L'OEU\'RE DE CAUCHY

ï.oule la vie scientifique de Cauchy s'est- passée à rédiger de savants mémoires et à donner ses leçons à la Sorbonne et à l'Ecole polyie(chnique. Son œuvre est immense et peu connue, mais il est hi'dïi difijcile de la résumer "et d'-en faire comprendre l'importance, d'autant plus que le domaine des mathématiques supérieures, où il a circonscrit ses travaux,est presque un jardin fermé, dont ceux-là seuls peuvent en goûter le charme qui se sont acquis par de pénibles travaux le droit d'y pénétrer cl d'en jouir à l'aise.

Cependant, on peut dire que deux idées, dont l'une est le complément de l'autre, résument toute l'œuvre de notre mathématicien : perfectionnement du calcul infinitésimal et création de la physique maihémalique par l'application plus immédiate de ce calcul à l'explication des phénomènes physiques.

LŒUVRE DE CAUCIIY 151

rhacun sait plus ou moins par expérience que les problèmes de géométrie pure, dans lesquels, par la simple inspection des Ijgnes et des angles, il faut découvrir telle ou telle propriété do ces figures, sont un véritable casse-tète pour les étudiants. La solution est une affaire d'intuition. On peut la trouver du premier coup, comme aussi on peut chercher longtemps sans rien décou- \rir. ~

C'est pourquoi Descartes avait appliqué l'algèbre à la géométrie, ou plutôt traduit la géométrie en langue algébrique, de manière à représenter fous les poirits d'une ligne ou d'une figure par leur distance à deux axes perpendiculaires (coordonnées). Toutes les lignes, triangles, cercle, ellipse, etc., sont ainsi représentés, traduits par des chiffres, des formules, et la résolution d'un pi'oblème dei géométrie est ramenée à la résolution d'une équation algébrique tirée des formules et des données, équation plus simple, plus maniable surtout. Idée de génie qui devait être la source de tous les progrès scienti'fiques futurs.

Du temps même de Descailos, Xowton et Leibnitz i)0ussant encore plus loin (jue lui la synthèse, l'identification de l'algèbre cl de ta géométrie, des nombres et des grandeurs, en y introduisant les

152 CAU( iiv

(jiiantités (.ontinues cl variables, découvrirent sinmllanémenl riiiï le calcul intégral, l'autre le calcul différcnlicl. Ce sont deux parties connexes d'une même science, d'un nouvel et puissant insliumcnt de contjuètes scientilicjues, appelé calcul jiiliiiilésimal, l'analyse, dans lequel les nombres sont absolumenl calqués sur les grandeurs, les traduisent adéiiualeinent avec toutes leurs propriétés. A répo(|ue Ac ("aucliy, cette jeune science, qui dalail déjà de plus d'un siècle, avait fait brillamment ses preuves. Newton, en particulier, l'ava t appliquée à l'astronomie,, Huyghens à la' mécanique, tous deux à l'explication de tbéories opposées sur la nature de la lumière. Les trois pailles fondamentales des sciences exactes : calcul infinitésimal, astronomie et mécanicpir, étaient dès lors constituées, ces deux dernières vivifiées et comme informées i)ar la premièie, qui en forme la base.

Mais le cahul inlinilésinud lui-même avait bes.)in d'une réforme, .\iiirs Xewion et Leibjut/. les nialliémaliciens y avaient ajouté beaucoup de théories et de métbodes nouvelles, mais cellesci étaient plutôt juxtaposées que fondues entiv elles. Elles formaient aiii^-i un tout assez dispai;i''' et cette >eieuce, cependaid e.\a( le, semblait

l'oeuvhf. de CAUCHY ]~)'.>

manquer d'une base suffisamment rigoureuse.

Il fallait un esprit assez puissant pour embrasser d'un seul coup d'œil fout ce vaste ensemble, en fondre toutes les parties et les ramener à l'unité. Telle fut l'œuvre qu'entreprit Cauchy. Il s'attacha à préciser les méthodes, à justifier leur valeur par des preuves plus rigoureuses, à iea enchanier par des déductions logiques de manière à en faire une véritable science. Et il y parvint.

