INTERVALLE PLANÉTAIRE

RÉSCBIÉ.

La pensée d*établir un lien entre les manifestations de Taction moléculaire dans les limites de Tintervalle

planétaire et de rinter?alie gazeux nous a conduit à poser une nouvelle formule dans toute retendue des limites des deux intervalles précédents.

Avant de la prendre pour nous servir de guide dans nos recherches sur les actions mutuelles des molécules gazeuses, nous croyons devoir prouver par le calcul que dans Tintervalle planétaire notre formule et celle de Newton conduisent aux mêmes conséquences.

C'est pour cela que nous commençons par étudier les lois du mouvement de deux points matériels de masses différentes s'attirant proportionnellement à leurs masses et suivant une fonction de la distance exprimée par notre formule. Le calcul nous apprend alors que le centre de gravité de ces deux masses se meut uniformément en ligne droite, et que chacune d*elles se meut par Yapport au centre commun de gravité comme s'il émanait de ce dernier point une force exprimée par une formule tout à fait semblable à celle que nous avons posée.

Pour étudier d'une manière générale et complète le mouvement de chacune des deux masses, il suffit donc de résoudre le problème suivant :

Trouver la courbe que décrit un point matériel attiré vers un centre fixe par une force qui en émane et dont l'expression est représentée par notre formule d'attraction.

Le calcul montre alors que les courbes décrites par le point matériel selon l'impulsion initiale ont une grande analogie avec Thyperbole, la parabole et Tellipse.

Après avoir traité chacun de ces trois cas, nous examinons la question particulière de l'action de la terre

sur la luDe. La terre est alors regardée comme un centre d'action, mais au lieu d'une seule lune nous en concevons deux confondues ensemble et cependant indépendantes Tune de Taulre, partant du môme point avec une certaine impulsion initiale, et soumises Tune à la loi de Newton, Tautre à celle que nous supposons. Après avoir attribué à la longueur que nous avons appelée cl une valeur égale & un décimètre, nous trouvons par le calcul qu'au bout de cinq mille ans la distance angulaire des centres de nos deux lunes doit être Inférieure à un angle d'une seconde; nous croyons alors avoir suflSsamroent prouvé qu'il n'existe pas de différence appréciable entre les conséquences de notre formule et celles de la formule de Newton dans les limites de l'intervalle planétaire.

INTERVALLE PLANÉTAIBS.

La pensée d'établir un lien entre les principales manifestations de l'attraction moléculaire, nous a conduit à poser la formule

r désignant la distance des deux molécules.

Elle convient à l'action de deux molécules dont les masses sont prises pour unité ; f désigne un coefficient constant et ol une longueur constante, petite par rapport au mètre.

Proposons-nous de nous rendre compte à l'aide de

cette formule des pliéDomènes résultant des actions mutuelles des molécules dont les distances restent comprises enlre les limites de Fintervalle planétaire et de rintervalle gazeux.

Dans cette seconde partie nous nous occuperons seulement de l'intervalle planétaire ; nous voulons démontrer rigoureusement par le calcul que Tintroduction de notre formule dans la mécanique céleste n'altère en aucune façon les conséquences de la loi Newionienne.

Considérons alors deux points matériels de masses m et M, s'attirant proporlionnellement à leurs masses et suivant la loi précédemment formulée.

Ces deux points matériels décrivent dans Tespace ^ des lignes que nous rapporterons à trois axes rectangulaires; désignons par x, y, z les coordonnées du point m à Tépoque t et par X, F, Z les coordonnées du point if à la môme époque. Nous aurons alors

De ces équations on déduit dfjmx + MX)

dp ^

d^{mz + MZ) dfi ==^

Désignons par X| , y«, z^ les coordonnées du centre de gravité des masses m et if à l*in9lant I et nous aurons

éPx. iPy. (Pz^

ce qui donne

€i, C/, C„ Cw, C|, C,' représentant des constantes arbitraires.

