CE
[P(2)| <a; Rj;3 <R;. — Autour dé Ji il y à g branches distuinctes de R—R;,,, dans les angles (1), (II), (V).
| [P(z)|= a; Riu =R;. — Il apparaîl en j;, un point multiple d'ordre g à tangentes distinctes.
[P(3)i Da; R;2>R;. — Les g branches de R—R;.; sont dans les angles (11), (IV), (VI) et s’éloignent du point j;, R croissant.
Le point j; est un col d'ordre q pour les courbes R. — Dans . le cas particulier g — 1, le poini j; devient un point ordinaire (a) de P(3). Par ce point il passe une seule branche de R=R,, admettant en @ une langente unique, et au premier ordre près, la famille R au voisinage de a prend l'aspect d’une famille de droites parallèles à cette tangente.
Etude des R au voisinage du point à l'infini.
Z=P(z)= Ao2+ Az 1+,,..+ An.
1 l’on pose :
Si l’on p PRRVrE M on a AL ADI ER AE Lg 7 = 0;
pour Z/— 0, l'équation a » racines nulles; donc, d’après la théorie des équations algébriques :
2 à LÉ |. + BL +... À d’où :
#1 Br À er ;
1 1 > eme +02 7 on.
PR NTI Eu DS EEE) en identifiant on trouve A ATEN", D, É ñn Ao
et enfin
(4) Pan je Aa TANGER
Posons
Donc pour R assez grand, R —|7Z|, la courbe R est une courbe fermée intérieure à une couronne circulaire de centre T, dont
le rayon moyen augmente indéfiniment et dont l'épaisseur
tend vers zéro comme R “au moins.
Le point à l'infini pôle d’ordre n de P(z) est un point centre de la famille R.
Lemme 1. — Toute branche d’une courbe R pour une valeur déterminée de R est tout entière à distance finie.
En effet | P(z3)| augmente indéfiniment quand 3 va à l’infini.
Taéorème 1. — Toute branche fermée de R —R, contient au moins une racine a; de P(z:).
Ce théorème est classique et s'applique à toute branche fermée de |f(z)| = G, f(:) étant holomorphe.
Taéorëue Il. — La courbe R— R, est formée d'un nombre fini de branches fermées.
En effet | P(2) |? — C? est une courbe algébrique, donc elle a un nombre fini de branches et chacune d’elles est fermée.
Étude globale des courbes R. — Nous faisons l'hypothèse que P(z)—o admet seulement s racines distinctes &,, &,..., as. Dans ces conditions, il y a seulement (s—:1) points 7; distincts ou confondus d’ordre 1. Deux points 7; confondus d’ordre 1 donnent un point 7; d'ordre 2; (qg—1) points 7; confondus donnent un point 7; d'ordre (g—1). En un point 7; d'ordre 1, deux branches
UE distinctes de R, R<R;, se réunissent en une seule; en un point Ji d'ordre (qg—1}), g branches de R se réunissent en une seule. Écrivons donc les modules R;, dans l’ordre non décroissant |J, |, [J|....,17,,| et examinons ce qui se passe quand R croît à parur de zéro.
La courbe R—o se réduit aux s racines distinctes de P(z). R croissant, autour des s zéros, il se forme s branches fermées disunctes de R, qui restent distinctes jusqu’à ce que R ait atteint la valeur |J,}. Supposons 7, d'ordre (q—1}), J+ d’ordre 2 et /; d'ordre r, et de plus [J,|—]|J;|—1|J3|. En j,, g des s branches se soudent en une seule; en /,, trois des (s — 4 +1) branches qui
restent se soudent encore en une seule; il ne reste plus que (s— q—1) branches. En /;,, deux de ces dernières se soudent à nouveau; le nombre des branches distinctes descend donc à (s— q—2). Chaque fois qu'un point 7; est atteint, ce nombre diminue; comme il y a en tout (s— 1) points 7;, chacun d’ordre1, le dernier point 7; atteint la courbe, R n’a plus qu'une seule branche fermée. Soit 7; le dernier point 7;; R>R;,, la branche fermée unique de R, tend vers le point à l’infini quand R augmente indéfiniment.
3. La famille d’égal argument ou famille V. — Ætude de la famille V au voisinage d'un zéro ai de P(z) d'ordre q21. —
net P)(@;) On peut écrire en posant 4; = 0, € —" —1 q :
P(z)= 37+...=71,(cosq0+ising#)+...,
R cosV +R sinV = [7r7cosq0+...]+4i[77sing0 +...], ou encore
R=—[r7c05(q0—V})+...]+ifr7sin(g—V)+...],
(6) o=sin(gô—V)+rf...].
Les courbes V—o admettent pour demi-tangentes au
(ASk<qg—1). Ces demi-droites forment une étoile régulière autour du point O et q
point z— 0, les demi-droites 8 — 0, 0 —
angles égaux à +
AU
Donc pour chaque valeur de V, il part du point O g branches
Fig. 3.
mn ©
< <<D< PE rie << D< 1:
af>*
Fe CCC COR CO CC
de V, dont les demi-tangentes en O forment une étoile régulière.
"At
Quand V croit de o à 27, ces 4 demi-tangentes tournent autour de O dans le sens positif et balaient chacune un des 4 angles
res Cara] = :
- ’ 2k7T où OA, représente 5 — 0, et OA; représente 4 = ==. q Définition des pinceaux montants. — Quand V varie de o
