Posons encore
E^ = 1 -f-A^ , Ey = i+Ay.
Les caractéristiques A^, A„, indiqueront les dififérences /?ar^e'e//e* de la fonction prises par rapport aux variables x et y. Conservons d'ailleurs la caractéristique A pour indiquer la différence totale de la fonction due aux accroissemens simultanés A, ^. II est évident qu'il en résultera
l'équation
et en général
A''w...y=((j+AJ'^(i+Ay)* — f}»»w= {e'^^^+^S^ — i}«y; (45)
relation par laquelle il devient possible d'exprimer la diflFérence totale d'un ordre quelconque , en fonction des coefficiens différentiels partiels à partir de ceux du même ordre.
En prenant n négatif, cette différence se changera en une intégrale finie, de sorte qu'on aura
Lorsque les accroissemens h, k deviennent infiniment petits, la différence A se changera en différentielle totale d, et l'on aura d'après la formule (43) , en y négligeant les puissances de A , ^ supérieures à la
première
dw =r à.x ôjM -|- dy ^yU \
ce qui fournit la relation caractéristique
d=da;à^4-dydy,
d'où l'on tire, par des opérations répétées,
d«=:(d^d^ + dyc>y)«.
Donc, après avoir développé le second membre de cette équation, il viendra
dM^rrrô^wd^^+wd^-'O j,Mda:''^My+^:^^I^Ô7'd*yMd^''~='dy». . . . H-d>dy»
(4?) 22. Maintenant il est aisé de s'appercevoir que les formules précédentes s'étendent de inéme aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, la marche du calcul restant toujours la même. Ainsi, en
désignant par u , une fonction des variables or, y , «, ^...., dont les accroissemens respectifs soient A , A^ , A^ , A^ .... ; par A^ , A , A j . . . . , ses différences partielles; par :£'^, \^^, ^j...., les états variés relatifs à chacune de ces variables séparément ; et par d^ , ^^ , d^ • • • • > ^es coefficiens différentiels partiels dans la même hypothèse , on aura évidemment , en appelant Eu l'état varié total de la fonction u , dû aux accroissemens simultanés de toutes les variables , les relations suivantes analogues à celles que nous venons d'obtenir pour les fonctions à deux variables,
uz={ElElElE]....)u, (48)
Euz:^{eIe^/e]^e]\...)u (49)
^^^^^^^r^^:K^l.,,u={iiEr{iE^^^
Eu=zu-\- hb^ w 4- - /i^b\u 4- hkè^^yU + etc.
-fA,dyW4-iÀ/d*yW + AA^d^â,w +elc, (Si)
+ h^d^u + i A/d%.w + ^.àdy^^u + etc.
+ etc. 4- etc. + etc.
A''w={(i+A,) (i+Ay) (i+A,)....— i}«w (52)
l(i-i-Ax) i4-Ay)(iH-A,)....iJ W
dw=(d^d^ + dy dy 4- d^sd^ +....) w (54)
., ,. d"w = (d^d^ + dyay + d2d^ + . ...)»»« (55)
Lès formules (52) à (55) s'accordent arec celles données par laplace
pour le même objet ('^) ; mais on voit que la théorie des caractéristiques permet de présenter ces formules sous une forme plus simple, qui dispense en même tems de transporter aux diverses caractéristiques les exposans des variables qu'elles affectent, ce qui n'est pas un des moindres avantages de cette théorie.
25. Si l'on différentie la valeur de du seulement par rapport à l'une des variables ^, la formule (54) donnera, conformément à notre notation
ôx dw = (d^ ô'^ -f dy da;ôy + d2 ^ards H- }u
= {da;d^ + dydy4-dz()^-t-....} a^w,
et puisqu'on parvient au même résultat , eu écrivant dans la formule citée è^u au lieu de u, on en tirera la relation différentielle ,
d^duzzidà^u (56)
également applicable à chacune des autres variables , et d'où l'on peut déduire les relations caractéristiques:
da;d = dd^. ^yd = ddy. d sd = dôjs. etc.
ce qui signifie que le coefficient différentiel partiel de la différentielle totale d'une fonction, pris par rapport à une variable quelconque , donne la même valeur que la différentielle totale du coefficient différentiel partiel dont il s'agit.