Le mouTement du centre de gravité des deux points matériels m et Jf est donc rectiligne et uniforme.

Si nous désignons par f la distance du centre de gravité à la masse m, nous aurons

les trois premières des six équations (1) pearent alors se mettre sous la forme

d*(a?— a?.) IM+myj » {M'^m)x\lx—xA

dp =- jif f\F^ W^ A— i- /

(P(ll-yi) (M + mf ( ' (M+m) A\(y-yA

dfi ^ M 'V'* ifr'3 A ^ J

Si donc on suppose par le centre de gravité trois axes rectangulaires mobiles parallèles aux axes fixes, le mouvement relatif du point m par rapport à Torigine mobile sera le môme que s'il émanait de cette origine une force dont Texpression serait

M 'Vf» Mr'^ )

La formule de cette loi d'attraction étant tout-à-fleut semblable à celle qui nous a servi de point de départ, il en résulte que pour résoudre le problème général du mouvement des deux points matériels m et M, il suffit de traiter la question suivante :

Trouver la courbe que décrit un point matériel idtiré vers un centre fixe par une force qui en émane et dont l'expression est

Kp~f)'

fet a désignant des constantes et r la distance du point attiré au centre fixe.

Je prends le centre fixe pour origine des coordonnées. Le point matériel reçoit à Torigine du temps une impulsion initiale, qui lui imprime une vitesse dans une certaine direction; par cette droite et par le centre fixe je fais passer un plan, et, dans ce plan, je mène deux axes rectangulaires, passant par le centre fixe

pris pour origine des coordonnées; les équations du mouvement du point matériel seront alors

Multiplions Téquation (1) par ^dx, Téquation (2) par 2dy, sgoutons, intégrons et nous aurons

V désignant la vitesse du point matériel à Tinstant t et C une constante arbitraire qui peut être positive, nulle ou négative.

Appelons 9 l'angle que le rayon vectenr du point mobile fait avec Taxe des x; on peut toiiyours disposer de la direction de cet axe , de manière qu*à Torigine du mouvement 9 et t croissent en même temps ; nous aurons alors

(5) l = tg».

L'équation (4) permet de mettre réqoation (3) sous la forme suivante

De réquation (5) on déduit

(7) xiy—yix=r^â9.

Mu\UpU0Q8 l'équation (3) par x, TéquatiMi (1> par y, retranchons et noua aurons

(8) xfitf — yéPx'mo:

d'où (9) ^(r*<ïe)=o,

el (10) f»«ïe=Ml,

k désignant une constante arbitraire qui ne peut Mre que positive, parce qu'à l'origine du naouvemeut d» et dt sont positifs.

Eliminons d» entre les équations (6) et (10) et nous

aurons

rir

Après avoir remplacé dt par cette valeur dans l'équation (10), on obtient

kdr dt

0*) r\/Cr»-l-2/>--ar-»*

Posons r = - et ces deux équations deviennent

dz

dt^ —

08) 3*\/-(*^+fc»)^ + 2/i4-C-

kdr di = —

(14) \/(x/-4-t*)-*»+2r-»-HC

Si on égale à zéro la quantité placée sous le radical, on obtient une équation qui a pour racines

~ '<zf+k*

Selon la valeur de C ces deux racines sont très différentes et nous allons énumérer tons les cas qui peuvent se présenter

1« C> 0 deux radnes inégales et de signes contraires; nous les désignerons par a et — 6 et nous aurons a>b.

3* C S9 0 une racine positive et une racine nulle ;

la racine positive est égale à —rzlrit

nous la désignerons par a.

i*C<o ce dernier cas se subdivise en trois autres :

!• p + C{% f+ V) > o; deux racines positives inégales et de même signe; nous les désignerons par a et b, et nous supposerons a>b.

^Jf" P -^C {cLf+ k^) = o; deux racines

f égales à \ ,^; nous les désignerons par a.

3* /* + C (xf+ **) < o; deux racines imaginaires.

. Nous allons examiner successivement tous ces cas.