EXTENSIONS AUX FONCTIONS ENTIÈRES
10. Réseau fondamental. — Courbes R : Structure locale. — \u voisinage d’une racine simple ou multiple à distance finie etau voisinage d’un point.j; d'ordre (g—1) à distance finie, la structure locale est la même que pour les polynomes.
29 PS Le
Au voisinage du point à Pinfini, qui est un point singulier essentiel, la structure locale n'est simple que dans des cas parüiculiers.
Structure globale. — La structure globale de la famille R, elle aussi, n’est simple que dans des cas particuliers. C’est ainsi que pour R fini, les branches de R ne sont pas nécessairement fermées, et le nombre de ces branches peut être fini ou infini.
Courbes V : Structure locale. — Au voisinage d’une racine simple ou multiple à distance finie et au voisinage d’un ; d'ordre (q 1) à distance finie, même structure que pour les polynomes.
Au voisinage du point à l'infini, la structure locale n’est simple que dans des cas particuliers. Ainsi que nous allons le préciser au paragraphe 12 ci-après, elle est en liaison avec l'existence de valeurs asymptotiques.
Structure globale. — Prolongement d’une courbe V, à partir d'un point & à distance finie.
Dans le sens montant : Toute courbe V est prolongeable dans le sens montant jusqu’à l'infini. Elle constitue visiblement pour la fonction entière un chemin de détermination, mais qui n’est pas nécessairement un chemin de détermination infinie.
Dans le sens descendant : Dans le sens descendant, toute courbe V est prolongeable soit jusqu’à un zéro à distance finie, soit jusqu à l'infini. Dans ce dernier cas, le chemin de déterminalion conduit à une valeur asymptotique finie.
Taéorëue. XII. — // n'existe pas de circuit fermé, formé de branches d’une ou plusieurs courbes Net entièrement situé à
distance finie.
En effet, l’image du domaine A limité par le circuit, donnée par la fonction inverse, serait un domaine borné, limité par des por-
tions de demi-droites arg Z — const. Dans un pareil domaine, on peut tracer un chemin Z allant à l’infini sans rencontrer la fronuère. L'image de ce chemin dans le plan des z serait dans A.
Il existerait dans À une valeur de : pour laquelle on aurait
Z|= ©, ce qui n’est pas possible.
Tuéorème XIII. — Si la fonction entière n'admet pas de valeur. asymptotique finie (\), les pinceaux montants existent et pavent son domaine d'existence en cellules d’univalence.
Sous les hypothèses données, zéro n’est pas valeur asymptotique. Soit donc a; un zéro, il en part un pinceau montant au moins qui se termine à l'infini, car, si une de ses courbes V n’était pas complète elle serait chemiu de détermination finie. Donc le pinceau sera une cellule d’univalence.
Considérons maintenant l’ensemble de tous les pinceaux issus de tous les zéros. Supposons que ce pavage ne couvre pas tout le plan et soit & un point non couvert. Prolongeons la courbe V, dans le sens descendant; elle ne peut s'éloigner indéfiniment car on aurait alors un chemin de déterminauon finie; elle ne peut sortir de la région non couverte par un point à distance finie; car elle y rencontrerait une autre courbe V frontière de pinceau; ce serait un point 7; et la théorie déjà faite pour les polynomes montre alors que l’on peut reprendre le prolongement de V dans la zone non éliminée. Donc la courbe V, se terminerait en un zéro qui serait dans la zone éliminée et appartiendrait à un pinceau de ce zéro; il y à contradiction. Ce 0e Hoiv:
Il est par contre impossible d’exclure & priort l'existence de pinceaux incomplets ou de courbes V incomplètes, si l’on admet l’existence de valeurs asymptotiques finies; nous verrons cependant dans ce qui suit des exemples où cela est possible. Cela tiendra à ce que toutes les courbes V y sont complètes, c’està-dire vont de la valeur asymptotique zéro à la valeur asymptotique co.
11. Fonctions entières de la forme Z—e°". — Jtude de la fonction entière L — e°. — Ramenons le point singulier essentiel
à distance finie par la transformation 3 = -. La fonction entière
le
devient Z — e*, dont le point singulier essentiel est en 3 = o.
() Théorème Valiron-Iversen. Cf. G. Vario, C. R. Acad. Sc., 166, 1918,
Courbes KR :
L ee = (cos 0 — ;sin 0) Z —= R ei = el :
R L eos 0 — CN Q
Les courbes logR— const. sont des circonférences langentes en O à l’axe imaginaire; la courbe R — o se réduit à l’axe imaginaire lui-même, tandis que les courbes R — o et R — se réduisent au point O.
Courbes V (fig. 24):
Flèche -=sens R croissant