Il faut observer cependant que cette propriété des fonctions suppose nécessairement que les variables x, y, 2...., soient tout a fait indépendantes entre elles. S'il n'en était pas ainsi , l'équation (56) cesserait d'être vraie , par rapport à toutes les variables indistinctement. Pour savoir ce qu'elle deviendrait dans ce cas, considérons y comme une fonction de a; , et admettons en outre que les autres variables soient liées entre elles par les équations
« = -i, ^=: — , etc.
d.T (iX
(*) Théorie analytique des probabilités, pag. 45.
Bans ce cas particulier l'équation difiFérentielle
dw =r (d^ ôx 4- dy dy + d» d;, -I- . , . .)w fournira de même par rapport aux variables se, y, les relations
Quant à la difiFérentiation par rapport à % seulement, comme la quan» tité dy est égale à %dx , la valeur de du devra être remplacée par la suivante
dtt = (da? (d^ + «dy) -4- d« ôa + . . . .}i«
d'où l'on tire , en prenant dx constante , ou en supposant que x est la
variable indépendante
ô 5 du = (d^ (es ^:c + ^y-h ^àz dy) -h d« d% H- }u
= [dx èy+ (dx ô^ + dydy +dada4-....)d^}M
= dx dyu + d dzu. (57)
On obtiendra pareillement, en difiFérentiant par rapport à /, et remplaçant la di£Férentielle d% , par sa valeur tdx , l'équation
à# du =: d^ dzu -\- d d^M (58)
et ainsi des autres. ,
24. Les nouvelles relations différentielles que nous venons de trouver, sont propres à rechercher les conditions d'intégrabilité des fonctions différentielles d'un ordre quelconque , et contenant une seule variable indépendante. En effet soit du=z\dx, V étant une fonction de deux variables x, y et des coefficiens différentiels de y, jusqu'à celui de l'ordre n inclusivement. Mettons pour abréger
dy. il!y = « ^ = « etc ^ = 0
d.r ^^' d.T* ■^»* àx> ^'' ' dx" ""'
La fonction V étant différentiée par rapport à toutes les variables «, y, dV = J^dx + Ydy + Vdp^ + Vdp^ . . . . + Pnd/>„;
d'où îl suit , à cause de V = — dw
Y Z=èyY =--bydu
ôx
etc. etc.
ces relations étant appliquées aux diverses variables, deviennent en vertu de celles (67) (58), les suivantes.
X=~da^w
Y =^dbyU
dx y
V^zzz'àyU^j-à^pU (A)
la valeur du dernier coefficient P^ devant se borner à uïi terme unique, attendu que la fonction u ne saurait contenir un coefficient différentiel d'un ordre supérieur à n — 1.
Il est visible maintenant , qu'en différentiant la valeur de P^ une seule fois , celle de P, deux fois , et ainsi de suite , on en déduira immédiatement
Y— .-LdP, + -l-dT — -1-dT ....± — d''P„ = o; (69)
énonçant l'équation de condition pourquc la fonction Vd^ soit une
différentielle exacte , et qui a été donnée pour la première fois par ^w/er.
En regardant les quantités P^, P^...., comme des fonctions de la
BOUT. MEM. PRÉM. CLASSE DE l'iNSTIT. TOM. VI. ^
variable indépendante x, l'équation (5g) pourra s'écrire plus simplement ainsi qu'il suit.
Il est facile de déduire encore des équations (A) , les relations suivantes
èyu = P, — c)P^ H- ôT^ . . . . ± ô«-Tn
ô^^w = P3— ÔP^ + aT^....rFô"-^Pn
qui pourront servir à évaluer les divers coefficiens différentiels partiels de la fonction u , au moyen de ceux de la fonction V.
