrivant fyx^x sous la forme
on voit que sa valeur prise entre les limites ^1=0, xzzzn, aura pour expression "
/ri-4-A-,"-,>
Il s'agit maintenant de développer la fonction caractéristique, d'après les puissances positives de A. A cet effet remarquons que l'équation delà courbe parabolique devant s'élever au degré n ième , la fonction y^ aura ses différences finies jusqu'à l'ordre w ième inclusivement; celles des ordres supérieurs devant toutes disparaître. Le développement à effectuer ne pourra par conséquent s'étendre au delà de A"; il sera ainsi delà forme
a„ 4- a,A + «^A' 4- . . . . + sA*;
ce qui fournira l'équation caractéristique
1— iA+-iA^ — iA^4-....etc.
d'où l'on pourra déduire les relations qui existent entre les coefficiens indéterminés a^, a^, a^ ...., ainsi que leurs valeurs en fonction de ri. Pour cela, il faudra multiplier le second membre de l'équation (33) par le dénominateur du premier , en ayant soin de rejeter du produit toutes les puissances de A supérieures à n. En opérant de cette manière, la comparaison des termes semblables donnera les relations suivantes, qui sont faciles à établir:
— ÛJq
etc.
etc.
2 3 rt-|-i »
au moyen desquelles on pourra déterminer dans chaque cas particulier les valeurs de « , a^ . . . . en fonction de n. Si l'on fait a rzznct^^ a^:::::^noc>, a = wos etc., la quantité
exprimera la hauteur du rectangle construit sur l'abscisse n comme base, et dont l'aire égale celle de la portion de courbe parabolique
indiquée par l'intégrale définie / y^do:. On peut ensuite remplacer la caractéristique A par E — i, afin de parvenir à un résultat qui soit fonction des ordonnées successives y^iy^^ Vi-'-'J/n' Quelques applications serviront à éclaircir cette recherche.
Prenons d'abord le cas le plus simple, qui est celui dew=2. La courbe parabolique passera alors par les trois ordonnées y^ , y^, y^, et il vien^ dra pour ce cas.
» =-=i. a> — iat, -f-- = 0, donc et = ~ * a 2 o 6
y^.d^=:2(H-A4-^A*)yo = g(y. + 4y^ + y,)
en changeant A en E — i.
Soit, pour second exemple wr=4, on trouvera
«=2. «=1 i + II=-
ce zzz: - — - T — "T- - = '63443
«,=2-^ + 1-^ = ^, * 3 9 2 5 go
ce qui donnera
fy^dx=—igo-{- i8oA-f i5oA* + 6oA'4-7 A*|y„.
Pour avoir cette valeur en fonction des cinq ordonnées , il faudra transformer la caractéristique de y^ , en fonction de E; on procédera à cet effet d'après l'algorithme de Budan, ainsi qu'il suit: (n.° io).
+ 7 d'où résultera
/y^d^ = ^|7y„ + 32y, -I- i2y, H- 32^3 + 7yJ = ^{7 (2^0 + yj + 12 y. H- 32 (y^ H- yjj
Prenons pour troisième exemple n=i 5; on aura
*=^. * =^ — 1 + 2 = 35 ^ a * 4 3 la
donc
y^^dar = -|^|288-4-72oAH-84oA* + 54oA'+i7oA*H-i9A'}y,.
El en effectuant la transformation de la caractéristique en fonction de E , on aura le calcul suivant.
ig — 170 4-54o — 84o +720 — 288
+ ig — i5i +389 — 451+269 — 19
-h ig — 1 32 + 257 — ig4 -i-jô
+ 19 — ii3 + i44 — 5o
+ 19 — 75 + ig
donc fy^dx=zA.^ 19 (y„ H-yJ + 76 (y, + y J + 5o (y, +^3)].
C'est ainsi qu'on pourra obtenir plusieurs autres valeurs plus approchées de l'intégrale qui exprime la quadrature des courbes.
