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A l'époque de Kouo Cheou-king, la dynastie règnante était

d'origine mongole, et bien des faits montrent que la civilisation

1) Les Annales des Ming signalent expressément que le nombre 24 tou n’est qu'approché:

Di JA] BR #£ oc. cit).

TRIGONOMÉETRIE SPHÉRIQUE DE KOUO CHEOU-KING. 71

arabe dut alors réagir sur la mentalité chinoise, des Arabes travaillèrent avant Kouo le calendrier, d’autres dont les noms ont été conservés avaient des postes officiels pendant qu'il vivait !). Partant, on a pensé que Kouo avait reçu des Arabes, à l’état plus ou moins parfait, sa méthode trigonométrique, opinion à laquelle paraît se rallier Mr Mikamy -).

On prévoit bien que Kouo a dû profiter de leurs travaux, mais dans quel sens au juste et dans quelle mesure? Sa trigonométrie leur est-elle simplement empruntée ? ou s’il en fut l’initiateur, quels éléments trouvait-il qu'il lui suffisait de modifier, ou seulement de rapprocher, pour conclure à sa méthode? dans ces éléments, comment se ferait le départ entre ceux à rattacher à la tradition chinoise et ceux reçus de l'étranger? Toutes questions trop complexes pour être dirimées ici mais que les remarques suivantes éclaireront quelque peu, semble-t'il.

L'analyse de là trigonométrie chinoise y fait découvrir un point de départ géométrique et une partie de calcul, cette dernière découlant d’une formule sur la flèche et l’are, formule mise en œuvre par l'algèbre t'ien-yuen et le procédé k’ai-fang. Or cette formule aurait été employée en Chine dès le 11e siècle et semble devoir être

attribuée à tk FF je Tch'en Ts’uen-tchong.

1) Sur ce sujet, on peut voir M' Mikamy (op. cit. ch. 15, the arabian influence). Comme il en fait la remarque, on est embarrassé pour dire de façon précise quelle fut l’action des Arabes sur les mathématiques chinoises.

2) Sa pensée est, à vrai dire, un peu fuyante: “Kuo, dit-il page 101, considered “sphérical trigonometry, that begins with him in China. Kuo’s studies on the subject are “said to be based on Arabian science”, et il renvoie en note à Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 1, p. 684; n'ayant pas sous la main cet ouvrage, je ne sais comment y est présentée cette aflirmation, ni sur quoi elle serait basée, On regrette que sur ce point M' Mikamy ait l'air s’en rapporter à un auteur qui ne travaillait que sur des documents de seconde main, alors que lui-même pouvait recourir aux sources chinoises.

172 l. GAUCHE,

Dans son écrit 2 ES ER ‘), il dit en effet avoir découvert, pour des questions relatives aux arcs, un nouveau genre de calcul où entre cette formule; après avoir noté que l’ancien procédé ne donnait qu'une très grossière approximation, il continue: ,, Pour effecntuer la division de la circonférence, j'emploie un autre moyen; il nfaut prendre la moitié du diamètre comme hypoténuse d’un triangle »rectangle, retrancher du rayon la flèche, et le reste sera le grand »Côté de l'angle droit de ce triangle; élever ensuite au carré ces 2 »Côtés, retrancher un nombre de l’autre, extraire la racine carrée, »d'où le petit côté de l'angle droit du triangle, le doublir d’où la »Corde de l'arc considéré. Puis prendre le carré de là flèche, le . “diviser par le diamètre, ajouter le quotient à la corde et on a l’are »Correspondant” ?),

Le Ju $4 1j 5 au livre 9e indique ce passage comme contenant les principes sur lesquels se fondent les calculs du cheou-che-li,

et l'interprète au sens donné ici *}, comme déjà KH RE jf Kou Ing-

1) Sur cet écrit, voir le catalogne impérial déjà indiqué livre 120; une date y est fournie dans la vie de Tch'eng Ts'nen-tchong, celle de son doctorat en 1064; Wylie, op. cit. p. 131, dit quelques mots de cet ouvrage. Le texte cité ici est tiré du livre 18°; tout fait présumer que Tch'en ne considérait son caleul que comme approché, et Kouo dès lors

savait employer une formule qui n’était pas rigoureuse,

2) Voici le texte de Teh'en: Hi} 2 Ÿr & A 1 Al HI PLU 8 À LI BE D Æ Dr À] EL ER Æ À JR # À Æ D RE BR 52 7 ER Æ Di ER 8 4 4 ER I 1 RE A Pr) ZE À Æ EE — ff LXU El RE BR Por #4 1m A tit $E 78 I) 9.

3) Certaines expressions de Teh'en ne sont pas très claires; le JL 4 ÂÉ

en particulier commente les mots Pr ‘El EE en disant que ce nombre est la flèche

fr ‘El GE HI] &.. Les trois caractères HE — f£ veulent dire reculer l’unité d'un rang; on ne voit pas le sens de cette opération, l’explication du JU EE Âf 1

semble ne pas tenir compte de ces caractères, et un exemple donné dans le Du DA 2

siang l) l’avait fait dans l'introduction de son HN Æ& sf lg ; tous deux ainsi que Teh’en lui même, rattachent ces remarques à l’étude de la division de la circonférence ‘i] X ŸÆ et l'on comprend alors que les Annales des Ming donnent le calcul des flèches sous ce titre HN Æ El] [A].

Rien n'indique dans le nr PA SE ER par quelle voie Tch’en arriva à la formule indiquée, mais à rapprocher deux problèmes du JU FE SP on se prend à penser qu'il l’en fit sortir par un raisonnement fort simple. Ce vieux recueil, si prisé des chinois comme relique de l’antiquité, contient en effet les questions et réponses suivantes au livre ler:

19. On a un champ ayant la forme d’un secteur circulaire; l’arc en est 30 pas, le diamètre est 16 pas, quelle est la superficie du champ?

Réponse: 120 pas carrés.

Méthode: par le diamètre, multiplier l’are et diviser le produit par 4°).

29. On a un champ ayant la forme d’un segment circulaire; la corde en est 30 pas, la flèche 15 pas, quelle est la :superficie du champ?

Réponse: 1 mou 97 pas carrés et demi,

= (4 EX 4 . ’ “ $ FR en escamote l'explication, faisant un calcul étrange pour arriver à un résultat con-

forme à l'interprétation donnée ici; de vrai, le sens de la formule n’est pas douteux et elle est devenue classique en quelque sorte.

On est tenté de croire que les trois caractères EE = 4 ont été interpolés: on sait de reste le soin de reproduire scrupuleusement ane faute de texte, même connue, dans les copies successives d’un même ouvrage.

1) Je ne connais ce passage que par une citation de Yuen-Yuen (op. cit. liv. 30 article

sur Kou Ing-siang).

) À M FA= THERE TX EN EN # M ÉSH—-4=FSREAUE RE AID mm —