Remarquons en outre que dans la table des tan

génies récartement des points va toujours en augmentant depuis Torigine jusqu*à la fin, tandis qu'il va toujours en diminuant dans la table des sinus; c'est à cette dififérence dans la variation de Técartement des points qu'il faut attribuer le changement dans la direction de la convexité.

20. Il résulta de la variation de Técartement des points dans la table des tangentes que la valeur numérique de Fapproximation moyenne va en diminuant depuis Torigine jusqu'à la fin; dans le premier rectangle dixième elle est égale à 2',1 et dans le dernier rectangle dixième elle est égale à l'',! ; on peut alors dire que la valeur de l'approximation moyenne est sensiblement constante dans toute l'étendue de la table des tangentes.

21. Les points correspondants aux tangentes des arcs de minute en minute sont assez écartés pour qu'on puisse intercaler cinq points entre eux de manière à renfermer dans le même tableau les tangentes de tous les arcs de iO' en iO" depuis 0* jusqu'à 45*; notre tableau renfermerait alors les valeurs numériques de 16200 tangentes à un cent millième près.

22. Nos deux tableaux trigonométriques sont les représentations géométriques des deux tondions y = arcsinx et y =s arctgx, x désigne ici la variable indépendante dont les valeurs sont représentées par des points ; on perd ainsi un avantage que Ton rencontrerait en prenant l'arc pour variable indépendante ; mais selon nous il est très important au point de vue de la pratique du calcul de se servir toiyours du mêmen^anevas, afin que les lignes et les points aieni toiyours la même signification; en adoptant la division du cadran en 100 degrés et du degré en cent minutes, les inconvénients que nous venous d'annoncer ne se présenteraient pas; l'arc devrait alors être pris pour variable indépendante ; les distances d'un

point à Torigine et à la fin étant complémentaires, un nombre convenable marqué au-dessus d'un certain point représenterait dans la lable des sinus le sinus de la distance du point à Torigine et le cosinus de la distance du point à la fin et, dans la table des tangentes, la tangente de la distance du point à Torigine et la cotangente de la distance du point à ta fin ; notre table de logarithmes offlre le même avantage car chaque point y représente en môme temps le logarithme et le complément logarith* mique du' nombre correspondant indiqué au-dessus de lui.

23. Mais la division du cadran en 90* et du degré en 60" est la seule adoptée et, si on veut construire un tableau trigonométrique dans ce système en prenant Tare pour variable indépendante, il devient alors nécessaire de modifier le canevas; ainsi au lieu d'avoir dix rectangles appelés rectangles dixièmes, il n*y eo aurait plus que neuf qu on ne pourrait pas désigner par le môme nom ; chacun de ces neuf rectangles serait partagé en dix rec-* tangles égaux qu'on appellerait rectangles degrés; chaque rectangle degré serait ensuite partagé en six rectangles égaux par des droites parallèles à l'origine; chacun de ces sixièmes de rectangle degré serait traversé par une diagonale partagée en dix parties égales par neuf droites parallèles aux longs côtés des neul principaux rectangles; chaque dixième de diagonale correspondrait alors à un angle d'une minute. Si on conservait aux neuf posilions du point le sens que nous leur avons donné, on pourrait représenter dans notre tableau tous les arciB de 6' en 6' depuis O*" jusqu'à 90«; mais, si on voulait représenter tous les arcs de lO' en iO', il suffirait de distinguer six positions du point sur chaque dixième de diagonale ; au-dessus de chaque point on inscrirait la valeur du sinus ou de la tangente selon la table; on pourrait môme remplacer la

vdlem du sious ou de la tangente par le logarithme correspondant , on aurait ainsi en trois tableaux un système de tables logarithmiques et trigonométriques tout à fait semblable aux tables ordinaires à cinq décimales; mais il serait bien moins volumineux et pourrait être bien plus complet.

34. Après avoir parlé de la conslruction de nos tableaux trigonométriques, il nous reste à en indiquer les principaux usages.

Pour se servir des tables ordinaires il suflBt de savoir résoudre les deux questions suivantes :

1^ Un arc étant donné, trouver le logarithme d^une de ses lignes trigonométriques.

2^ Le logarithme d*une ligne trigonométrique étant donné, trouver Tare correspondant.

Lorsqu*on a nos trois tableaux sous les yeux, on peut résoudre par deux opérations de la plus grande simplicité les deux questions précédentes et à Taide d'une simple opérations les deux questions suivantes :

1* Un arc étant donnée trouver la longueur d*une de ses lignes trigonométriques.

2* Une ligne trigonométrique étant donnée^ trouver Tare correspondant.

Passons en revue ces différents problèmes.

35. Résolvons d*abord Téquation x — sina, a désignant un arc donné.

Supposons premièrement que Tare donné a soit dans la table et que Ton ait a » 87« 28'. .

On oommence par chercher 37* dans notre tableau des sinus; on le trouve dans le rectangle dixième qui a un 6 au-dessus de lui : ou descend dans ce rectangle à partir de 37* jusqu'à ce qu'on rencontre Sœ et, à pariir de ce dernier nombre, on se transporte au-dessous, jusqu'au cbiffire 8, au-dessous duquel se trouve le point qui par

sa position sur le oaûevas représente le sinus de SZ"" 28^ ; on trouve ainsi que sin 37^ W = 0,60830.