C'est là sa véritable gloire. Toutes les généralions de géomètres ont reconnu la valeur de ses critiques et rendu hommage à la puissance de son génie, enfin l'Académie des Sciences a voulu présider elle-même à la publication des œuvres complètes de l'illustre géomètre.

Le détail de ses découvertes en analyse serait trop long et trop aride. Disons im mot seulement de sas travaux remarquables sur les séries, suites infinies de nombres, analogues aux i)rogressions, et dont chatpie terme se déduit de celui qui le précède d'après une hji uniforme.

On démontre en algèbre (pie la somme de tous les termes d'une progression géométrique décroissante (en nombi'e inlinil a une valeur finie et bien déter-

minée { ex : 12 + 14 + 18... = 1), tandis que la somme do tous les termes dune progression iiéométrique croissante est infinie. De même ])Our les séries, les unes ont .une valeur iinie (convergentes), les autres une valeur infinie (divergentes).

Les séries jouent un grand rôle en analyse et l'on comprend ([u'il était de la plus haute importance de bien déterminer les cas où leur valeur devient infinie et ceux où elle demeure finie et calculable.

Cauchy s'appliqua donc d'abord à fixer les règles qui permettraient de reconnaître à coup sûr la convergence ou la ilivergence des séries et signala de graves erreurs provenant de l'oubli des considérations qu'il mettait en avant. Ces communications vraiment fondamentales frappèrent et émulent vivement les académiciens, auxquels elle>furent faites « Le grand ouvrage de la Mécanique cc/cs/c. ilii M. X'alson. que Laplac(' venait de terminer récemment, reposait presqur en entier sur des développements de ce genre ; contester la légilimité de leur emploi et convainnc «]ue!(iues-uns d'erreur, c'était ébranler })ar la base tous les liaxaux du savant géomètre et l'^'uif'llrc rn (|nc-li<tii loulc-- <r'- (l<''cou\erle<.

l'œuvre de cauchy 155

Laplace eut donc un moment d'effroi. On raconte qu'au sortir de la séance où Cauchy avait exposé ses premières recherches, il rentra précipitamment chez lui et n'en sortit pas avant d'avoir vérifié la convergence de ses formules. A la vérité, son génie, l'avait hien inspiré; car son ouvrage était irréprochable et sortait victorieux de l'épreuve, mais une défaite était possible et ten-ait en définitive à peu de chose. Que l'orbite de la Terre, par exemple, au lieu d'être sensiblement annulaire, eût affecté une forme un peu plus allongée et tout l'édifice de la Mécanique céleste tombait en ruines. >-

Dans le domaine du calcul infinitésimal. Cauchy fit encore faire de grands progrès à la théorie si féconde des quantités imaginaires, alors dans l'enfance. Citons aussi sa théorie des résidus, restée fameuse. Enfin, complétant l'œuvre de Nev^ion, Huyghens, Laplace, il étendit et appliqua les conquêtes de l'analyse à l'astronomie et à la mécanique.

Mais c'est surtout en physique que ses travaux eurent une grande importance. C'est la seconde partie de son œuvre. Là encore, là surtout, il fut véritablement rrr;ileur.

150 CALCIIY

Sans doute, l'application de l'algèbre à la géoiiiflrie, réalisée par Descartes, avait été étendue à la physique. Mais ce fut Cauchy qui réalisa cette <ompénétration intime de l'analyse mathématique et de la physique, créant ainsi la physique mathématique, qui forme une synthèse analogue à celle de l'algèbre et de la géométrie, d'où Newton et Leibnitz avaient tiré le calcul infinitésimal.

De tout temps on a appliqué les nombres et les formules algébriques à la résolution des problèmes de physique. Mais on ne considérait, pour ainsi dire, que les propriétés extérieures, les forces d'ensemble.Grâce au calcul infinitésimal, on a pu considérer les forces élémentaires, appliquer les équations aux éléments infiniment petits des corps, atomes matériels et atomes d'éther. On a pu ainsi véiilier les hypothèses faites sur leur nature en déduisant des fonnules posées tous les phénomènes connus.

