Puisque y h— a: = Eh—xy , il viendra
fyh-xàx=fE-'' dxyh = —^yh = — ^:
Vh
partant J^\jh-xdx = (1-A)y^ = ^^y"^)^»'
D'ailleurs / ya:d^= ( — ^)y ; d'où il suit qu'on aura toujours, quelque soit la fonction cp(a:)
/''^(p(a;) dx = P(p{h—a!) dx. (63)
3o. D'après ce qui précède , il viendra en général
f^ysdx = {^^)y„ = ir^^ho = C~^^ ')yx ;
d'où l'on tire, en développant la fonction caractéristique,
yydx-z=.xy — •I ôy + -— ^V — etc. (64)
C'est la série due à Sean Bernouilli,
Voici comment on peut parvenir à la valeur générale de " Jydx^
exprimée en fonction d'intégrales simples , sans récourir à l'intégration par parties. Cherchons d'abord la valeur de 1 e^^y àx.
Si l'on difiFérentie le produit Pe«^, P étant une fonction de a?, on aura
ô. Pe°*- = e«^ (aP 4- dP) = e«^ (a + d)P.
Soit y = (rt+ô)P, d'où l'on déduit P=:(a+d)~'y; donc en substituant ,
et en intégrant
/e«^y àx = e«* (-^)y- (65)
La fonction caractéristique — ^ étant développée suivant les puissances de ^, l'équation précédente conduira à la série connue
y;-2^d^ = f^{y — ^-hi;^ — ^ + etc.} (C6;
d'où l'on tire encore, en faisant e<» = «
' Dans l'hypothèse de a=l , la formule (65) qui devient alors
Jl^y dx =z e^ {-l^)y , (68)
donnera par le changement de y en dy , les équations
fe'dx èy = e*(— ^)y. fe^dx ô'y i= e'" (à!.)y^ , etc.
Si on les multiplie respectivement par les facteurs j? , — , JL- etc. , il
est aisé de voir qu'on pourra en déduire la série
fe^yAx — xrb^dxdy + — Je^àxè^y — /e^d^d'y + etc.
Prenons y=ix*^^ et observons que la fonction ( — ^-)y„ se réduisant alors
à dbl. 2.3....W. selon que n sera paire ou impaire, il en résultera pour la valeur delà dernière série ,
±:l.2,'5..ne^=.Je^x^dx — na:Je^x*^—^dx-h'^-^^^—^x^fe^x"-'dx..dtxye^dx; ou bien , en retournant la série
e^=z — l — {x'^re'^dx — n x'^'^fe^xdx H- "•'^~^ j?»-'/è^a?Ma: .... ±/e^^»*d^| ' 1.1.,. ni J '' 1.2 •' •' J
Si maintenant l'on écrit dans celle ci , xlE ou x^ au lieu de a: , il viendra l'équation caractéristique
^^=:^!li(a;"/i'^dar — wa;«-'/jE'^.rda:H-^:^Ilia;»-y^^arM^..±/]E'^a:"d^l i.2..«l •' •' j.a ♦' •' J
(69) et puisqu'on général la fonction caractéristique y JF^o^'^d.» placée devant
y^ , est identique avec l'intégrale y!r*"ydj7, on conclura facilement de l'équation (b'g), après avoir changé n-\-\ en n.
^ y, = ''fydx^ =__L__|a;»-*/J^d^ — (w— 1) x^-'fyxdx
série qui pourra être représentée sous la forme simplifiée
1 fU — a)y»-'da? ,
pourvu qu'on change « en ;>; après les intégrations.
