I. — La loi de la gravitation

A. Nous avons vu qu'Einstein arrive à une loi générale intrinsèque qui s'exprime en langage absolu par le symbole

symbole qui équivaut à dix équations différentielles entre les /y. C'est de ces équations générales de la gravitation que nous tirerons la loi particulière du champ de gravitation d'une particule. C'est également à l'aide de ces relations qu'Einstein arrive à écrire sous forme ténsorielle les lois de l'électromagnétisme, de l'hydraulique, de la thermodynamique, etc. Nous ne le suivrons pas dans ses calculs qui sont très longs, très compliqués et accessibles seulement aux mathématiciens rompus au calcul différentiel absolu. Je me bornerai à indiquer comment Einstein passe des relations

purement formelles, abstraites et en quelque sorte exclusivement logistiques auxquelles il parvient, à l'équation de la loi concrète.

Le lecteur me permettra toutefois d'appeler d'abord son attention sur un fait dont j'aurai à me servir par la suite.

Ce fait est l'utilisation par Einstein de la traduction riemannienne de la relativité géométrique que nous avons donnée au chapitre troisième.

Dire avec Riemann que les lignes possèdent une longueur indépendante de leur situation

c'est écrire Çds= constante ou d(fds\ = o.

Pour qui analyse cette expression mathématique, elle apparaît comme signifiant qu'entre deux points infiniment rapprochés l'élément de ligne défini est le plus court possible ; et par suite le mouvement le plus simple qu'impliquera la mécanique qui acceptera ce principe de relativité géométrique; celui-ci admettra donc, qu'en dehors de toute influence, le mouvement d'un point s'effectuera suivant la ligne la plus courte. Ainsi dans la mécanique newtonienne tout point matériel en mouvement non soumis à des influences perturbatrices dénommées forces, suit une ligne droite ; s'il est assujetti à rester sur une surface on le considère comme soumis à des forces fictives et il décrit, si on n'adjoint point à ces forces fictives des forces réelles, les géodésiques, c'est-à-dire les Lttcien Fabre. t3

courbes de moindre longueur de cette surface.

Admettre le principe de l'équivalence, c'està-dire l'assimilation de la force de gravitation -à la force centrifuge revient à considérer cette force de gravitation comme une force fictive, assujettissant le point matériel qui lui est soumis à décrire sa ligne sur une certaine surface fictive dont cette ligne sera la géodésique. Dans les systèmes à quatre axes dont le groupe de Lorentz est l'invariant, cette géodésique apparaîtra la ligne la plus simple comme la droite dans notre système habituel. Par l'intervention des caractéristiques mathématiques de la gravité, nous pourrons exprimer toutes les lois de la façon la plus générale possible dans ces systèmes de coordonnées spéciales et commodes que, pour conserver une habitude (regrettable à cause des images et des difficultés qu'elle suscite), nous continuerons à appeler un espace à quatre dimensions.

A mesure que le point matériel s'éloigne des masses gravitantes et que sa masse elle-même s'évanouit, les caractéristiques de la gravitation disparaissent des équations et l'espace que supposent celles-ci redevient sensiblement euclidien.

On peut ici saisir parfaitement le mécanisme d'application du principe de relativité. Si un point matériel se déplace depuis le voisinage des masses jusqu'en un lieu non soumis à la

LE PRINCIPE DE LA RELATIVITÉ UNIVERSELLE Iq5

gravitation, pour que l'expression mathématique de son mouvement demeure le plus simple, il faut et il suffit que le système auquel on le rapporte, Y « espace », soit tel qu'il admette à chaque instant sa trajectoire instantanée comme géodésique. Cet « espace » sera donc essentiellement variable ; il y aura une infinité d' « espaces ». En dernier lieu, le point matériel étant en dehors de tout champ de gravitation décrira une ligne droite, c'est-à-dire la géodésique, la ligne la plus simple d'un espace qui n'est autre que l'espace euclidien.

Au lieu de considérer les « espaces » comme se modifiant de manière à représenter le mouvement du point avec le maximum de commodité, on peut (c'est ce qu'on a fait jusqu'à Einstein) référer ses trajectoires à un « espace » unique, euclidien par exemple ; au lieu d'avoir à écrire dans une infinité d'espaces l'équation la plus simple, on aura à écrire dans un seul espace une infinité d'équations de la plus simple à la plus compliquée.

