STE
la fonction de [P(z)—J;] admet une racine d’ordre q, au point
3 — ji, par conséquent autour du point Ji, un groupe local de rotations; et un domaine D j;, d’uniformité du groupe. Mais il est manifeste que si [P(3)—J;] admet un groupe, P(3) admettra le même groupe et dans les mêmes conditions, c’est-à-dire avec le même domaine d’uniformité.
Ce groupe, dont l’existence est ainsi indirectement démontrée, peut être retrouvé directement. En effet, les branches de V — V;, qui passent par le point ;, divisent le domaine autour de 7;, en 2q angles curvilignes. deux à deux adjacents, ayant en 7; leur sommet commun, et ayant leurs côtés suivant les branches de V =- V;, énTre
Un quelconque de ces 24 angles curvilignes, par renversements successifs autour des branches de V — V; en 7; et dans le voisinage de ji, reproduit tous les autres angles. Deux renversements consécutifs donnant une transformation conforme, on reconnaît de ce fait, autour de 7; l'existence d'un groupe de rotations d’ordre q. Ce groupe est uniforme seulement dans le domaine D; dont la frontière est une branche de R=R,, 7x étant le premier point de [P(z)— j;], que les branches fermées de R autour de j; rencontrent, quand on fait croître R pour [P(3)—J;] à partir
dé R—0
Dans le domaine ainsi délimité, P(z) admet un groupe de rotation autour de j; et conservant j;; et ce groupe est d'ordre q. St O(0(z) est la fonction qui jointe à ses (q — 1) itérées successives forme le groupe, le prolongement analytique de 6 (3) et de ses (q —1) itérées ne donnera plus en général des fonctions uniformes.
Étude du groupe local à l'infini. — Considérons la famille R, autour du point à l'infini de R = +00, jusqu’à R — ECJE Ji etai le point 7; ou un des points 7; rencontrés à partir desquels les courbes R forment une famille de courbes à une seule branche tendant vers le point à l'infini comme point limite.
Appelons D, le domaine compris entre Pinfini et R7;,. Les n cellules descendantes partant de l’infimi, divisent le domaine D, en n domaines D,,, D,,, ..., D,,, qui tournent autour du point
à l'infini dans le sens négatif.
ro Appelons 011}(2) la transformation qui amène D,,, sur D,,. La même transformation 6!1)(z) amène D,, sur D,,, D,, sur D,., ..., D,. sur D... La transformation 8()(23) —@Ui[8t4ti(3)] amenerdD sur D, -.D;-suDe;00)(z) 0 0P2r02)] smencra/DE sunD,5, emD=1sur D, Enfin
bin—1)( 3) = OÙ) Lu [FSU Cz)] |]
améènera D. sur D,., et D... sur D,.; 6(21(z) conservera D...
D.., ..., D. : 9m(2z)— 3, c’est la transformalion identique.
Dans le domaine D, il existe donc un groupe local de rotations conservant le point à l’infint, et effectuant la rotation des domaines D,., D... ..., D, dans le sens négatif autour de
l'énfinc.
Tableau d'action des opérations du groupe.
DÉMO De ND 1e D pt) D NI Nr LD eee D ND pt?) Dee Des ul, DE D,
f (3) DASMDE SR Die D. Dee OMSUMD SD EE Dr De. Dr.
ft) DRD es Dn 2 Dir-1)> D,
9. Étude des hypergroupes locaux. — //ypergroupe local à l’éënfini. — Appelons CG, C:, ..., C, les n cellules descendantes partant de l'infini, et cherchons à définir une opération donnant un résultat bien déterminé sur chacune des cellules descendantes et se réduisant à 4!1), 9{2), ..., 80), si on l’utilise sur les morceaux de ces cellules comprises dans D...
On vérifie immédiatement le lemme suivant :
Leuue Il. — L'ensemble des points que tous les prolongements analytiques de 9(z) font correspondre à une cellule CG; est une somme de cellules C;.
En effer, 41)(3) étant une automorphie, ses prolongements transforment toute courbe en une courbe homologue, tout arc de courbe V en un arc de courbe V.
Tee
Supposons que la cellule C4 soit partiellement couverte par les images des points de G;, la courbe frontière entre la partie couverte et la partie non couverte sera l’image d’une portion de la frontière de C;, donc un arc de courbe V.
Cet arc V n'est pas V — 0; car il serait frontière de C4. Il est par conséquent l’image d’un arc de courbe V ; de la frontière de C;. Cet arc est borné supérieurement dans le sens des R croissant, sur C;; son image dans Cx aura son extrémité supérieure à distance finie. Cette ligne ne constitue pas une transversale de Cx. Il y a donc contradiction, et le lemme est démontré.
Remarquons que ce lemme est encore vrai pour les cellules montantes.
Lemme II. — Srtous les prolongements analytiques de 01) (2) font correspondre à une cellule C; donnée à cellules CG, toutes les autres cellules C; donneront ausst « cellules.