C'est ainsi que Cauchy l'a appliqué à l'élude des propriétés physiques des corps : cohésion, élasticité, choc, etc., ainsi qu'à l'explication du son et de la lumière.

Soumettant au calcul une hypothèse émise par Boscowitch sur la nature des monades, considérées nomme de sim))l(^s centres de force, il a expli-

l'œuvue de CAUCHY loi

que toutes les particularités du choc, de l'élasticité des corps, en admettant que la force d'attraction dont est douée chaque monade devient répulsive au voisinage immédiat de son centre et que cette répulsion augmente en raison inverse de la quatrième puissance de la distance (elle est, par exemple, seize fois plus grande quand la distance est moitié moindre). Il a donné ainsi à une hypothèse purement philosophique un fondement, une probabilité mathématique, que les travaux ultérieurs n'ont fait que confirmer.

Newton, ne considérant que l'infîniment grand et les actions .extérieures des corps, avait dit : <( Tout se passe dans l'univers comme si la matière ' attirait la matière proportionnellement à la masse et en raison inverse du carré de la distance. » Cauchy, lui, se place à l'autre pôle du monde matériel, pénètre dans la constitution même des corps, ne considère que Tinfiniment petit, les atomes, les monades, et démontre que, dans leur voisinage immédiat, « tout se passe comme si les atomes se repoussaient en raison inverse de la quatrième puissance de la distance de leurs centres. 11 complète ainsi d'une manière

admirable la grande loi newtonienne et pose la première pierre de la reconstitution, de l'ex-

plication scientifique de l'essence même des corps.

.Mais ses travaux les plus considérables et les plus féconds en ce genre portèrent sur Voptique. C'est lui, en effet, qui a posé les fameuses équations différentielles, dont le contenu renferme toutes les propriétés de la lumière. Il ne fait que traduire en calcul différentiel le mouvement oscillatoire d'un atome d'éther en vibration et il tire de là l'explication de tous les phénomènes lumineux : réflexion, réfraction, polarisation, dispersion, etc. Il fournit ainsi le contrôle péremptoire des mathématiques à la théorie des ondulations, mise à cette époque au rang des théories scientifiques les plus certaines par les belles découvertes d'Arago et de Fresnel.

Plus tard, MaxKvell a repris ces équations de Cauchy sur les vibrations de l'éther pour les appliquer à l'électricité et elles cadrèrent meneilleusement avec tous les phénomènes à expliquer. L'électricité était ainsi ramenée à n'être, comme la lumière et la chaleur, qu'un mode d'énergie résultant des vibrations de féther. Les expériences de Hertz donnèrent à celte théorie mathématique sa preuve expérimentale, et la télégraphie sans fil iul l'application pratique qui en sortit.

l'œuvre de cvrciiv 139

Les ondulations élcclriqucs, communiquée^ à l'éther de l'air par roscillateur et l'antenne du poste transmetteur, se propagent avec la même vitesse que les ondulations lumineuses (300.000 kilomètres par seconde), "se réfléchissent et se réfractent suivant les mêmes lois. Ces deux sorics d'ondulations se distinguent seulement l'une de l'autre, comme deux notes différentes, en ce que le nombre des vibrations exécutées en une seconde par une onde électrique est bien moins considérable que celui d'une onde lumineuse de (400 à 800 trillons par seconde, pour les unes ; de quelques millions, pour les autres).

Les ondulations calorifiques sont du même genre. La rapidité de leur vibration tient le milieu entre celle des ondulations électriques et celle des ondulations lumineuses, les reliant par degrés insensibles. Le son n'est lui-mên)e qu'une vibralion d'ondes matérielles beaucoup moins rapides, • de telle sorte qu'actuellement on peut déduire presque tous les ph(''iiomèues physiques : électricité, son. chaleur, liunière. des seules équations posées par Cauchy pour traduire la transmission des vibrations, des ondes. Grâce à ce mathématicien de génie, la physique est bien près d'être ramenée à l'unité complète,' et l'on peut

IGO CAL CUV

juger par ce simple coup d'œll de tout ce que la science générale lui est redevable. L.'étude des fluides pesants (hydrostatique et hydrodynamique) (fui! n'a pas touchée, est restée stalionnaire. La chimie également collationne des faits et n'est pas encore entrée dans la voie mathématique. Oui nous y donnera un Cauchy ?