Si l'on avait d'w^ = Vda:% ou bien du^ = udx, il est évident que Vd*-* ne pourra être une différentielle exaôte du second ordre , à moins que les valeurs des coefficiens différentiels de la fonction u ne satisfassent à l'équation (59). Donc en y substituant leurs expressions précédentes , on en tirera, pour condition de double intégrabilité.
P, — 2c)P, + SaT, . . . . db wc)«-Tn ; (60)
et en poursuivant de la même manière , on obtiendra sans peine l'équation de condition générale applicable au cas où la fonction Vd.a7** soit une différentielle exacte de l'ordre n.
"20. On peut encore, à l'aide de notre théorie, parvenir assez simple ment au théorème général de Laplace sur le développement des fonctions, et qui comprend comme cas particulier celui que Lagrange à donné le premier en 1768, dans les mémoires de l'académie de Berlin (''). Soit y = F (œ -I- x%) , a étant une fonction quelconque de y. En différentiant la valeur de y successivement par rapport aux quantités a, x, on en tirera facilement l'équation
^Ty = &èay-
(*) Lacroix. Traité du calcul différ. et intégr. Tom. !• pag. 279.
THÉORIE DES CARiCTÉRISTIQUES. iZ
ce qui établit la relation caractéristique
Or, puisqu'on a
le produit zdy qui représente la différentielle d'une fonction de y aura pour valeur
(dx %èj;-\- da%dg)y
ou bien , en vertu de l'équation (ot) ,
{dx%''da + da^^)y.
Cette expression devant être une différentielle exacte , elle fournira d'après la propriété des coefficiens différentiels partiels (n.o 20) , la nouvelle relation caractéristique
donc d\y = da{^'^aî/)-
Remarquons à présent que la relation
signifie que dans la seconde différentiation par rapport k x, le facteur % qui entre dans la seconde caractéristique , passe à la première ; d'où il est permis de conclure, qu'en différentiant de nouveau par rapport à .a? , on aura
et en continuant ces différentiation s , on pourra en dériver la relation générale
ô^=ô;— (Wa)
ou bien ^iy= h"-^ {%"d„y) . {y)
Cette équation remarquable peut être établie encore de la manière suivante.
Si l'on multiplie la valeur de dy par s*, le produit qui devra représenter également une différentielle exacte , sera
ou bien (dx a*d„ + da !s'do)y»
par conséquent da {'^'^a) = ^^ i^^^a)'
Une seconde différenliation par rapport à a , donnera
K i^'^a) = ^a a. (Z'da) = K K i^^'a) = ^\
en vertu de la relation (/3).
En opérant de même sur le produit !S"dy, on peut prouver immédiatement, que si réquation(y) est vraie pour n — i, elle le sera également pour n.
Cela posé , soit uzzir^^ (y) , u sera pareillement fonction de la quantité a-hxz, d'où il suit que la relation (y) pourra s'appliquer encore à la fonction u , et donnera ainsi
Or, en faisant usage du théorème de Maclaurtn , on obtiendra pour le développement de u , suivant les puissances ascendantes de la variable X la série
W = 4^ (2^) r= U 4- XzdaU + — ha (**^a«*) +— ^ ^*a (^^a^) + etC. ;
les valeurs des coefl&ciens différentiels par rapport à a , étant celles qui correspondent à x=.o , et U désignant la valeur de u ou ^(y) dans la même hypothèse.
26. On démontre avec la même facilité le théorème dû à Burmann, servant à développer une fonction X de a; , suivant les puissances d'une seconde variable u , également fonction de x.
En effet soit z une autre fonction de x , telle qu'elle s'évanouisse en même tems que u pour une valeur particulière de x=:a , sans qu'il en
arrive autant à leur rapport - = ».