Si dans l'équation (65) on remplace la fonction y par (-2 — )y, elle donnera
et en continuant delà même manière , on parviendra évidemment à la formule générale
«re°-yd^"==e«^(-i)«2^!!:|«— ^ôy+îi:^±iaV— ^^^^^^ ^ ^ ^rt+D a" r a ^ 1.2. a* '' a.S.a^ ^ i
(70) La formule (68) étant mise sous la forme
fe'yàx =. e^ (— i) i y = e* (-}—)Jydx,
on en tirera par le développement delà caractéristique fractionnaire
fe^ydx:=- e'^ljydx — fydx* -\- fydx^ — etc. } (71)
et partant
Ja^ydx = a*-! fydx — la Jydx* + (la)* fydx' — etc. >
Changeant a en ^ , et posant .^* X^ zzz X , cette dernière série nous donnera immédiatement la suivante:
fUy dx = ILfydx — dX Tydx^ + d*X 'fydx' etc. (72)
La série connue
yà*y dx znfydx + lafxydx + -i- {la) *Jx*ydx + etc
qui s'obtient par le développement de a*, donnera de même, en y écrivant E au lieu de a.
fXy dx = Xjy dx + dX.fyx dx -t- ^fyx* dx — etc. (73)
3i. Soit u une fonction de ar et a, et X=:Judx^ on aura en différentiant par rapport à l'élément a , l'équation
ce qui constitue le théorème de Leibnit% pour différentier sous le signe intégral. On peut le prouver de la manière suivante.
En écrivant au lieu de u son expression caractéristique E^ E^u^ , il viendra d'abord
^,u=zÈlKlEan=ElElh,u^
donc fiaU àx =zfEl < d^ a „ W. = El bafE^ d^ «, = ^ daW.
Or X c=zfuàx =zfEl El àx i^. =^^g^ ^.
Di£Pérentiant cette dernière expression par rapport à a, on en tire
d„X = ^ lE, u^ = ^^ ha «0 =fàan dx
on en conclura en général
d:X=:fiydx. (74)
Ce même théorème aura encore lieu en supposant l'intégrale prise entre les limites a:=*,a:=|3. En effet, on aura alors
X=J^udx=(-j^)E^u^;
donc en différentiant par rapport à a
' ^'*'^^'^ r fP k» % TT* E''» ^ 1
=^ / ^oW do: — • / * d||W dfl? sr / ^oW djK-.
Mais si les limites a , /3 sont elles mêmes des fonctions de a , la différentiation delà valeur précédente de X, donnera dans ce cas
ô„x -ff è,u dx + {El a^ - El ^a») K ^.
ou bien, en posant w=(p(a:, a).
^ay^=àaP Cf> {x,a) dx = P daCp(ar, a)dx -{-(]? {fi, a) d^/^— <P {a, a)à^cc
32. Soit A = //wd^dy, entre les limites x=a, x=:b, y=a, y=6';
l'on pourra écrire
jTu dx dy = - -^ u.
Prenant d'abord l'intégrale définie par rapport à la variable j:, il viendra Idy udx=: )^^l ^lL^u^
Passant ensuite à la seconde intégration entre les limites de y, on aura
J a' J a O^Oy
Or , si l'on avait effectué les intégrations en ordre inverse , il en serait évidemment résulté
fa ^^/'' "^y =
La caractéristique composée qui affecte la quantité w^ étant identique dans les deux résultats, on en conclut la propriété connue
A r= / dy / udx = / dx/ udy ; c'est-à-dire que la valeur de A ne change pas en intervertissant l'ordre
des deux intégrations définies , bien entendu que la fonction u reste continue entre les limites assignées aux variables x^ y. Il est inutile d'ajouter que la même démonstration s'appliquerait également à une fonction u d'un nombre quelconque de variables, et dont la continuité satisferait à la condition que nous venons d'énoncer relativement aux limites des variables.
33. Les formules que nous allons exposer maintenant pour obtenir la valeur d'une classe étendue d'intégrales définies , étant fondées pour la plupart sur le théorème remarquable
* c-** da: = i l^îT ,
nous avons pensé qu'il ne serait pas déplacé de faire précéder nos recherches d'une nouvelle démonstration de ce théorème, laquelle paraitra sans doute plus simple qu'aucune de celles qu'on en a données jusqu'ici.
