OO
Soit/ e~^*d^=A; puisque les limites de cette intégrale ne changeront
pas, si l'on y remplace x par ax ^ a désignant une constante finie, on aura de même
e-«*^*ad^ = k.
D'ailleurs, comme la valeur de k est indépendante des quantités ^, a, il est permis de permuter celles ci, de manière que l'on aura encore
e—a^x^xàar=zk.
Multipliant cette dernière valeur de k par sa première, il en résultera, entre les mêmes limites
;t*=:/7è~(«'+')**a:da;da = l /"*da /* e- («*+')*' 2a? d^.
JJ ^J o J o .
Si l'on intègre d'abord par rapport à a:, en observant que / e— »»* clxzzz- t
il viendra k* "^r-f -i^=:-Arc.(tg.= oc)=r-
donc kz=.l e— ^*d^ = -l/îr (77)
e*-** dj; = X^Tc
On peut prouver avec la même facilité que / e ^ »* dj; = i. V^tt.
Eu effet , après avoir changé a; en — , cette intégrale deviendra
/ e. ix' aàx .
donc 2 fe-^'-^- d^ = r".-('-i*' ( I + ^)d;r.
Mettons ^ — — = /, ce qui donnera (i+— )da; = d/; les limites
de / seront — 30 , +oc , d'où l'on conclut de suite
2 r=° g-(^-£)' da; = r "^ e-'* d/ = V^TT
ou bien / e~^^~"^ diP=:e"/ e~^ "«^ da? == - l^w. (7^)
34. Soit y = cp(a?), la fonction ({) (a? + a/) pouvant être représentée sous la forme
<p(aj-^at) =z £"*<!? {x) = e"^*^ cp(^) ,
l'on aura , en multipliant chaque membre de cette équation par la quantité différentielle e~«*da
e-o» (^i^x^ai) àa = e-'^^-^'^*^ da (Ç)(a;) = e * e ^ » da cp(^). Si maintenant l'on intègre cette équation entre les limites a= — 00 ,
NOCV. HEM. PBÉlf. CLASSE DE l'iUSTIT. TOS. VI. ^
a=r+oo , en observant qu'on vertu du théorème (77)
e ï'da=/ e darrrV^Tr,
il s'en suivra la formule générale
e-a» <|>(a;H-a^)da = V^tt e * cp(ip) ; (7g)
résultat qu'on pourra exprimer encore en fonction de /* et des coefficiens
différentiels de y, par le développement delà fonction caractéristique e-T' Et puisque celle ci ne change pas , en prenant t négatif , on aura en même tems
y* e-«*{4)(a?+ajf) — <^{x — a/)}da=:o, (80)
ou bien, en permutant les lettres a, ^,
r*" e-*' {(i^(x-\-at) — <^{x — at)')àt=:o. (81)
La formule (79) donne lieu aux intégrales suivantes r* e-o*(p(a?+2ajf)da = T/tt e'''** (!?{x) r^ e-«'cp(^H-2a^I^— i)da=l/;re-*'^'<p(a?) /^*^e-«*(p(^+2al/^)da = l/?re'^'(î)(^) P (82)
e— »'(p(;27+al//)da = V^Tt eT <p{œ)
/oo î>'
e— «'<p(a?+a)da = V/;r eT (p(a?)
/oo 3»
Si l'on y fait a?:=:0 , et qu'on change ensuite a en a? , les deux dernières formules donneront
r^^e-^'(p(a;)dx=z}^7eer<p(o) (83)
35. Appliquons ces formules à quelques cas particuliers , afin d'en faire mieux saisir la signification.
Soit d'abord y =: <p(£c} z=z a;*' ; le développement du second membre de l'équation (83) contiendra des termes qui , dans l'hypothèse de ^=o , s'évanouiront tous, à l'exception de celui affecté de ô"; d'où l'on conclura sans peine à cause de d"(p(o)= i. 2.3.... 2t.
Si l'on avait y=^*'-»-', tous les termes du développement dont il s'agit s'évanouiraient à la fois, à cause qu'ils ne contiennent que des puissances paires de d , et il en résulterait ainsi
^e--^*^*'-'-'da:=o
ce qui est d'ailleurs évident en soi même.