Secondement, supposons que Tare ne soit pas dans la table et qu*on ait à résoudre Téquation suivante x = sin 47® 52' 24*; cherchons comme précédemment sin 47» 52'; on trouve 0J^ih9; notre tableau nous apprend ensuite qu'il y a une différence de 18 unités décimales du cinquième ordre entre sin 47^ 52^ et sin 47"^ 53' ; en appliquant alors la règle des parties proportionnelles, on trouve qu'on doit cyoutcr 0,00007 au sinus précédemment calculé, ce qui donne

sin 47" 52' 24' = 0,74166.

26. Certaines régions du tableau des sinus donnent lieu à des remarques importantes au point de vuedeTapproximation, comme nous allons le faire voir sur deux exem-

Proposons-nous de résoudre l'équation suivante X = sin 88» 32' 43*.

On trouve dans le tableau que sin 88» 30' = 0,99966 et que stn 88* 35" ^ 0,99968; Tare augmentant de 5', le sinus augmente de 0,00003; pour une augmentation de 2' le sinus augmentera alors de f x 0,00003 = 0,00001 et pour une augmentation de 3' le sinus augmentera de l X 0,00003^0,00002; le sinus de 88» 32' 43'' étant compris entre sin 88* 32^ et sin 88* 33' il en résulte que sinus 88* 32' 43* sera compris entre 0,99967 et 0,99968; dans cette région de la table il est donc inutile de tenir compte du nombre des secondes d'un arc donné, puisque dans cet exemple les 43' n'ont pas d'influence sur la cinquième décimale.

Résolvons encore l'équation x == sin 3' 26"; on trouve dans le tableau que sin 3' = 0,00087 et que la différence

iin â' ^ $in 2f = 0,00029 ; pour 26' on aura doue une augmentation représentée par la fraction

== 0,0001 3 i par conséquent

sin 3' 26' = 0.00100.

Notre tableau donne alors dans cette région une erreur absolue de 0,00001 et une erreur relative égale à 0.01 ; notre tableau diffère sous ce rapport des tables de loga* rilbmes-sinus à 5 décimales, car ces dernières donnent une erreur relative constante et une erreur absolue variable; mais nous croyons qu'il est tout à fait illusoire dUnlroduire dans les calculs des chiffres tout à fait en dehors du dernier degré de précision que Ton peut atteindre par Peipérience et Tobservation,

27. Pour montrer avec précision noire pensée à ce sujet, prenons un exemple dans les tables ordinaires à cinq décimales; on y trouve log sin 2' = 4,76476 et si, on revient du logarithme au nombre avec toutes les décimales que le logarithme peut donner, on obtient

stn 2' = 0,00058179;

d*où je conclus que sin 2' = 0,00058 à un demi cent millième près; or à un demi cent millième d augmentation ou de diminution du sinus, correspond une augmentation ou une diminution d'une seconde pour Tare ou Tangle; mais si un arc est obtenu à une seconde près, ne faut-il pas déduire de ce qui précède que les trois chiffres venant après le chiffre des cent millièmes dans la valeur de sin "2' sont tout à fait illusoires? Pourvu qu'on ne produise pas une augmentation ou une diminution d'un demi cent millième pour le sinus, on peut les chaiiger cotiirrio 011 veut et on est certain de ne pcis modifier d'une seconde Tare correspondant ; si ces trois derniers chiffres de la valeur de sin 2' peuvent être ainsi modifiés, on est obli-*

gë d*en conclure que des modiQcatious correspondantes peuvent être introduites dans la partie décimale de log

28. Passons maintenant en revue les différents cas que peut présenter la résolution de Téquation x ^ tga, a dé* signant un arc donné.

Prenons d'abord x = ig 27<» 48' 19'; on trouve dans notre tableau des tangentes naturelles que

et que la différence entre tg 27» 49' et ig 27* 48' est égale

à 0,00037; alors à un accroissement de 19' pour Tare

correspond un accroissement de la tangente égal à

^'^^L^ '^ = 0.00012; par conséquent

tg 27» 48' 19' = 0.52736.

Prenons ensuite Téquation x = tg 67® 18' 24'.

Le complément de 67» 18' 24' est égal à 22» 41' 36'; par conséquent ig 67* 18' 24' = ^^^^,'^,,3^^ ; Tangle de 22'» 41' 36' étant inférieur à 45°, notre tableau des tangentes nous donne

/flf 22* 41' 36' =0,41817.

par conséquent

tg 67« 18' 24' = — {—

Résolvons encore Téquation x = tg 89^17' tg 890 17' = -JL-,

Notre tableau des tangentes nous donne tg 43' = 0,01251 pa"r conséquent tg 89* 17' = r-r^

0,01 îldl

Nous avons laissé ces deux dernières tangentes sous la forme de fractions; nous n'avons pas effectué les divivui. il

sions, parce que ces deux expressions peureut être introdiiiles sans diflBculté dans le calcul logarithmique.

