Notre tableau ainsi constniit renferme

1* Tous les poiDls qui représentent les sinus des arcs de minute en minute depuis 0^ jusqu'à 84<> SO' ;

2» Tous Jes points qui représentent les sinus deâ arcs de cinq minutes en cinq minutes de 84<* 50' à 89*;

S*" Tous les points qui représentent les sinus de tous les arcs de 10' en lO' depuis 69^ jusqu'à 89» SO'.

Les sinus de tous les arcs depuis 89» 50' jusqu'à 90<> correspondent au même point.

9. Dans la construction du tableau des sinus naturels nous avoaa cherché à introduire tous les points et tous les chiffres utiles et à supprimer tous les autres; pour un tableau semblable mais dont les dimensions seraient plus grandes ou plus petites, il pourrait être contenable d'ajouter ou de supprimer certains chiffres et certains points. .

10. Le grand écartement qu'on peut observer dans une grande étendue de notre table de sinus prouve qu'on peut intercaler un très grand nombre de points entre ceux dont il vieat d'être question ; c'est ainsi que de 0» à SG^" 52' il serait très facile d'intercaler cinq points entre deux points coasécuUls et d'avoir dans cette région sans augmenter lesdimensionsdu tableau les sinus de tous les arcs de 10* en, 10""; on pourrait aussi intercaler saus difficulté un point fBntre ceux qui sont déjà marqués depuis 36<' 58' jusqu'à 64*" 10'; notre tableau renfermerait alors dan6 l'iotervalle précédent les sinus de tous les arcs de 30" en 30'; 18QP0 sinus naturels environ se trouveraient ainsi représentés à un demi cent millième près avec les arcs qui leur correspondent; les points intercalés doivent être plus petits que les autres, aBu que l'on puisse reconnaître sans peine les points relatifs aux nombres inscrits dans la table.

11. Notre tableau de sinus de 0* à 90» est iMJSSi une labié de cosinus depuis 90<> à 0»*

' Si la division centésimale du quart de la circonféreoce avait été adoptée, nous aurions été dispensé d'indiquer ia construction et les usages des deux petits tableaux que Ton peut voir à la partie supérieure de noire table de sintis ; nous appelons Tun de ces petits tabieaux les compléirienls degrés et Taulre les complérhents minutes et secondes ; il est inutile de donner ici leur desoriptio»; il suffit d*y jeter un coup d'œil pour en comprendre la construction.

12: Proposons-nous de trouver avec ces deux petits canevas le complément de Tangle de 37<> 41' 16^, 6; transporlons-nous d'abord au tableau des compléments degrés; nous y remarquerons la lettre A dans un des petits rectangles partiels qu'elle sert à désigner; elle est placée dans le petit rectangle commun aux deux colonnes verticale et horizontale qui ont ia première le chiffre 3 <le8 dizaines de degrés à sa partie supérieure et la seconde le chiffre 7 des unités de degrés à sa gauche ; d'après ce que nous avons dit au sujet des rectangles dans notre notice sur notre tableau logarithmique, ce petit rectangle peut s'appeler le rectangle 37 ; si on prend alors les deux cbiCfres 5 et 2 placés le premier au-dessous de la môme colonne verticale et le second à droite delà môme colonne horizontale, on obtient le nombre 52 qui, ajouté au nombre précédent 37, donne la somme 89.

Nous avons de même inscrit les lettres B et C dans deux petits rectangles du tableau complémenls-minutessecondes; la lettre B est daus le petit rectangle que d'après la môme règle on peut appeler le rectangle 42 et la lettre C est dans le rectangle 16. Par une lecture inverse, tout à fait semblable à celle qui vient de nous donner le nombre 52, la lettre B nous donne le nombre 17 et la

lettre C le nombre 43; ces deux nombres ajootés respec- Utement à 42 et à 16 forment la somme 59; Tunilé diminuée de 0,6<lonnant 0,4, on conclut de ces lectures sim* pies et expéditives que le complément de 37* 42' 16", 6 est de 52* 17' 43*, 4; si dans Tare donné il n'y a pas de dixièmes de secondes, on augmente d'une unité le nombre complémentaire relatif aux secondes; en suivant cette règle, on trouve que le complément de 37<> 42' 16' est égal à 52* 17' 44'.

Nous avons marqué des lettres A, B, G dans certains petits rectangles, afin de pouvoir les désigner ; mais il suflBt au calculateur de les reconnatlre avec les yeux.