Supposons encore <p{x) = a;*' , la dernière des formules (82) deviendra
e—a\x-\.a\^ — iy'àa=zl^7re~~ x^\
Le développement de la fonction caractéristique ne pouvant s'étendre au delà du terme affecté de d*', on trouvera aisément pour la valeur de cette intégrale , la série
^^ f ^»,- o.i.-xi—z ^»,ï 1 ^i.ii—i.ni — 2.2/--3 ^ï,u» ^^ ju 1. 5.5. 2/^1 1
dont le terme général s'exprimera par
qui se réduit à
n* étant égal à 2 — n.
D'ailleurs, à cause de (ar-f-al/ — 1)''=( — l)' (a — xV^ — i)"', on trouvera à l'aide de la série précédente
résultat conforme à celui donné par Laplace ('^). On parviendrait facilement à une série analogue pour la valeur de / e— «'(a — xl^ — l)">'da. Soit maintenant y = cos mx. Cette fonction donnera lieu à l'équation
d'y :^ — rn^y.
d'où résulte la relation caractéristique d':=: — w*. On obtiendra ainsi d'après l'avant dernière des formules (82}
e—«* cos m(^+a)da =: l^^r e r cos w.r;
donc, en permutant les lettres x^a
e-^*cosm(a:-|-a)da: = V^^e~T-cos wa. (87)
Et en faisant a=:o
e ~'** cos mx àx z=. "X/^it e »
Celle ci fournit encore , après avoir changé a: en «a; , et ma en m.
g— «1*1 COS nxàx = ^ e ^ /g v
(*) Théorie analytique des probabilités, pag. 45.
Posant y:=sin x , la même formule nous donnera pareillement
/ce ^
e—** sin m (x-\-a) dx = I^tt e ~sin ma (90)
-co
/e^^^sin mxdx zzz o.
36. Si l'on multiplie la formule (89) par la différentielle e— «Ma , et qu'on l'intègre ensuite entre les limites a=:o 1 a=oo , il viendra
cosnxdxf e— «H»+*')2ada= 2l/7r/ e 4oïda,
- co »/ o »/ o
ou bien / ^^^^^ d^ = zre— » , en vertu de la formule (78).
d'où l'on déduit encore les intégrales suivantes dues à Laplace,
n 22U!ldœ=^ e->»«. A'' ."^'"^-^d^ = ZT e-«»«. (9 1)
y o m^-\-x^ ira J o //z»+.ï^ a
et dont Legendre et Bidone , ont fait plusieurs applications intéressantes. On peut y joindre encore celles qui suivent. En multipliant les deux séries,
1 -h w cosa^ -h — cos lax +— cos "àax 4- etc. = e»co««^cos (nsina*)
n sin «a: -h — sin lax -{- — sin 'àax 4- etc. = e"«=os«*sin («sina^) (*) a 2.3
respectivement par les différentielles ^J^^^ » ^n^' ^' intégrant ensuite chaque membre à l'aide des formules (91), il en résultera immédiatement pour la première série ,
/'*e»icosa^cos(wsina^)-^i^=i?l( n-ne-»««-t--e-'««+-îi^e-*»"'4- etc.}
=Z. gwe-"»" (92)
(*) Ces séries se trouvent démontrées dans mes Recherches sur la sommation de quelques séries trigonotnétriques. 1827. pag. 15. aw-v
et pour la seconde
f^ encosax sin U gin ax) -f^ = - (e^e"'"" — i ) (q6)
La série
ni . .«*•<? 1 A /i « sin ax .
n sin «j? — — sin 2aa; H — sm ôax — etc. r= Arc ( tg=:— )
2 3 l-{-«COSO.t'
donnera de même
' f" Arc (tg= "^'""•^' ) J^ = 5log (i+ne-«««) (94)
^ . , /*<5P sin rix cos fl.r j ^ ^
Puisqu'on a y^-____ da;-o
il s'en suit
/» Qttx]/—' cosrt.r J ___ Z''* cos Tî.r cos rt.r i - 00 OT^-j-.r» J — » /»»4"-''^*
__ r» iCos(flH-«)-tr^^ ^ r°° 1 cos (g— «).r^y
- ^ f e—»n(a+«) | c—m{a—n)\ :^ J[^—ma^emn j^ e—mn'j , ^g5j
en vertu de (91), a étant supposé > w.
