MM
34 SrSTÈME ÉLECTROSTATIQUE
en transportant cette valeur de M' dans les deux valeurs de Vi et V„
on a :
remplaçant dans (Vi) <b par sa valeur V,, nous avons :
et la valeur de la capacité C sera :
nous sommes donc maîtres de fiiire varier la capacité comme nous le voudrons ; il suffit pour cela d'augmenter les rayons et de diminuer R, — R], c'est-à-dire l'épaisseur de la couche d'air qui sépare les deux armatures. De plus, l'influence des corps extérieurs est éliminée.
19. Condensateur formé de deux plans parallèles [fig. 8). — Je suppose ces deux plans indéflnis ; désignons par ^ la charge par unité de surface. Cherchons la force exercée par le système
APPUCATtONS. CAPACITÉS. CONDENSATEURS a".
des deux plans sur un point P, où est située l'unité d'électricité ; ce point P se trouve entre les deux plans.
Pour cela, nous allons chercher l'action exercée sur un point P, contenant une charge égale à l'unité, par une couche électrique homogène répandue sur un plan ; elle est normale au plan par raison de symétrie. Si nous considérons un élément de surface ds, l'action de cet élément sur le point P est une force P^; cherchons la projection de P/" sur la normale PM ; la force Vf n pour valeur :
iy=-
donc :
et la valeur de la résultante sera :
décrivons du point P comme centre {fig. 0) une sphère de rayon
égal il l'unité, construisons le cône ayant pour sommet le point P et pour base d». Ce cane intercepte sur la sphère un élément de
SrSTEME ELECTROSTATIQUE
surface f^bxjui est appelé, par définition, Vangle solide sous lequel l'élément da est vu tles points P. Or on a :
on aura donc, pour expression de la résultnnte :
F = Jfjirfw
et comme [x est constant, pur hypothèse, nous le ferons sortir du signe I ; alors :
ditt étant l'angle solide sous lequel, du point P, on voit la surface plane, si elle est indéfinie, le cône se réduit k un plan, et \dt» = 2Tt, donc l'intégrale devient :
F = 2 Tt;j..
si au Heu d'une portion indéfinie du plan, on considère une portion finie, mais si le point P est en même temps infiniment rap-
Kig. ,o.
proche du plan, l'intégrale se réduit encore à 2t., et la force » toujours pour valeur 2 t;;!, quelle que soit la dimension de la portion de surface considérée, à condition que la dislance du point P au plan soit infiniment petite par rapport aux dimensions de la surface considérée.
Ceci étant établi, revenons au cas de deux plans ctd'unpointP situé entre eux et contenant une charge électrique égale à l'unité
APPLtCATIOSS. CAPACITÉS. COSDEySATEVRS a;
{/Sg-. 10) ; l'action du plan (1) sur P est 2t~^ ; l'action du plan (2) sur P est — 2ic^; mais elle est dirigée en sens inverse; donc elle est -j- 2 t.<x, et In somme des deux actions, c'est-à-dire l'action résultante, est :
Calculons maintenant le potentiel au point P ; ce potentiel est une fonction dont la dérivée est égale en valeur absolue à la force, donc :
mais F est constante et indépendant de la distance de P au plan, donc :
Pour déterminer la constante C, faisons .r = o; onaalors V = Vi et il vient :
la capaeité par unité de surface sera donc :
Remarque. — Nous avons trouve pour lu force F u
l8 srSTÈXE ÉLECTSOSTAT/QUÉ
indépendante de la distance. Ce résultat n'a rîen qui doive nous surprendre ; car, doublons la distance PS en reculant le plan H en H' (fiff- il) ; la force agît en raison inverse du carré de la distance ; donc elle devient quatre fois plus petite ; mais ta distance ayant doublé, la surface S' est quatre fois plus grande que S, il y a
donc compensation, le facteur 4 entrant au numérateur et au dénominateur dans la nouvelle expression de la force.
