sa

Ces derniers angles doivent être ternes de^ deux c^tés de la Ugoe de O^* pour donner Jes lieures avant 6i* du matin et après 6i> du soir.

806. Autre procédé à Vaide d^échelles. Après aToir trace deux droites rectangulaires AD , CB (fig. 66) pour représenter les lignes de 6^ et de midi , porte! sur la première ^ de C en A et en D^ une longueur égale à celle que donne Véckelle de latitudes {voy, les pi. III eblV) ponr le degré de hauteur du pôle dans le lieu proposé. Par ex. , pour Paris ^ prenez AC = CD = à la longueur qui répond à 48<*5(K sur cette échelle. Du centre A , avec un rayon égal à la longueur entière de Véckelle des heures ^ marquez sur la méridienne un point B ; AB et BD seront égaux à cette même ligne ; puis , portant le long de AB et BD toutes les divisions marquées sur cette dernière échelle , vous tirerez^ de ces points au centre G, les lignes horaires cherchées. Cette construction revient à poser une extrémité de l'échelle des heures en A , à appuyer Tautre le long de GB , puis à transporter sur le plan du cadran tontes les divisions de Téchelle , en les piquant avec un stylet. L'échelle est placée dans Tangle ACB, comme BG (fig. 70) est appuyé sur B A et AC. Quant à la manière de sous*diviser ces échelles , on en verra le calcul dans notre quatrième édition.

Observez que les lignes horaires placées an-dessus de AD sont le prolongement de celles de même dénomination qui sont en-dessoui (n® 300 y À^), en sorte que le cadran est coupé en deux parties symé^i triques par la méridienne^ et aussi par la ligne de 6*. -

807. Le cadran solaire horizontal peut être décrit »ar remplacement

même, et il Faut d'abord y tracer la méridienne (n? 206) ; mais si on le consiroît dans le cabinet , sur an marbre, une ardoise , il reste entnito a l'orienter. H suffit de tourner le cadran jusqa^à ce qnMl marque l'heure précise dont ou s'est assuré d'ailleurs : on doit préférer l'instant de midi, à cause des erreurs des réfractions. Si le cadran, rois d'accord arec une bonne montre, marche comme elle durant 5 ou 6 heures, il est bien orienté, et la montre est juste à l'heure; mais si, après avoir mis le matin un cadran d'accord avec une montre, on remarque des différences dans les heures suivantes , on attendra le soir que le cadran marque l'heure qui est à même distance de midi : on imputera la moitié de la difiEérence au cadran qu'on dérangera d'autant , et l'autre moitié à la montre : c'est-à-dire que s'il y a 6' d'avance du cadran sur la montre, on retardera Fun de i' et l'on avancera l'autre de S'. Dans cet état, il faudra recommencer l'épreuve, et Paocord devra subsister, du moins si la montre n'a éprouvé aucun dérangement.

Le plan doit d'ailleurs être parfaitement horizontal, ce dont on juge en posant une bille dessus, ou en y jetant un peu d'eau, et observant si elle s'écoule. Le niveau à huile d'air peut aussi être employé.

808. On peut encore orienter un cadran horizontal le jour de l'équinoxe, en observant que l'ombre de l'extrémité du style décrit une droite perpendiculaire a la méridienne. Plus généralement, SG étant le style (fig. 68) , GB une ligne d'ombre pour le plan horaire GSB ; abaissons, dans ce plan , SB perpendiculaire à SG; SB sera la trace de l'équateur; et si l'on fait l'angle BSR égal à la déclinaison actuelle du Soleil (SR est au dedans du triangle BSG qus|nd la déclinaison est boréale, en dehors quand elle est australe; R coïncide avec B aux équinoxes), alors SR est le rayon solaire qui rase le point S du style, et R est l'ombre de S. Ainsi , après avoir construit l'équerre BSG sous l'angle SCB, qui appartient à une ligne horaire, puis mené SR sous l'angle BSR de la déclinaison actuelle du Soleil, on ajustera ce triangle RSG , en l'appuyant d'une part sur le style et de l'autre sur la ligne horaire, selon ses côtés SG et GR : puis on fera tourner le cadran jusqa'à ce que l'ombre de JS tombe au point R , ce qui ne sera possible, le jour proposé, qu'à l'heure correspondante a la ligne GR.

Il est a observer que ce procédé ne suppose pas que l'heure soit connue; car l'ombre do S ne pouvant se projeter le long de SR qu'à l'heure prescrite , il suffira de tenter, quelques minutes plus tôt, de faire coïncider l'ombre de S eu R, et de tourner le cadran , en suivant

GNOMONTQUE. 555

les progrès de Tombre, jusqu'à ce que la coînoidenoe ait liea. L'henro dont il s'agit sera ainsi déterrai née. Il faut soamettre àlamèmeéprenye quelques antres lignes horaires.