17. Il paraît que Newton se soit le premier occupé de cette recherche intéressante. Son opuscule intitulé Methodus differentialis se termine par l'énoncé delà formule applicable au cas de quatre ordonnées , mais sans que la démonstration s'y trouve jointe. Après lui Cotes et Stirling ont poussé les calculs des valeurs approchées , jusqu'au cas de treize ordonnées. Ce dernier géomètre en publiant la suite de ces valeurs qui repondent à un nombre impair d'ordonnées, y a ajouté en même tems une table de corrections servant à augmenter le degré d'approximation que ces valeurs comportent. Les corrections dont il s'agit ne sont en effet que les différences entre les résultats donnés par la formule approximative , et ceux qu'on obtiendrait en faisant passer la courbe par deux ordonnées de plus , la première repondant à l'in- (jice — 1^ et la seconde à l'indice w-l-i. Notre méthode peut servir également à évaluer ces corrections. Pour cela il suffira de considérer que la courbe parabolique devenant alors de l'ordre w4-2, le produit
/(l+A) [a^ + a, A -f- a^A' . . . . + an+»A«^*} ,
(voir l'équat. 33) , devra contenir deux termes de plus qui ne s'évanouissent pas. Il restera ainsi à déterminer encore les deux coefficiens a„^j, «n+ï ou bien <»«+i, «fn^., , ce qui s'effectuera au moyeu des deux équations :
que l'on obtient en suivant la marche déjà indiquée ci-dessus.
Dans le cas de w=:2, il viendra, d'après les valaurs de oi^, a,^ pré-»
cédemment obtenues, <x,^z=.o, oi>^z=. —. Prenant w=4, on trouvera
ûe, = o, fi« :^ — -^. Ainsi la correction à soustraire s'élèvera dans le
premier cas, à -i-A^y , et dans le second à -3l. ^ y ou environ à
-i- A*yj ce qui s'accorde avec les résultats donnés par Stirling ^ en
/onction des ordonnées successives (*).
18. On pourrait demander une analyse qui conduise directement à la valeur de l'intégrale, exprimée en fonction des nHi ordonnées, sans passer par celle en fonction des diiférences finies. Voici comment notre théorie s'applique à cette récherche.
Supposons d'abord le cas d'un nombre impair d'ordonnées. Soit w=:2w, et mettons l'origine des indices au milieu de l'abscisse 2»i, de sorte que les 2m-\-i ordonnées seront désignées par
y-m, y-m+, .».. y-,, y,, y, ..,.ym-,,ym, ou bien par
E-my^,E-(.-^+'hj^....E-^y^, y„, %„ .. .. ^— >„, ^-y„.
y^dx z=z (^)y,» devant être prise entre les limites a= — m
et ar=m, deviendra ( ^ ~ " — )y<>. Il faudra maintenant développer la fonction caractéristique en une série de la forme
[*) Voyez son ouvrage cité. pag. 146.
THÉORIE DES CARiCTÉRISTIQUES. 81
A cet effet on n'aura qu'à y remplacer E par la caractéristique exponentielle e^ , et se borner dans le développement de chaque terme; aux puissances de ^ inférieures à 2w-f-i, à cause que les coefficiens différentiels de y^. disparaissent tous à partir de ceux de l'ordre w+1. D'après cela lia fonction caractéristique se réduira à
I 3 3.4.5 3.4.. 2/«-ri S
Cette expression ne contenant que les puissances paires de ô , il est évident qu'elle ne pourra devenir identique avec la série (A) transformée en fonction de d, qu'à moins de faire disparaître dans celle ci, les puissances impaires de d , ce qui exige nécessaiiement qu'on ait a«i=a^, a-«t+, = aw-i . ... a— i = œi. Par conséquent la série (A) se réduira à la suivante :
•îjpaioJ ou bien à celle ci
-h (a^ -h 2'a, -i- 3V^ + m^am) d*
etc. etc.
d'où l'on tire enfin, par la comparaison des termes avec ceux de la série (B) , les équations suivantes qui serviront à déterminer les m + 1 coefficiens a . a ....«,.
a +2XH-3X .... +m*a^ = ^'
etc. etc.
Pour montrer une application de ces formules, prenons le cas de cinq ordonnées, ce qui revient à faire m:=z'2. Ecrivons moo^ mot, ...., au lieu de «„ , «^ .... ; les équations à résoudre seront
<»„ + 2â6, + 206 = 2. «. +4«»=:-. tft+l6<J«=— .
Les deux dernières donnent de suite « =-^, et«, =. — — - = ^;d'où
«o=— ; il en résulte pour la valeur approchée de l'intégrale /y 3; d^, l'expression
^ { 1 2y„ + 32 (y-, + yj 4- 7 (y-, + yS\
ainsi qu'il a déjà été trouvé ci-dessus (n." 16).
Lorsque le nombre d'ordonnées est pair, on fera w=:2»tH-i, et pla-^ çant toujours l'origine des indices au milieu de l'abscisse n , la série (A) prendra cette forme
et en procédant d'après une marche analogue à la précédente , on parvient facilement aux équations suivantes :
«0 + 3*ai H- 5*a^ . . , . + n*am = —
etc. etc.
