RESUME

Cette notice renferme rapplication aux fonctions circulaires y=arc sinx et y=^arctgx des principes d'une géométrie nouvelle, que nous avons exposés dans un précédent mémoire. Ces deux, tableaux, joints au tableau logarithmique et collés avec lui sur on carton, renferment tout ce qui est nécessaire pour effectuer sans feuilleter tous les calculs logarithmiques et trigonométriques.

Après avoir indiqué la construction de ces deux tableaux, nous déterminons la valeur numérique de Tapproximation moyenne que chacun d*eux peut donner dans ses principales régions.

L'approximation moyenne du tableau des sinus est représentée par un nombre qui va constatnmeut en crois-* sant, quand on passe d'un rectangle dixième au suivant ; dans le tableau des tangentes, Tapproximation moyenne est sensiblement constante.

Nous indiquons ensuite la disposition qu'il convienvni. 10

tirait d^adopter pour la coDstruclion des tableaux donnant directement les logarithmes des lignes trigonoméiriques ; en conservant la division de la circonférence en 360«, on est obligé de modifier le canevas, ce qui nous semble un inconvénient ; au point de vue des usages de notre canevas il serait bien avantageux d'abandonner ce reste de notre ancien système de mesures pour adopter la division du cadran en parties de 100 en 100 fois plus petites. Nous indiquons, en terminant, comment nos tableaux donnent la moyen de résoudre les équations x==sina^ a = sinx, x = tga^ a — tgx, v = logsina, a = logsinx, X = logtga, a = logtgx.

A. Bouché.

Angers, i décembre 1859.

NOTIOB SUR UN IfOUTBlU ST8TÈHB DE TÂBMS TfilCkOHOMÉTRfQUBS.

1. En terminant notre notice sur un nouveau système de tables de logarithmes, nous avons annoncé que notre canevas était applicable à la représentation géométrique de toute fonction empirique ou mathématique d'une seule variable indépendante ; une géométrie nouvelle se présentait alors à notre esprit; pour avoir une idée plus nette et plus précise de ces principes nouveaux et de leurs conséquences, il était important, selon nous, d*aller du simple au composé et de commencer par la représentation géométrique d'un certain nombre de fonctions d'une

seule Tariable indépendante ; nous aTons choisi les deux fonctions

y = aresinx et y = arctgx

ou bien

X = siny et a; =r tgy

Elles nous ont donné deux tableaux qui joints à notre tableau logarithmique fortnent un système complet de tables logarithmiques et trigonométriques à cinq décimales; ces trois tableaux sont destinés à être collés sur un carton à trois faces dont les faces extrêmes, portant les deux tableaux trigonométriques, seraient susceptibles de se replier sur celles du milieu portant le tableau logarithmique ; un calculateur, ayant sous les yeux un carton de ce genre développé sur sa table de travail, pourra effectuer sans feuilleter tous les calculs logarithmiques et trigonométriques.

2. Nos deux tableaux trigonométriques donnent les longueurs des lignes trigonométriques et non pas leurs logarithmes; il en résulte de légères modiBcations dans les calculs, mais les formules trigonométriques n*éprouvent aucun changement.

3. L'habitude pratique donne en peu de temps le moyen de lire avec rapidité et précision les nombres de cinq chiffres représentés par chacun des points inscrits sur nos tableaux ; Toeil ne peut exiger qu'une chose, c'est que les points soient distincts, mais pourvu que cette condition soit remplie, il est clair que les déplacements des yeux seront d'autant plus rapides et par conséquent les calculs d'autant plus expéditifs que les points seront plus rapprochés.

4. Si l'on n'inscrit d'abord dans nos tableaux que les points correspondants aux nombres renfermés dans les tables ordinaires, il arrive qu'ils ne sont pas partout sufH-

samment écartés; si on inscrit ensuite un certain nombre de points entre ceux dont ia dislance dépasse une certaine limite, la règle des parties proportionnelles peut alors s'effectuer avec la plus grande facilité.

5. Après ces quelques remarques générales, occuponsnous de la construction de la table des sinus naturels de 0« à 90o.

Supposons que Ton ait un canevas tout à fait semblable à celui sur lequel on a marqué des points et des chiffres pour construire notre tableau logarithmique; concevons ensuite le rayon du cercle partagé en cent mille parties égales, et cherchons par le calcul le nombre de ces parties contenues dans chacun des sinus de tous les arcs de minute en minute depuis 0"* jusqu'à 90^.

Prenons un exemple.

On trouve par le calcul que, dans la circonférence dont le rayon est égal à Tunité,

Sin 39» 1? = 0,63316

à un cent millième près.

Marquons sur notre canevas un poirit dans la position qui indique que la distance du &1 mobile à Torigine est égale à 0,63316; au-dessus de ce point marquons sur la table tous les signes nécessaires pour indiquer Tare de 39* 17'; faisons de même pour les sinus de tous les arcs de minute en minute, et nous obtiendrons par ce moyen un tableau renfermant les noms des arcs de minute en minute et les valeurs à un cent millième près des sinus naturels de ces mêmes arcs. Lorsque les calculs sont faits à un demi cent millième près, les sinus peuvent être inscrits dans notre tableau avec ce degré d'approximation ; c'est ce que nous avons essayé de réaliser en le construisant.