Quant à l'ooTerture de l'angle SC6, elle dépend de la ligne horaire qu'on a choisie, et l'on peut la trouver par un calcul que nous omettons ; mais quelques tâtonnements suffisent pour obtenir cet angle. On donne à un carton SG6 a peu près la forme qui convient ; et , pour l'essayer, on pose un côté CB sur la ligne horaire, et Ton applique l'autre côté le long du style GS avec lequel ce côté doit coïncider; sinon , on augmente ou diminue l'angle SCB jusqu'à ce que cette condition soit remplie. On trouve les valeurs suivantes pour l'angle SCB , que forme le style SC d'un cadran horizontal , à Paris, avec la ligne de

lA OQ XI*. . . . 490 49' lYh ou Vin*. • . . 66«a5'

II on X 5S.5S V on YII 77.15

III oa IX 58.16 VI 98.

S09« Un cadran construit pour une latitude ne peut convenir à une autre, qu'autant qu'on aurait conservé le parallélisme à l'axe du mouvement diurne : cela suit de la génération même des lignes horairelï (n^ SOO, 1"^). Un cadran horizontal fait pour Paris peut donc servir partout, pourvu qu'au lieu de le fixer horizontalement, on rinolino convenablement, c'est-à-dire que le style doit encore être parallèle à l'axe de la Terre. A cet effet , il suffira de placer la ligne du milieu dans le méridien , et d'incliner, vers le nord ou le sud, d'une valeur angulaire égale à la différence des latitudes des deux pays. On se sert de ce moyen lorsqu'on veut éviter que l'eau ne séjourne sur l'aire du cadran.

On trouve dans le commerce des cadrans horizontaux portatifs; mais ils ne peuvent servir que pour les lieux qui ont la latitude pour laquelle on les a construits. C'est une petite boite contenant une boussole pour l'orientation , comme on l'a dit p. 848. Le plan du cadran est placé horizontalement, et les lignes horaires s'y trouvent disposées comme on le voit fig. 66. Quant au style , il est, on monté sur char* nière pour pouvoir le rabattre quand on ne se sert pas de l'instrument, ou -un simple fil tendu du centre du cadran à un point du couvercle qui est ouvert verticalement ; le point d'attache de ce fil au couvercle est tel^ que le fil soit incliné sur le plan du cadran d'autant de degrés que la latitude , pour qu'il soit parallèle à Taxe de la Terre. On y adapte souvent aussi un cadran vertical {voy, ci- après) tracé sur le couvercle^ et ces deux cadrans doivent donner la même heure.

URAIIOaRAPHIB» 79

354 qNOMONIQUE*

910. Cadmn miridi^nal^Mepfentnanid. Il est tr^eé pur «n plaa tical exactement perpendiculaire au ipëridien; on ponclq^ dQ ce qai Tient d'être dit, que le cadran horizontal, construit poi|r un payf dont la latUnde serait le complément a Q0<> de celle du lieu mémOj transporté parallèlement, devient vertical en ce li^^ et conyient ^a plan dont il s'agit. Ainsi, pour construire U cadran proposé, il suffit 4'm fairç nn horizontal pour upe latitude complémentaire (4P IW p^r Paris), ÏA ipéridienne est verticale^ le style fait avec aett0 droite un angle égal à ce même complément ; et puisque les lignes horaires sont les sections des plans Jioraires par le plan vertical du oadran> la fima de ce plan qui regarde le nord et celle qui est vers le sud forment deux cadrans verticaux ; le style de l'un est le prolongement de celui de l'autre, après avoir peroé le plan , et ils ont les mêmes lignes ho^ raîres. En supposant le cadran transparent , un seul tracé donnera les heures sur ks deux faces, le style perçant le plan sous une même direction.

On voit donc que rien n'est plus aisé que de décrire ces cadrans. Bans le méridional, les angles du sty\e avec la méridienne et les lignes horaires sont ouverts par en bas; le septentrional, au contraire, a son axelibre par l'extrémité supérieure et iixé à l'inférieure, et les angles sont ouverts par en haut. Du reste, on trace seulement les heures que le cadran peut indiquer, c'esl^-dire celles où le Soleil peut ^n éclai*' rer la surface,