O 1 » • nn
n" art.
Soit w:=5, donc ?»=2, et faisant azrzncc, les équations qui déterr mineront les valeurs de eo^, »^, c6^ .... seront dans ce cas particulier ,
<t'où l'on déduira par les méthodes connues
donc
ce qui est conforme au résultat précédemment obtenu pour le même nombre d'ordonnées.
§ 2. Développement des fonctions à deuoc ou plusieurs variables,
19. Considérons en premier lieu une fonction u de deux variables x,y. En la désignant par w^.j' » on pourra écrire, d'après la notation caractéristique
u^^ = F^u^^ ; ou bien w,.^ = S^u^,^.
Mais, puisque dans la première dç ces équations, le signe £ se rapporte uniquement à la variabilité de x, et dans la seconde à celle de y, il devient indispensable de distinguer convenablement ces deux cas différens, afin de prévenir toute confusion à cet égard. C'est ce que nous pouvons faire aisément en marquant les deux caractéristiques par la variable à laquelle elles se rapportent. En conséquence nous écrirons i' équation
W:r,y=Kuy.o=^^yU^.o\ (34)
KOtJV. MÉM. FBÉH. ClASSE DE t'iNSTIT. TOM. VI. 5
d'où résulte encore celle ci
.u^^—ElElu,.. (35)
Soient maintenant A , ^ , les apcroissemens respectifs des deux variables X, y\ la nouvelle valeur de u correspondante à ces accroissemens simultanés, sera indiquée par
w^4.Ao'+* = ^î- ^l' ^^,y = ^'- ^y ^' (*^6)
La caractéristique composée placée devant la fonction u , énonce une double opération à effectuer sur celle ci ; d'abord une substitution de x-\-/i k X , et ensuite une substitution de y+A k y. Or, le résultat final ne changeant pas , par la commutation des deux caractéristiques ■^x » J^yi i^'" 5) , on voit que la nouvelle valeur de u qui provient de cette double opération , restera la même quelle que soit la variable par la quelle on la commence.
2o. Si l'on différentie l'équation (34) seulement par rapport k x, on obtiendra
g=(/^J^Xo = (^^.)«. (37)
et en continuant ces différentiations partielles,
^„=(lE,ru (38)
Il viendra de même, en prenant la dijfférentielle par rapport à y seulement
'^=ilEy)u; et en général ;^ = (/^/z.. (39)
DifFérentions à présent cette dernière équation m fois de suite par rapport à Xf on en tirera immédiatement, en vertu de l'équation (38).
^=(Œ^niM,ru, (4o)
Si l'on différentie l'équation
n fois par rapport à y , il en résultera
f\n-!i-mll
d'où l'on peut conclure directement , en vertu de l'identité des fonctions caractéristiques,
d.r"» dy» dj» d.t'" '
ce qui établit le théorème fondamental du calcul aux différentielles partielles.
Par analogie nous désignerons désormais par les caractéristiques d^ , dy, les coefficiens différentiels partiels de la fonction w, pris par rapport à ^ et à y. Il résulte alors des équations (37) (39) qu'on pourra poser les relations caractéristiques.
d^ = lE:,, a!J = {lE,y\ E^ = eK dy = lEy. dy = (iEy)^. Ey = e\.
D'après cela il devient facile d'obtenir la nouvelle valeur de w, due aux accroissemens simultanés h , k des variables .» , y. En effet l'équation
prendra la forme
Donc , en développant la quantité exponentielle qui fait fonction de caractéristique , on trouvera la série ;
U:c^h,y\-h-=' \\-\-hbx-\-khy-\-l (Ad^ + ^dy)'+— (Ac)^H-Aôy)*+etc.|w l 3 2. 5 j
ou bien . /^, /*
+ kèyU + kh^^^yu 4- — d^ôyw + etc. (43)
+ il d» M + etc.
ce qui constitue le théorème de Taylor étendu à une fonction de deux variables.
L'équation
où u^ énonce la valeur de la fonction w, en y supposant chacune des variables égale à zéro , pourra de même s'écrire sous la forme
et fournira par un développement analogue au précédent , la série
M*,jr = w^ 4- ^d^ w^ -H— d*^w^ + etc..
•^y^y'f^^ + xy^x^y'u^-k-e^C' (44)
-{-•?l!ô* w -h etc.
propre à développer une fonction de deux variables, suivant les puissances et les produits de celles ci; et qui, comme l'on voit, n'est qu'une extension du théorème de Maclaurin.