D'après ces conditions en pourra poser
% =z (x — a) P et en même tems (a)
pu = (x — a) P
P exprimant une fonction de x qui ne s'évanouisse pas, pour la valeur de x=a. Puisque x peut être considérée comme une fonction de z et w , il en sera de même de la fonction P. Donc , en différentiant les équations (a) , la première par rapport à la variable « , et la seconde par rapport à la variable u, on en tirera, dans l'hypothèse de xz=a, qui donne u=zo , les relations suivantes:
p dénotant la valeur de p qui correspond à x=za. L'élimination de P fournira la relation
^„xz=p'^^x, (6)
seulement applicable à l'hypothèse dont il s'agit. Multiplions l'équation
dx:=z(d%ds + dud„)x
par la quantité p fonction de x^ son second membre deviendra
(d%p^z + dupdu)^, ,et puisqu'il représente une différentielle exacte, il faut qu'on ait
Le premier membre de cette équation donnera évidemment pour 2 = 0,
la même valeur que le second membre en y supposant w=o. Or, ces
hypothèses pouvant être réalisées avant d'effectuer les différentiations
partielles relativement à w et a, les produits pd~x, pdu^ se réduiront,
en vertu de la relation (6), à duX,p^ds^; donc il viendra, dans ce cas
particulier,
^\iX = d^ (p" hzx)
Si l'on multiplie la valeur de dx par p^\ on en déduirait, d'après une marche analogue à celle du n.° précédent , l'équation générale
Soit maintenant X une fonction (juelconque de x^ cette dernière propriété sera également applicable à X ,. ce qui donnera
d:X = ap (;.'"€), X) (c)
p exprimant toujours la valeur du rapport f , en y supposant xz=za ,
et les coefficiens différentiels par rapport à chacune des variables z , u devant être pris dans la même hypothèse. Au moyen delà relation (c) , le théorème de Maolaurin pourra être appliqué comme dans le n.» précédent, afin d'obtenir le développement de X en fonction de la variable u, {^)
§ 3. Recherches sur la valeur de quelques intégrales définies.
l'j. Nous allons établir préalablement par notre théorie quelques propriétés générales des intégrales définies, dont la démonstration est moins simple par les méthodes ordinaires.
Soit y une fonction continue de x, depuis a^rza jusqu'à x=zb , Tin-
tégrale fyàiX = -^ y , prise entre ces limites aura évidemment pour valeur
(*) Le théorème de Burmann se trouve démontré d'une manière assez prolixe dans les additions qui terminent le 3= volume de l'ouvrage de M, Lacroix. Cette démonstration a été reproduite encore dans l'article Burmannische Reihe , du supplément au Dictionnaire mathématique de Klugel , publié par le savant Professeur Grunert a Brandembourg.
Partageons l'intervalle 6 — a en n parties égales à A, de sorte que l'on ait h:=:a-\-nh\ la fonctioïi y prendra pour les w+l valeurs de x
a, a+h, a-\-^h , ... a-\-nh,
les valeurs correspondantes
La somme S des n premiers termes de cette série, multipliés chacun par l'intervalle A, aura pour expression
On trouvera de même pour la somme S' des n derniers termes de cette série, multipliés chacun par h
S'=zhE^{?^=^)y d'où il suit
Donc en prenant l'intervalle k infiniment petit , la différence S' — S sera également une quantité infiniment petite. Les deux sommes S, S',
auront ainsi pour limite commune, l'expression A ( ) yo prise dans
l'hypothèse dont il s'agit. Or la fonction — i qui entre comme facteur
dans la fonction caractéristique, ayant pour limite -i^ , fl en résulte
immédiatement, en vertu de l'équation (<»), que l'intégrale définie / yà.x
exprimera la limite commune aux deux sommes S, S', ainsi qu'on peut le prouver à l'aide d'une construction géométrique, en représentant par y l'ordonnée d'une courbe, et par S, S', les sommes des rectangles inscrits et circonscrits à l'aire comprise entre les ordonnées correspondantes aux deux limites de ^; ce qui fournit, comme l'on sait, un moyen pour obtenir approximativement la valeur de cette intégrale définie. 28. Si la fonction y devenait -infinie pour une valeur de ar=c, com-
prise entre les limites de l'intégration , les considérations précédentes donneraient lieu à un résultat affecté d'une quantité imaginaire. C'est ce qui se démontre facilement ainsi qu'il suit. Mettons la fonction y sous
la forme ^ifi, (^(x) ne devenant infinie ni égale à zéro pour xzzzc^ il s'agira d'évaluer / xlfi à.x. A cet effet posons pour simplifier x=it+c^
Ja X — c b — GZ=.oc et c — az=z(B, on aura <p (^) z= cp (t+c) = E' <p(c) ,
donc pî^dxz=r^{^)dt(p{c).