Différentiant la formule (g5), ip fois de suite par rapport à l'élément a , on en tirera d'abord
/-<» e"^*^ .r'/' cos ax ^^ == ±!^ ffl'p-' 6-«'« (e''»" + e-^"). (q6)
Une nouvelle difiFérentiation par ràppbrl à a donnera
ç^ nxv-- .r»;,+is;nfl.r ^^ = ± ^ rï^P e-"»« (e"»« + e-»"»). (97)
Si maintenant l'on différentie ces deux dernières formules par rapport
TÏÏÉORTE DES CARACTÉRISTIQUES. 63
à l'élément «, on obtiendra encore
utV-' .. ■ ^.\^'i:;^^-o- S3l ont
/flOï/ -" * •
Les quatre formules (g6) à (99), où le signe supérieur se rapporte au cas de p paire , et le signe inférieur à celui de p impaire , peuvent être réunies dans les deux suivantes : \
oc n^l/-» .r'cosf^ ax)
dx = ? m»"-* e-"»« (e"»» H- e-»"») (100)
os nx^-^ x'~sm[——ax) — ^ . ^ v
e ! dx = - m»^' e-»»« (e»»« — e-"»«) (loi)
La première de ces intégrales étant identique avec A e"**^ ~ d^cos «.r ^ '^ ^
il est facile de prouver à l'aide delà théorie des fonctions complémentaires due à M. Liouville y que sa valeur précédente sera encore applicable au cas où l'exposant r désigne un nombre fractionnaire (*). En effet, dans cette hypothèse, l'intégrale telle que nous venons de l'obtenir, devrait être augmentée de la fonction complémentaire
v^ = A + Ba + Ca* -h etc.
Pour déterminer les valeurs des coefficiens A, B, etc., examinons ce que devient l'intégrale , en y supposant a = -. Soit ax=zt , elle prendra alors cette forme
(*) On peut consulter à cet égard un mémoire intéressant publié par M. Liouville , dans le Vol. XI du Journal de M. Crelle.
d'où l'on voit qu'elle s'évanouit pour ar=oc, toutes les fois que r+ i sera un nombre positif. Donc les coefficiens A, B etc., se réduiront également à zéro ; ce qui signifie que l'intégrale dont il s'agit n'exige aucune correction dans l'hypothèse de r fractionnaire. On voit encore qu'il en sera de même à l'égard de l'intégrale (loi). Cela posé, si l'on fait maintenant a=o et nzno , il viendra pour tout nombre fractionnaire r.
COS -r-
ou bien 2 / x'' à.x ^
U o m*+jj;* cos/îi
L'exposant 2r ne pourra s'élever à l'unité , sans rendre infinie la valeur de l'intégrale; on aura donc toujours r < i. Faisons xzzz%\^ et
'^-hjursr», our=:^ — 1; donc 2^*»" da; = aaP-* d« , cosr^=sin^.
ce qui transforme l'intégrale précédente en celle ci
où y? < jW'i à cause de r •< -.
En supposant 7»=i , on tombe sur l'intégrale connue
1+a it« sin —
(io3)
Les formules (loo) (lOi), étant également applicables au cas où n soit négatif, ainsi que cela résulte du procédé qui a fourni l'équation (95), on en déduira encore
/^ cos(— — rt.r)d.r
(loi)
/09 sn( — — .7.T)d.r
(gtixy-i — Q-n^-~^\ x^ * =-^— m''— » e— «»o(e*'*" — e— »»»»)
OU bien
/"» cos(-— .7-r)
/ x^' cosnx î à.x=i - 7/t'"— ' e— "*°(e"»'* -4- g— wm\
(io5)
/oo . sinC— 7.T) , ^ . ,
^♦^ sinna; darrr - m»*—' e-'"« (e-"»« — e»«")
Les formules auxquelles nous venons de parvenir conduisent en outre à d'autres résultats plus généraux, qu'il est utile de faire connaître ici. En effet, puisque la théorie des caractéristiques fournit les relations
(cos^D) (P(^) = 4'(«+-^^/-O4-0f«~.ri/-i)
(io6) (sin^ô) cp(^) ==4>(«+-rt/-0~<^(«-.ri/-i)
il viendra, en remplaçant n par d dans les formules (lo5)
cos('2^ — ax)
dar
i^rw»"— •e-»»o|^(<»-{-»t)-h(p(â« — w)| (107)
sinrs„.)^^^
rr-J^m»— 'e-"»«|(Ç)(«-}-w)— cp(«— J»)| (108)
Si l'on fait a=:o et r= — 'i, on déduira de ces dernières formulesf
KOUV. KÉM. PRÉM. CLASSE DK t'iHSTIT. TOM. TI, *
aa THÉORIE DES CARACTÉaiSTIQUES.
