PAG

si, au contraire, 4 — 4; est racine d'ordre g :

(g) P(a + h)=— ER)

>(2)( a) ARRETE q

En un point j;, racine d’ordre (q—1) de la dérivée P'(3) :

P(ji+ h)= P(ji) + D a+. : ee 2;

Points homologues par rapport à P(z). — Deux points sont dits homologues si P(z) prend la même valeur en ces deux points. Les zéros a; de P(z) sont des points homologues.

Nous désignerons par k; les homologues des points J;, qui ne sont pas eux-mêmes des points 7;.

2. La famille d’égal module ou famille R. — Les courbes R— const. sont aussi appelées des lemniscates [on obtient la lemniscate classique de Bernoulli, quand P (2) est du second degré et pour la valeur R —|J|, que prend R au point 7].

Toutes ces courbes R — const. ont, comme on le sait, une définition géométrique commune :

[P(z)}=|A0||3—@l!3—a...|23— an] const.

ce sont les lieux des points dont le produit des distances à x points fixes est constant.

Étude des R en un point a;, zéro d'ordre q de P(z),(q21).

me pi — On peut écrire, en posant a;= o et 2 — 1:

FSC APE PNR EIEE" 724 — = , D EUILe

d'autre part, on peut trouver une quantité positive p qui vers zéro avec € et Lelle que :

donc

; e? POLE?

(1) - T2 TS : Sr ul LRU

tend

Autour du point a; les courbes R forment une famille de courbes fermées entourant &;,s’écartant très peu d’une famille de circonférences concentriques ayant a; comme centre et comme point limite. Le point a; est un point centre. de la

famille R.

Etude des courbes R en un point j:, zéro d'ordre (q—1), de

P'(2). (g21). — Si l’on prend Ji, à l’origine, on à : P(z)=a+217+...,

et l’on suppose « réel et positif.

Remplacçons z par re — r|cosû + 1 sin]:

P(z) =a +7r1[cosg0+ising8]+..., MAC) PS CPS OMIS ECC la courbe | P(3)|?— &? est

2ar1cosg8+r7t|...]=0, ou

cosg0+r[...]=0.

En coordonnées polaires, l’origine est un point multiple d’ordre q avec q tangentes distinctes, et 2q demi-tangentes formant une

étoile régulière autour de l’origine. Donc par un pornt ji, zéro d'ordre (q—1) de P'(z), il passe q branches distinctes de la courbe; —1| 3];

Au voisinage du point J; :

| 2 e = 74 cos g 0+ r74411.. ], ou (3) M = rTco8g0 + r7H[...].

Discussion. — Nous supposons & > 0.