Ja x-c J-^ t' ^ '
Or en développant la fonction caractéristique , on a
y|! d^ =/t{ ' +^^(^)+f^ {i^y + etc.}
= /(if)+^(/^)H— L f {lEy + -1- r {Œy 4- etc.
donc, en prenant cette intégrale depuis ^= — ^/3, jusqu'à t=zcs>, et en remplaçant la quantité lE ^ par sa valeur caractéristique ô, on en tirera immédiatement
/'*^^^^=^(c)/(-l) + /Û<P(c) + (*+^)a(p(c) + (^V*^W + etc.
Ja x-c ii 4 (6l)
Toutefois il parait difficile d'admettre que l'intégrale / t"'^^'"'^ ijuisse
Ja X — c
contenir une quantité imaginaire , lorsque la fonction <p{x) elle même ne renferme que des quantités réelles. De plus, il est aisé de faire voir qu'un semblable résultat mènerait à une conséquence évidemment absurde dans un sens géométrique. En effet , supposons (p {x) une fonction
telle que (p[x)=z(pf — x) , et considérons l'intégrale définie /" $if}^.
c étant <«. Cette intégrale pouvant être représentée par la différence
^f r« (|)(.r),ir r« <^'x)i'x\
la valeur de chacune de ces intégrales contiendrait, d'après ce qui pré-
cède, une quantité imaginaire qui serait pour la première <p{^c) l{ — l), et pour la seconde <ç( — c) l{ — ^i). Or ces deux quantités se détruisant mutuellement à cause de ^(^) = (p( — x) ', il en résulte pour l'intégrale
/ ** xJlL dar une valeur réelle. Mais , en ne prenant cette intégrale
que depuis xz=zo jusqu'à x znz a , on trouverait, à l'aide delà même décomposition que / " - ^ àx , resterait affectée de la quantité imaginaire xi£i /( — -i), d'où l'on ne pourrait jamais conclure la relation
applicable à l'hypothèse dont il s'agit.
Pour éviter de tomber dans l'absurdité que nous venons de signaler,
il semble nécessaire de considérer avec M. CawcAy, l'intégrale / 9^'^'dx
comme la limite delà somme des deux intégrales distinctes
p-'î^dx, n ^J^dx; J a x—c J c-\-£ X — c
où la fonction à intégrer reste finie entre les limites de l'intégration; e étant une quantité évanouissante, lorsqu'on passe à la limite de cette somme {*). En appliquant alors à l'évaluation de chaque intégrale l'analyse ci-dessus exposée , et égalant ensuite à zéro la quantité € ,
on trouvera que la valeur de / i— : dx , s'exprimera par
^{~) ^(c) + («+^) ^<P(o) + etc. , série où l'imaginaire a entièrement disparu. Donc, si l'on fait 1 ^S^LLdx — tUr) , l'intégrale définie / !z}—±dx pourra s'obtenir par la méthode
ordinaire, c'est-à-dire en évaluant la difi"érence ^{b) — ^(a), pourvu qu'on supprime la quantité imaginaire qui se présente dans le résultat,
(*) Je dois cette remarque utile à M. le Professeur Van Rees à Utrecht. KOTJV. MÉM. PBÉM. CLASSE DEl'iKSTIT. TOM. VI, 7
go THEORIE DES CARACTÉRISTIQUES.
Lorsque l'intégrale fy^x^ doit être prise entre les limites imaginaires a7= ^4-/31/ — I , xzzi» — jSl/i , sa valeur qui sera toujours imaginaire, pourra s'obtenir facilement de la manière suivante.
M-^y-. yd^ = ( ô )yo = < ô ^^*
Et en développant la fonction caractéristique, on trouvera pour la valeur cherchée
