CHAPITRE PREMIER
Théorie des couches d'égale densité.
1. Considérons une masse gazeuse en équilibre ou en mouvement et supposons-la sollicitée par des forces quelconques assujetties à no pas modifier l'état gazeux.
La densité de cette masse en ses différentes parties varie avec la position da point qne l'on considère et avec le temps, si elle est en mouvement.
Les différents éléments de la masse étant supposés rapportés à trois axes rectangulaires et p désignant la densité à Tinstant t, nous aurons
Désignons par x, y z, les coordonnées d'un point de la masse gazeuse à Tépoque^ et par « + a j?, y + a y, z + ^ z\e& cordonnées d*un point voisin à la même époque.
f désignant la densité au point (x, y, z) à Tépoque t, f + ^p désignera la densité au point (x + sx,y + A y , z 4- A z) à la même époque et nous aurons
Désignons par / la distance de ces deux points et par «, /s, y les angles de la direction de / avec les axes.
(/ est une longueur que nous supposons très petite par rapport aux dimensions de la masse gazeuse, mais son rapport à la distance moléculaire dans Tintervalle gazeux est fini et peut être même assez grand. )
Nous aurons
Ax=.lco8(t ^y^leoifi ^%^=leoty
Posons
Une surface d*égale densité f à une époque donnée
I sera pâpimÉlée [ler Je systèmo des doui équations
La normale en un point a;, y, ^ de celta surface forme avec les axes des angles que nous appellerous ^t f*^ *; ces angles soal donnés par les relalions suivanles
1 d0 i rf» 1 rf^ •
'^^^y^di "^^'^^v'éi ''^'^fdi
Remplaçons Aai, ^y, as,, £» ^» ^ parleurs valeurs dans
réqualion (2) et ceiLe équalîon devient
A f = / F(©of * eût A + eût C «Ci /* + eoi y ciw t)
Désignons par ^ Tangle de la direction de ( avec la direction do ta normale à la surface et nous aurons
(S) ù^^lYcoit
De celte formule on peut déduire plusieurs conséquences 1res importantes*
1° L'accroissement de la densité h partir d'un point quelconque d'une surface dï-gale densité est nul dans toutes les directions autour de ce point sur la surface*
2^ L'accroissement de la densité à partir d'un point quelconque d'une surface d'égale densité est maximum ou minimum dans la direction de la normale à cette surface.
3* Si on fait tourner la longueur très petite l autour
Digiti
de la normale au point x, y, z de manière à former le même angle avec elle, la longueur I engendrera un cône droit et la circonférence de la base de ce cône renfermera tous les points de la masse gazeuse pour lesquels Taccroissement de densité est touyours le même en allant du point x, y, z k Tun quelconque d*entre eux.
4'' Si , I étant toujours très petit, iB varie de manière que I co$B reste constant , ^p reste aussi constant ; otlcos^ est la projection de I sur la normale; si donc par un point A pris sur la normale en x, y, z et à une très petite distance de ce dernier point, on mène un plan perpendiculaire à la normale , les points situés sur ce plan et dans le voisinage du point A seront des points pour lesquels Taccroissement de la densité sera constant , en allant du point x^y^zk Tun quelconque d*entre eux.
5. La même formule (3) nous montre encore que suivant une direction déterminée, partant du point X, y, z, Taccroissement de la densité est proportionnel à la longueur I, pourvu que I reste très petit par rapport aux dimensions de la masse gazeuse.
6. Enfln, dans le cas où e est égal à 90», cos^ est nul et les infiniment petits du premier ordre dans la valeur de Af disparaissent; si on tient compte alors des infiniment petits du second ordre, on obtient Téquation
Posons
/=v/ÂÏ»+"ZyM-Âj? A«=IJ,Aj/ = |i», A» = lf.
I, V, Z sont alors liés par la relation
Jt+.t + çi = i
Après avoir remplacé àx, ^ y, ùz par leurs valeurs dans réquation (3), on trouve
Si on regarde alors ^p et / comme des constantes , réquation précédente représente une surface du second degré; ce qui veut dire que si on mène un plan parallèle au plan tangent au point x, y, z et dans son voisinage, il coupera la surface d*égale densité suivant une ligue du second degré.
3. Considérons à présent deux surfaces d*égale densité très voisines déterminées par les équations
Dans ces équations t, f et a^ sont regardées comme des constantes.
Désignons par {x, y, z), {x,, y,, z,), (j?„ y„ «,)
différents points pris sur la première surface ^ = ^ {x, y , z, 0 ; PBr ces différents points menons des normales à la surface précédente, et désignons par l^, /,, /„ ... les longueurs des portions de ces normales comprises entre les deux surfaces d*égale densité; appelons F, F^, F,, les valeurs de la fraction F correspondantes aux points précédemment désignés et nous aurons
Si on convient d'appeler couche d'égale densité la portion de la masse gazeuse comprise entre les deux
surfaces d'égale densité, les longueurs UiJ^,... représenteront les épaisseurs de la couche aux points précédemment désignés, et nous pourrons dire alors que répaisseur de la couche d*égale densité varie en chacun de ses points en raison inverse des valeurs correspondantes de là fonclion F.