L'interprétation des formules de Cauchy conduisit à une autre découverte intéressante de physique générale. Primitivement, en effet, ces formules expliquaient bien la réflexion, la réfraction, même le phénomène tout récent de la polarisation, elles ne pouvaient expliquer ce phénomène depuis longtemps connu de la dispersion ou de la décomposition de la lumière par le prisijie.

Cauchy revit alors ses fornndes et remarqua (ju'il n'avait pas tenu compte du volume, ou plutôt du rayon d'activité des atomes d'éther, qu'il considérait comme infiniment petit par rapport à la longueur d'onde des vibrations lumineuses. Il en tint compte et tout fui expliqué.

La dislance et le volume des atomes d'éther, (luoi(|ue ti'ès petits ]iar rappori aux longueurs des ondes lumineuses ([ui' se mesurent jtar quelques iiiilliouirnies de millimètre, avaient cependant une valeur finie et assignable, ce qui doiuiaii une pre-

l'œuvre de cauchy 161

mière approximation sur la distance réelle des atomes. Premier jalon, considération intéressante (jui a été confirmée et précisée par les travaux mathématiques ultérieurs de physique et de chimie.

Cauchy, persuadé que toute science, comme toute créature, doit chanter à sa manière les louanges dd Dieu, voulut faire servir également son génie mathématique à l'appui de ses convictions l'eligieuses. Avec tout le poids de sa haute autorité scientifique, il a voulu donner une preuve péremploire de l'impossibilité du nombre infini, ou plutôt de l'impossibilité de réaliser complètement la série infinie des nombres entiers, impossibilité qui établit mathématiquement que la durée du monde n'a pu être infinie, qu'il a eu un commencement dans le temps, d'où la nécessité de la Création, la nécessité de V existence de Dieu.

Cet argument célèbres est fort simple. Supposons la suite naturelle des nombres entiers : 1, 2, 3, 4, .")... réalisés jusqu'au dernier. Cette suite, si elle riait complète, devrait comprendre égalemlent les carrés, lefe cubes 'eh toutes les anires puissances de tous les nombres entiers, car ces nombres étant aussi des entiers font également parlie de la série des nombres entiers. Or, cela est

mois SAVANTS r.HBKTIENS. il

mathématiquement impossible et c'est ce que Cauchy a démontré.

En effet, pour nous en tenir aux carrés parfaits, plus on s'élève dans la série des nombres entiers, plus la proportion des carrés qui y sont contenus diminue. Ainsi les cent premiers nombres ne contiennent que dix nombres carrés parfaits (1, 4, 9, 16, 25,... 100, carrés des dix premiers nombres entiers, 1, 2, 3,...* 10). Pour la même raison, les dix mille premiers en contiennent cent (100 étant le carré de 10.000), le million en contient mille, etc. La proportion des carrés aux autres entiers devient donc successivement : 10/100, 100/10.000, 1.000/1.000.000, ou : 1/10,^ 1/100, 1/1.000... progression géométrique décroissante qui indique que la proportion du nombre des carrés parfaits est d'autant plus faible que le nombre des entiers est plus grand. On ne paitiendra donc jamais à réaliser à la fois tous les entiers et tous leurs carrés (à p^lus forte raison leurs cubes et leurs autres puissances). Il est donc mathématiquemlent impossible de suppose^* réalisée la suite de tous les nombres entiers jusqu'au dernier, jusqu'à l'infini.

On conclut facilement de là que le ^ombre des années, des révolutions de la Terre autour du So-

l'œuvre de cauchy 163

Icil est fini, que le nombre des rotations de cet astre et de la nébidcuse piimitive est fini, par consé- ([uent que la nébuleuse, que le Soleil, que la Terre ont eu un jour oii ils n'étaient pas en mouvement. Ils ont donc reçu le mouvement et l'être d'un premier moteur immobile et créateur que nous appelons Dieu. Tel est. dans sa brève simplicité, l'argument de Cauchv.