29. Nous devons nous demander avec quelle apptoxi* mation nous avons obtenu les valeurs des tangentes dans ces deux derniers cas.

Or, on sait que dans toute division dans laquelle le dividende est exact ei le diviseur approché à une unité près, Terreur absolue du quotient est inférieure au que* tient lui-même divisé par le diviseur approché.

Dans le premier exemple nous avons obtenu la frac- ^^^^ 0 41817 ^ lï^ ^ '® quotient est inférieur à 3, par conséquent Terreur absolue du quotient est inférieure à r-ln c'est à dire à 0,0001.

Dans le second exemple nous avons obtenu la fraction 1 __ 100000 . jg quotient est inférieur à 80 ; par con-

0,01251 liai

séqucnt Terreur absolue du quotient est inférieure à ~ou à 0,08; nous concluons de ces deux exemples que la table des tangentes donne en général les résultais avec une approximation suflisanle.

30. Nous allons examiner à présent les questions inverses des précédentes.

Cherchons d'abord à résoudre Téquation sinx = a et prenons pour exemple

$inx = 0,43728 Le tableau des sinus montre d'abord que

0.43706 = sin 25<» 55' La dififérence entre sin 25^ 56' et sin 25« 55' qui se lit très aisément sur le tableau est égale à 0,00026; la différence entre 0,43728 et 0,43706 est égale à 0,00022; alors d'après la règle des parties proportionnelles, on trouve que le nombre de secondes que Ton doit cgouter à 25* 55' pour avoir a? est égal h — ^ *^ ou 51'

*Par conséquent a? » 25<* 55' 51'

31. Résolvons ensuite 1 équaiion iangx => a. Nous distinguerons deux cas, selon que la tangente est inférieure ou supérieure à l*unité.

Pour le premier cas prenons Texemple

tgx = 0,63784.

Je cherche le point de la table des tangentes qui approche le plus de représenter le nombre 0,63784 ; je trouve 0,63748 qui diffère du nombre précédent de 0,00036; ce dernier point correspond à un angle de SS"» 31'; sa distance au suivant qui représente la différence entre tg 32* 32' et tg 32« 31' est égale à 0,00041 ; ce dernier nombre se lit aisément, en complailt les dixièmes de diagonales qui se trouvent entre les deux points et ^'outant ensuite les parties de dixièmes indiquées par les mêmes points; ainsi dans cet exemple il y a entre les deux points trois dixièmes entiers de diagonale et deux firactions de dixième de diagonale, Tune égale à 0,2 de dixième et Taulre égale à 0,9 de dixième, ce qui fait bien un total de 0,00041 pour la distance des deux pointe; la règle des parties proportionnelles nous donne le moyen de trouver que Tare de ^2» 31' éprouve, lorsque la tangente croît de 0.00036, un accroissement égal à i^X5îî'' = 53*.

Par conséquent x = 32» 31' 53*.

Pour le second cas prenons pour exemple

tgx == 3,57834 On déduit de cette égalité

Je trouve à Taidè du tableau logarithmique

Ce complément logarithmique s'obtient sans soustrac-

Gc»gle

tlon avec notre tableau logarithmique, comme nous l'avons indiqué dans la notice correspondante.

Si à laide du même tableau on revient du logarithme au nombre, on obtient

5^55^.=. 0,27946 = rff(90*-a?)

La question est ramenée au cas précédent. Le tableau des tangentes donne alors

900 — a? = i5o 36' 48* d'où je déduis x = 74* 23' 12'

Avec les tables de Callet on trouve 74» 23' 11",!

Ceux qui comme nous efifectueront les calculs précédents reconnaîtront que Tintercalation de points dans les régions de nos tableaux, où ils sont trop écartés, rend bien plus expéditifs les calculs précédents qui cependant sont déjà très rapides.

32. 11 nous reste à passer en revue une série de questions analogues aux précédentes; dans ces questions les lignes trigonométriques seront toujours représentées par leurs logarithmes.

Prenons d*abord Téquation x==log sin a.

Supposons a = 72» 24' i?"

Dans le tableau des sinus je trouve

sm 72* 24' = 0,95319

La distance du point au suivant est égale à 0,00009; pour 17* j'ai donc un accroissement de 0,00009 x |j; mais le rectangle centième où je me trouve donne un arc avec une approximation moyenne de 7"; je puis donc ici simplifier le calcul en prenant 20* au lieu de 16', ce qui donne immédiatement 0,00009 x H = 0,00003.

Alors sin 72* 24' 17' =^ 0,95822.

Je cherche dans le tableau logarithmique le logarithme de 0,95322 et je trouve enQn

log sin 72» 24' iT" =T,979i9.

33. Passons à Téquation a =- log sin x et prenons pour exemple a =T,72839.

Je cherche dans le tableau logarithmique le nombre qui a pour logarithme T72839 et je trouve 0,53505 ; je ine transporte alors à la table des sinus et je cherche d*après la règle déjà indiquée Tare correspondant au nombre précédent ; je trouve ainsi x = 32* 20' 50*.