Corollaire. — Clicrchons maintenant l'attraction avec laquelle les deux plans s'attirent l'un l'autre : considérons l'uuité de surface au plan (2) et cherchons la furce avec laquelle elle est attirée par le plan (1) ; l'action de (1) sur un point contenant une charge égale à l'unité est 2 ■K^^^. ; si la charge du point est ^, la force sera 2itjjiX IX ou 2ti:[*, ; et si nous considérons une surface S cette force aura pour valeur :
f^ 2 Tî,a' S
toutes les forces analogues sont parallcles entre elles ; remplaçons maintenant u par sa valeur il vient :
APPLICATIONS. CAPACITÉS. COKDENSATEVRS ig
20. V&rialion du potentiel entre les armatures d'un condenaateur. — Examinons d'abord le cas du condensateur sphérîciue fil'. 12). Prenons pour axe des j- et des y deux droites rectangulaires passant par le centre commun des deux couches sphériques :
l'expression générale de la force en un point est- — —, mais c'est aussi l'expression de la dérivée du potentiel changée de signe, donc :
et, eu effectuant l'intégration :
donc si nous prenons deux axes de coordonnées convenablement choisis, cette é(]untion représente une hyperbole équilatére rapportée a ses asymptotes; dans l'intérieur de (1) le potentiel est constant :
cette équation représente une droite AB parallèle ii Oj^' ; de même dans l'intérieur de (2) on a :
3o SYSTÈME ÉLECTROSTATIQUE
c'est une droite CD également parallèle à Oj: ; quant u l'équation (1) elle représente l'hyperbole MNCP, dont la portion BC, qui raccorde les points B et C, exprime la variation du potentiel dans l'intervalle qui sépare les deux armatures.
Dans le cas du condensateur plan, la courbe de raccord est une droite.
21. Mesure du potentiel en un point de l'espace. — On peut se proposer de mesurer le potentiel V en un point P de l'espace : ce problème se présente notamment dans l'étude de l'électricité atmosphérique. Amenons au point P le centre d'une sphère métallique isolée de rayon R ; mettons un moment la sphère en communicalion avec le sol par l'intermédiaire d'un fil métallique fin. La sphère acquiert par influence la charge M, et par contact le potentiel V„ de la terre. Le potentiel V,, qui b lieu au point P est la somme du potentiel V qui est dû aux charges extérieures, et du potentiel dû à M. On a donc
En admettant que le potentiel de la lerre est nul, on a simplement V^ p-. Il suffit donc <le mesurer le rayon de la
sphère et sa charge pour connaître le potentiel V.
22. Èlectromètrea abaolus. — On appelle électromètre un insti'ument qui mesure les différences de potentiel. L'électroniètre est dit absolu lorsqu'il mesure les dill'érences de potentiel en unités absolues. L'unité absolue de potentiel est le potentiel dA à l'unité de masse agissant ii l'unité de distance.
Soient deu.v corps, aux potentiels V, et V, ; nous savons que l'attraction qu'ils exercent l'un sur l'autre est une fonction de la différence de potentiel Vi — V, ; chaque fois que nous saurons calculer cette fonction et mesurer en nn^me temps l'attraction d'une manière précise, nous réaliserons un électromètre absolu.
APPLICATIONS. CAPACITÉS. COUDEySATEVRS 3l
Théoriquement, ily a donc une infinité d'clcctromctres absolus ; mais, pratiquement, peu de cas sont réiilisables ; l'un des plus simples est celui qu'a utilisé sir W. Thomson.
23. Èlectromètra absolu de Lord Kelvin (sir W. Tbomsoa). — L'électromètre de sir W. Thomson se compose essentielle-
ment de deux plateaux parallèles A et B (Jtg. 13) portés respectivement aux potentiels V| et V, ; nous mesurerons directement la force d'attraction qui s'exerce entre ces deux plateaux, et nous aurons Vi — V, en fonction de la force.
Nous avons calculé précédemment l'attraction mutuelle de deux plans, et nous avons trouvé, pour expression de la force ; .v, V Y
(4 Kif
d'où nous tirons :
Si nous nous plaçons dans le système C. G. S, nous i rons/'en dynes; ainsi conçue, la théorie de l'instrument ne serait pas réalisable dans la pratique; car la formule suppose les plans indéfinis.
Pour se rapprocher des conditions exprimées par la formule,
îï SrSTÈME ÉLECTROSTATIQUE
Lord Kelvin prend deux grands plateaux, l'un fixe, l'autre mobile ; ce dernier, d'un rayon plus petit que le plateau fixe, est entouré d'une partie annulaire dont l'elTet est de répartir uniformément la charge sur le disque mobile. Cette partie mobile se nomme anneau de garde.
