PREMIER CAS

C> 0 nous aurons alors

dt = —

^\/-(xf+ lfiUz-a){z-^b)

Uz 4f-s — ■

<*•> y-(zf+V)(z-a)(i-\-h)

Mettons cette dernière éqnatioo sous la forme

Posons

08) V/(«-i)(n.è) = (^-«)« ce qaî donne

m V^î±JL *= ,-î^

(«0) ^"^^^ *! (•—<?)- arclji*.

r désignant une constante arbitraire.

Remplaçons « par sa valeur yLlÏLÏ et i par sa

valeur - et il vient

Dans cette dernière équation, le radical du premier membre emporte toiqours avec lui le double signe 4^; mais nous avons cru devoir le faire précéder du signe —, parce que, z étant compris entre a et — 6 , u doit

être de «gne contraire au radical en vertu de féquation (18).

L*équatioa (21) nous fait voir que la valeur mi-

nimum de r est - et que ce rayon vecteur r peut varier

depuis - jusqu'à Tinfini.

Cette même équation nous montre aussi que Ton a

n désignant un nombre entier et < un arc positif ou

négatif dont la valeur absolue est inférieure à j. Ce qui donne

La relation du numéro (23) correspond à un des signes du radical, en prenant l'autre signe on aurait

(2*) ^'^f-^^ (»c) !,*-« d'où

On voit qu'il y a une infinité de valeurs de ^ qui cor* respondent à une même valeur du rayon vecteur r.

Si on fcil r « oD dans l'équation (3t), on trooTe

-/hW--^(-)

Désignons par ^ te plus petit arc positif dont la tangente égale V/l, nous aurons alors

(il) k2Z±ZV-c)=ii*±j

d'où (28) . = C+p7^=r

c*est-à-dire que la courbe dont nous nous occupons a une infinité d'asymptotes reclilignes.

Revenons à Téquation (15); faisons-lui subir la transformation (18) et nous aurons

2(l+«^)dtf

Je pose 11*==-^* d'où

2(aH-fte^)d^

Pour abréger je pose JT ^ ^-.^___

et j'ai alors à intégrer Téquation

ce qui donne ' ~ ' .

M(fl+b), M {a— à) /» + i\

T désignant une constante arbilriire,

La valeur de t est supérieure a rtioité, car on a

Après a?oir remplacé v et Jl^ par leui^ valeurB dans réquaLIoD (32), on trouve

Cette équation nous fait encore voir que r ne peut

être inférieurs à -, a

s&goub Gài.

Pour trouver les formuTes qui convienneDl au cas où C est nul, il suffit de faire dans les formules précédentes

Èf a f -h k^

Après avoir fait œlte substitution dam réquation (21), on trouve

-\f*l±JL— = ta \^'f-^^ 0-c) yf tfr-af-lfi '^ U ^ '

Elerons ao cane, résolvons par rapport à r et nous atuoDS

Poar aToir la Taletir de (, nous ne ferons pas usage de régalilé (33). parce que son second membre se compose de deux termes qui deviennent infinis.

Nous prendrons plutôt l'équation (29) qui. après la snbtitutioD de a et de b, devient

Après avoir int^n^ on trouve

Dans ce cas u = V r> ^^*^ ayons donc

' or — i

Remarquons encore que r a une yaleur minimum

égale à -.

TROISltHB CAS.

Pour obtenir les formules qui conviennent au cas où C est négatif, je mets les équations (13) et (14) sous la forme

(39) dt ^^

' l/(,/'+*«)(fl-z)(Z-ft)

kiz

<*°> ~ i/(x^+*«)(a-2)(z-ft)

Je pose \/ (a — z){z—h) =>{a — z)u

Les équations (39) et (40) deviennent alors 2(H-w»)<<tt

(41) dt = —

\/a/H-J|;»(att»+ft)* 2 fcdtt

Après avoir intégré cette dernière et remplacé» par sa valeur, on obtient

'"«m» kZE?(C-«)+ft««* ^S±^(C-») 2* 2t ^

La valeur maximum de r est ? . sa valeur minimum

est -; la courbe décrite par le mobile est donc com-

prise tout entière entre deux circonférences concen-

1 i triques dont les rayons sont - et r.