On le voit, la seconde méthode est moins générale et moins commode que la première à condition d'avoir trouvé pour celle-ci les équations intrinsèques, les expressions dont une modification pour ainsi dire automatique permît de passer d'une région où s'exercent des champs quelconques à une autre dénuée de toutes forces. Ce passage se fait par l'intervention plus

196 les théories d'einstein

ou moins importante des coefficients différentiels de divers ordres des g.

B. Voyons maintenant sommairement comment s'obtient la loi relative au champ d'une particule.

De l'équation S / ds = o,

où ds = ^g^dx,jlxv,

on tire par développement les quatre fonctions différentielles :

avec ri, = - i WSfe + $&=-&= 2 \&ev 3a?;jl 5a?a

Ce sont là les équations du mouvement d'une particule matérielle dans le champ de gravitation des^v.

(Noter que dans la symbolique employée par Einstein t?™ est le déterminant mineur de ga*.)

Le potentiel de gravitation comprend alors dix équations différentielles définies par :

x£+s-w'=KT!"-t^t)*

T,»v et T étant des expressions liées aux composantes d'un certain tenseur énergie qui a, dans la détermination du champ, la valeur de la densité de masse dans les équations newtoniennes ; k étant la constante de gravitation.

Nous pouvons également donner la loi simple ingénieusement déduite des travaux d'Einstein parSchwarzschild, dans un cas particulièrement simple.

'Ce savant cherche la solution des équations G.*., — o pour le champ dune particule au repos à l'origine des coordonnées d'espace. Il choisit des coordonnées polaires r, 0, 9, t, et écrit l'expression qui nous est maintenant bien connue

ds2 = — dx2 — dy2 — dz2 + dt\

Il arrive ainsi à

ds2 = — &dr2 — <?'(> W -+- r2 sin2 G*/*2) + e dt\

et, par un changement de variables,

ds2 = — e^dr2 — rW — r2 sin2 Go^2 -f- e dl2.

Ce qui donne en identifiant aux coefficients correspondants de Riemann 9n = — ex, g22=—r2, g,,z= — r2sin2G, 0U = *> d'où le déterminant

g = — ex+vr;sin20.

Les G^ — o sont dix équations entre les g, dont quatre relations identiques, ce qui réduit à six le nombre des équations indépendantes. En remplaçant dans ces équations les^ par les valeurs que nous venons de trouver, nous obtiendrons pour ds2 une relation indépendante de X, ;;., v et qui sera la loi cherchée.

I98 LES THÉORIES d'eINSTEÎN

Si on pose e* =r y on obtient ainsi successivement et par des calculs extrêmement laborieux

où im est une constante d'intégration ; m sera plus tard identifiée à la masse de la particule dans les unités de gravitation.

Nous pouvons maintenant écrire la loi sous une forme remarquablement simple

ds* = — v- ldr> — rW — r2 sin2 0</92 -h yeft8.

On remarquera que le coefficient de dr" est ce facteur qui avait frappé Einstein dont l'intuition se trouve ainsi confirmée.

On voit d'ailleurs que le premier terme peut

s'écrire

dr^

im

donc, quand r diminue par exemple, le dénominateur diminue suivant une certaine loi (différente de celle du numérateur) autrement dit l'instrument de mesure se raccourcit. Ce raccourcissement, de maxima dans la direction radiale, devient nul dans la direction transversale. Si nous voulons, au lieu de 1' « espace » qui nous permet de nous exprimer si commodément, nous référer à 1' « espace » euclidien

habituel, il faudra ajouter à notre équation la condition expresse que la longueur d'un même vecteur matériel varie d'une façon continue quand ce vecteur effectue un quart de tour. Mais dans 1' «espace» einsteinien il n'y a pas à faire de remarques de ce genre; nous nous sommes déjà expliqués à ce sujet dans le chapitre précédent.

Quant à la différence entre la loi que nous venons de trouver et celle de Newton qu'elle remplace, il est facile de la mettre en évidence en écrivant, de cette dernière, l'expression correspondante, soit

ds* = — dr2 — r*d# — r2 sin2 6</?8 -h ydt*.

Elle porte uniquement sur le coefficient du rayon vectoriel.

La simplicité du résultat auquel est arrivé Schwarzschild fait espérer qu'on pourra parvenir quelque jour à ce résultat par des moyens plus simples que ceux qu'il a dû employer.