Cela tient à la constance du nombre de déterminations d’une fonction algébrique.
Formons alors un tableau d’actions, en prenant pour première opération, celle qui, à partir de C;, donne non seulement C,, mais Pa Gr Cr» Par exemple.
Cette même opération appliquée à C» donnera C3, C1 Cgxr: CrracCitdonnérte, CCE Ge ret ain mienne jusqu’à ce que l’on soit retourné en C;.
Soit C; la première cellule non obtenue en faisant sur C, la première opération. La seconde opération donne C; à partir de C;, et d’autres cellules C,,, G,,, C,,, GC, Nous poursuivons de même cette seconde opération sur C+, C3, ..…., Ch, jusqu’au retour à C..
Si ces deux premières opérations ne permettent pas d’obtenir toutes les cellules GC», ..., C», à partir de C;, nous définirons une troisième opération; et ainsi jusqu'à ce que l’on puisse passer de C; à une quelconque des (n — 1) cellules C2, C3, ..., On.
Appelons H,, H,, ..., H, les opérations ainsi obtenues.
L'opération H, comprend @(1)(23), @(P,-1(z), 6(4,-n(z), 8W-1(z); l’opération H; comprend 00)(2), 8,—1(3), 8(9,—1 (2), QU 1(z), 0#-1N(z). Et l’on trouverait de même les 0(z) représentés par les opérations H;,, ..., H,.
Les opérations H,, H,, ..., H, sont en nombre au plus égal à
encore C
= pe
(na —1) [n degré du polynome P(z2)], et le tableau de ces opérations permet de constater que leurs combinaisons donnent naissance à un hypergroupe.
TaBLEAU. — Î est l'opération identique.
I C Cs (Ps ee, Cr u Ca Gps Css Gp,4a Ci, Crise 1 & a à \ Cas Cr, Gr, Cr, 1 Cut, Cr,+e (ss Cp, (Dire Cp,+1 GC, Cp ….. ete Hs À Cys Cr Coitto Crort Carr Ori “à | A] Gs, Con Css El LISE RE Mt A PE 4 RER
De ce tableau, on déduit les combinaisons des opérations H,, H, ..., H,, c’est-à-dire l’hypergroupe local à l'infini.
Tuéorème XI. — L’'hypergroupe local à l'infini se confond avec l’hypergroupe global (hypergroupe d’automorphie de M Marty).
Il suffit, pour le voir, de remarquer que toute fonction d’automorphie de l’hypergroupe global transforme le point à l'infini en lui-même, seul pôle du polynome, et est aussi, par conséquent, une fonction de l’hypergroupe local.
Donc à l'infini, tout polynome P(z) admet un hypergroupe local qui permute entre elles autour de l’infint les cellules descendantes Ci, C2, ..., Cn partant de l’infini, conserve le point à l’én fini et coïncide avec l’hypergroupe global de P(2).
Hypergroupe local en un point a;, racine multiple d'ordre q de P(3). — Considérons les g cellules montantes antour de a;, et appelons les Cia, Goai, Gsai, ..., Cçai. Définissons une opération Ha;,,, ayant une action bien déterminée, sur C4 ai, appliquée à Ci ai, elle donne par exemple C,a;. En général elle donnera à part Ci, d’autres cellules montantes, qui peuvent prendre nais-
sance soit en &;, soit en d’autres racines ax de P(z). Et cherchons
Fi du même coup lPaction de H,a; sur toutes les cellules montantes de P(z).
Si Hai,;, à partir de C;a;, ne donne pas toutes les cellules autour de a;, nous définirons de la même manière que H,a;, H, ai, ..., H, «; donnent, à partir de C,a;, toutes les cellules montantes autour de &;.
Les opérations Hi, &;, ..., H,, a;, jointes à l’opération 1dentique 1, engendrent par leurs combinaisons un hypergroupe, que l’on peut déduire complètement du tableau d’actions des opérations H,,a;, ...., H,,a;, 1, en nombre (r +1), où r est au plus égal à (q — 1).
Nous obtenons de cette façon un schéma de l’hypergroupe local en d;; mais comme, dans le schéma, nous ne ferons pas en général entrer en jeu toutes les cellules montantes, c’est-à-dire que l’on ne pourra pas passer de C;a; à une cellule montante quelconque, l'hypergroupe local en a; ne coïncidera pas avec l’hypergroupe global, il sera un sous-hypergroupe de l’hypergroupe global.
[y pergroupe local en un point ji. — Posons :
PACE EAN
P,(:) admet en j; une racine d’ordre gq.
Le point 7 est pour P,(2), l’origine de q cellules montantes. Il existe donc en 7;, un hypergroupe local, sous-hypergroupe de l’hypergroupe global de P,(3z).
Mais P(z:) admet toutes les automorphies de P,(z). En j;, P(z) admettra donc lui aussi un hypergroupe local, soushypergroupe de l’hypergroupe global de P(2).