Appelons osdllalion la portion de courbe décrite par le point mobile, partant d*un point de la circonférence extérieure et revenant ensuite à cette circonférence, après avoir touché une fois la circonférence intérieure. Désignons par 9t et ^^ les angles formés avec Taxe des X par les deux rayons vecteurs correspondants aux points extrêmes d'une oscillation ; s, — df sera Tangle formé par ces deux rayons recteurs.

Nous aurons alors

Ce qui donne

Revenons à l'équalion (41); remplaçons-y u par *i/ -, elle devient

ab\/ab l/« /"+**(♦* -1-0'

Après avoir intégré et remplacé * par sa valeur en fonction de r , on obtient

ab^Mf+lfl ab ^ab^af± ikt ^ abr — b

On voit encore sur cette formule que r ne peut va-

rier qu'entre les limites - et t; la durée d*uue oscillation est alors égale à

ab [/ab ^af+k^ Mais a + 6 = ■ J{ -^ et a» = ^

La durée d'une oscillation complète est donc

ft Sia = fr,onaalorsC = -^ — s et alors la durée

d'une oscillation devient

Remplaçons 6 par a dans Téquation (43) et elle défient

La courbe décrite est alors une circonférence.

En Tertu de Téquation rH^ = idt, on Toit que dans ce dernier cas d croit proportionnellement au temps, c'est-à-dire, que la circonférence est décrite d'un mouvement uniforme par le point matériel.

Pour terminer cette seconde partie il nous raste à foire voir qu'en supposant a suffisamment petit, nous avons le droit de dire que notre fbrmule nous conduit

aux mêmes conséquences que la formule newtonienne.

Reprenons pour cela la valeur de Tangle d'oscillation donné par la formule (44); si dans cette formule on suppose a = o, le résultai que Ton obtient est celui qui convient à la loi de la gravitation planétaire , on trouve alors que Tangle d^oscillalion est égal à 2"^.

Cherchons Texpression de la différence entre S^tt et Tangle d'oscillation dans le cas où a a une valeur très petite; représentons cette différence par S^Tf. t désignant une fraction très petite et nous aurons

d'où Ton dédutt

Comme • est une firaction très petite, nous pouvons poser avec une grande approximation :

Prenons parmi les phénomènes planétaires celui qui est le plus défavorable à notre hypothèse, c'est-àdire, celui dans lequel a doit avoir son influence maximum.

Supposons qu'il s'agisse du mouvement de la lune autour de la terre regardée comme un centre fixe d'action.

Prenons le mètre pour unité de longueur et la seconde pour unité de temps.

La formule (10) nous donne

dt

r est alors égal à 60 rayons terrestres, c'est-à-dire à

da La valeur moyenne de ^ est la valeur moyenne de

Tangle que décrit dans une seconde le rayon vecteur qui va de la terre à la lune ; cette valeur moyenne est donc

/ est Faction de la terre sur Tunité de masse de la lune à la distance 1.

Or, à une distance égale au rayon terrestre, Faction de la terre sur l*unité de masse est représentée par g = 9», 8; à une distance égale à 1, cette action sera donc

Remplaçons J? et f par leurs valeurs dans Tégalité (47) et nous aurons

ou et > 7 X 10»«

Si on suppose «=0*,1, alors • < ^ ^y

En attribuant à • la valeur , .^,

• Digiti2ed by VjOOQIC

OD trouve alors que si Ton conçoit deux lunes confondues ensemble à Vorigine mais indépendantes Tune de Fautre et soumises à Taction de la terre, Tune suivant la loi newtonienne , Vautre suivant notre formule, la distance angulaire des centres de ces deux lunes parties par hypothèse du même point avec la même vitesse initiale, est au bout d'un an inférieure à deux dix-millièmes de seconde ; nous déclarons donc que rintroduction de notre formule dans les calculs de la mécanique céleste ne vient en aucune façon modifier les conséquences de la gravitation planétaire suivant la raison inverse du carré de la distance* Après avoir levé cette difficulté, nous allons aborder avec confiance Tétude des actions mutuelles des molécules gazeuses.