Dans les premiers appareils qu'avait construits Lord Kelvin, le disque mobile était situé à l'une des extrémités d'un fléau de balance, et on l'équilibrait par des poids placés » l'autre extrémité. Ce dispositif a été abandonné et remplacé par une suspension à ressorts. Le plateau mobile est rattaché ii un plateau fixe CD, isolant, au moyen de trois ressorts, r, r'; ces ressorts en acier ont il peu près la forme de ressorts de voiture. On constitue ainsi un dynamomètre : cette disposition rend l'instrument plus maniable et évite le ballottement latéral inévitable dans le cas où le disque mobile HK serait suspendu îi des fils; le support commun des trois ressorts, CD, est commiindé pur une vis micrométrique V.
Méthode idiostatique. — Supposons qu'il un certain moment les ressorts soient tendus ; alors, aoua l'action des forces électriques et de la teiiaion des ressorts, le disque est en équilibre. Pour connaître quelle était la force, on supprime l'action électrique et on la remplace par des poids dont on charge le disque jusqu'il ce que les ressorts aient acquis la même tension {on ramène toujours le disque dans le plan de l'anneau de garde).
Pour s'assurer que le disque est dans le plan de l'anneau de garde, on l'a muni d'une fourchette F, dans laquelle est un réticule a^, que, au moyen d'une loupe, l, on doit voir au milieu de deux repères m, n.
Pour éviter d'avoir a charger le disque avec des poids, on fait varier, non plus la tension des ressorts, maïs la distance a qui sépare les deux plateaux : ti cet effet, on rend le plateau inférieur B mobile, au moyen d'une autre vis micromêtrique V-
Maintenantque nous connaissons les parties essentielles del'instrument, voyons comment nous pourrons nous en servir et s'il sera nécessaire d'en ajouter d'autres :
Application : Mesure de la force électromotrice aux deax pôles d'un élément Daniell. — Mettons les deux pôles de la pile en communication avec les deux plateaux de l 'électromètre.
APPLICATIONS. CAPACjr/is. COyttK.VSATEl'ItS H
ai nous employons un seul daiiiell à celte opcrotiun, nous n'observerons aucune attraction sensible : pour avoir une action un peu considérable, il faut employer 5UU ou tOOO éléments.
Voici (juelques résultats numéritpies :
Bn employant 1000 daniells, s! a = i)"»,i, l» force est de 57 milligrammes par centimètre carré (en poids:. On en déduit la valeur de la force en dynes; on trouve ainsi :
Telle étant In force clcclromiitriee f)OMr 1 OUO Daniells, on il. pour un seul élément :
V, — V, = 0.iHi;t7'i
(Ou se rappellera facilement ce nombre en remarquant qu'il est sensiblement le mi^nie que celui ([ui ex|>rîme le coelTicient de dilatation des gt)>!-'
Ces résultats peuvent nous .servir aussi ii résoudre le problème inverse; nous pouvons, par exemple, calculer l'attraction (|ui s'exercera entre les deux balles de sureau de la balance de (Coulomb, mises chacune en conimunîcalion avec l'un des pôles d'un danîcll : soient n les rayons de ces Bj>hères: soleitl V, et — V, leurs potentiels rcspeetils ; leurs ehur^es seront \ ,«, et — V,rt ; l'attraction sera :
si /( = I , ;■ := 10, on trouve ainsi :
Si l'on veut se procurer une quantité duiini'n d'électricité, on prendra un condensateur, sp hérique par exemple : R, et R, étant le rayon des deux sphères, la capacité sera :
3i srSTÈME ÉLECTROSTATIQUE
C est connu, et V est déterminé si l'pn charge par un nombre déterminé d'éléments Daniell.
24. Force électromotrice correspondant à une longueur donnée d'étincelle. — Pour mesurer la différence de potentiel qui produit une étincelle de longueur donnée, Lord Kelvin a fait éclater l'étincelle entre les boules d'un micromètre ii étincelle et mesuré en même temps lu difTcrence de potentiel au moyen de l'électromètre ; il trouve ainsi pour l'air :