13. Il est ane question très Importante et très délicate dans tous les genres de calcul, c'est celle de Tapproximalion; notre table étant une représentation graphique, la limite de l'approximation en une région donnée de la fable sera la limite où cette représentation cesse de parler aux yeux dans cette région.

Or notre tracé ne nous donne pas le moyen d'apprécier au-dessous d'un centième de diagonale, c'est-à-dire, d'un cent millième du rayon ; l'approximation en un point donné de notre table sera donc le nombre de secondes qui peuvent, s'il est permis de s'exprimer ainsi, être couvertes par un centième de diagonale.

Il suffit de jeter les yeux sur notre table de sinus pour reconnaître que les distances des points successifs vont tocgours en diminuant d'un rectangle dixième au sui- Taot ; mais dans chacun des neuf premiers rectangles dixièmes les points sont sensiblement équidisiants; il suflBt donc de chercher l'approximation moyenne que chacun d'eux peut donner, et cette approximation moyenne est celle que l'on peut obtenir dans chacun d'eux à la limite de s^aration des cinquième et sixième rectangles centièmes.

Si on se transporie vers le milieu du premier reel«n(|le dixième, on trouve que la difiërence entre sin 3^ 10' éL sin 2« 35' est égale à 0,01017; la différence entre ces ares étant de 35^ ou de 2100* il en résulte que dans celte région une augmentation d'un cent millième de diagonale correspond à une augmentation de Tare égale à ^1^ ou 2^,1 ; Tapproximation moyenne du preoûer rectangle dixième est donc égale à 2^,1.

On trouve de la même manière que les approximations moyennes des 2«, Z\ 4«, 5«, 6% 7«, »• et 9« rectangles centièmes sont respectivement 2»,1, 2*,2, 2',3, 2»,4, 2*.5, 2^8, 3',2. 4'.

Quant au dernier rectangle dixième, rapproximaliou moyenne y varie trop rapidement d'un de ses rectangles centièmes au suivant pour qu'on puisse lui appliquer la même r^le; il suflQt alors de Teslimar vers le noiliau de chacun d'eux ; après avoir fait usage du même genre de calcul, on trouve que les approximations mpyennes^des !«', 2% 3«, 4% 5% 6% 7% 8% &• et 10« rectangles centièmes du dernier rectangle dixième sont respectivement égales à 4',9, 5',2, 5'.5, 5^9, 6^4, 7\ 7',8, 9',3, ll',8 et 20',4.

Observons ici que, dans le dernier ceclangle centième du dernier rectangle dixième, Tapproximation nnoyenue varie très rapidement d'un rectangle millième au suivant; on pourrait faire pour ces différents rectangles millièmes une série de calculs analogues aux précédents; nous ne les effectuerons pas; nous remarquerons seulement qu'à la fin du dernier rectangle millième sin 89» 50' et sin 90» sont au même point, ce qui donne une approximation fl* nale de 10'.

Gomme les sinus que nous avons inscrits dans nos tables ont été calculés à un demi cent-millième près^ il en résulte que l'approximation moyenne pour chaque sinus représenté par un point dans notre tableau e$t la moitié

e celle que nous venons de loi assigner; mais pour les inos ooropris entre ceux qui sont représentés par points ur notre tableau, Tapproxiroation moyenne est bien gale à celle que nous venons d*assigner sur notre taleau à la région correspondante.

14. L*approiimatlon moyenne donnée par notre tableau st égale à celle qu'on obtient avec une table ordinaire e sinus naturels, mais notre tracé a le grand avantage e rendre la valeur de cette approximation sensitHe à la ue.

15. Sons le rapport de Tapproximation moyenne, les ibles de sinus naturels sont plus avantageuses que celles ui renferment les logarithmes-sinus.

16. Notre canevas est susceptible de recevoir une table e logaritbmes-sinus depuis 0« jusqu à W ; mais dans ette conslraction on rencontre une difficulté relative au bangeroent de valeur de la caractéristique ; c'est en cberhant à surmonter cet obstacle que nous sommes parve^ us à poser et à résoudre un problème que nous appelons ! problème de la superposition des tables, et dont nous DUS occuperons dans une autre notice.

17. La construction de la table des tangentes naturelles §t tout à fait semblable à celle des sinus; notre tableau enferme les valeurs de toutes les tangentes de minute a minute depuis 0^ jusqu'à 90«; cela suffit en vertu de I relation

^S^ = ïn^z=i)

18. Dans ce second tableau trigonométriqne les courbes )rmée8 par les nombres variant en progression arilbméique ou plutôt par leurs points correspondants ont leur onvexité tournée en sens inverse des courbes du tableau es sinus.