SU. Cadran oriental et occidental. C'est celui qu'on trac^ sur le plan même du méridien. Gomme tout style est parallèle à l'axe do la Terre, ici l'aiguille ST (fig. 68) est parallèle à notre plan vertical, et inclinée sur l'horizon autant que Test ce même axe; de plus, le plan de 6* étant celui qui, passant par l'axe ST, est perpendiculaire au mé* ridien, la ligne de 6* est la projection Gfl du style sur le cadran. Dana tout cadran (n^ 800)| les plans horaires se croisent tous suivant 1q style, et sont également inclinés entre eux (de 15° en l^"* pour chaque heure). Dans le cas actuel; où le style est parallèle au plan dn cadran^ les lignes )ioraires étant les sections de ce plan par les plans horaires, sont toutes parallèles à celte même droite ST ou GH, Enfin, le plan perpendiculaire à l'axe étant parallèle a l'équateur, coupe les plans horaires selon des angles dp 15'' en 15'' par heure. J^p là résulte la construction suivante.

Sur le plan méridien destiné à recevoir le cadran, faites, avec l'horizontale BC; un angle B éj^a) à la latitude, la partie supérieure B se

(^NQMÛNIQUB. Itf»

dirigeanl y^rs le pôlQ non); fixez l'Qie ST pamllèlomefit à JUS, â mue distance qpftlconque QS en avant ^u ca^rpn» en sorte qqe touieg luf drpites oiepéeipar ST, perpendiculairement au cadran, tombent su^ li| drçitÇ HG, qui est la liçfie de 6*. Sur EOF, perpendiculaire à HG, pp^n tes , a partir de si de part pi d'antre, des longueurs 01 , OK, • . • , if^]çB npx tangentes de 15<*, 30^, .... pour le rayon GS (on tracera, è part^ nn qerole i^ r^yon GS, qui servira à tfonver c^s tangentes)- Po? ex., pour la ligne de 4*, OK est la tangente de S0<>, le rayon étant QF^ po^r la li^ne de tt\ 01 est la tangente de IS^», et ainsi dos antres, far Jes ppints J, K, . . . . ainsi déterminés, meqçzdes parallèles à HG, voua auires les lignes d'Iieures. On olitiendrait aussi facilement les demie^g les qn^rts, etc.

l^e ^p)m) n'éclaire pas ce cadran à midi, non pins que daps h ma-t tinée, qnapd il regarde le couchant; point 4<^Qs la soirée, s'i) es( tourné ^ers l'est; d'^iHeprs, ici comme dessus, le cadran oriental est le même que l'occidental, au nom près des heures ] et si l'une de eei deux figures est tracée sur une feuille huilée, l'autre paraîtra sur le revers.

H ^t inutile de parler du cadran polaire tracé sur un plan dont la direction va appela et aux points d'est et ouest, incliné sur l'hprisQn, autant q«e l'est l'axe terrestre. Jjds lignes horaires, le style, la méri-t dienne son( des lignes parallèles qu'on trace par la même construction que nous venons d'exposer. C'est le cadran horizontal des pays située sous l'équateur.

312. Construire un cadran solaire sur une surface quelconque. Orienr tcz exactement, devant la surface, un cadran équinoxial ou hoj*iznntal, ou etc., construit d'après les règles qui ont été données. Dans cette situation, Pomhredu style de ce dernier cadran, que nous nommerons auxiliaire, se porte sur ses diverses lignes horaires ^ mesure que la Soleil tourne. Le style est nécessairement parallèle à l'axe de rotation du ciel (u" 300, 2^). Il suit de ce qui n été exposé ci-devant, qu'en prolongeant ce style vers la surface proposée, ce prolongement servira d'aiguille au cadran qu'on veut construire. Il faudra dope fixer l'ai^ guille selon ce prolongement ^ qu'on trouve en tendant un fil dans cette direction.

1^8 plans horaires passent tous par le style, et chacun suit nne da* lignes du cadran auxiliaire. Il reste à marquer sur la surface proppsëa les intersections de ces plans horaires par cette surface, que nonapre^ nons ici courhe ou plane, telle qu'elle est 4onnée. Le plan horaire de

91(6 GNOMONIQOE.

10^, par ex., étant prolongé jusqu'à cette surface, donne la ligne hotaire de 10*, qu'on obtient ainsi par un simple alignement. On peut attendre que, durant le jour, le Soleil porte l'ombre du style sur les diverses lignes du cadran auxiliaire, et tracer au même instant l'ombre portée sur la surface dont il s'agit ; ou bien , on placera la nuit une bougie allumée en avant de cette surface, et la dirigeant de manière à projeter l'ombre du style sur une des lignes du cadran auxiliaire, on marquera la trace d'ombre portée a la surface proposée.

Le plus ordinairement, le cadran doit être tracé sur un plan. Les lignes horaires sont alors des droites dirigées au centre, point où le ityle perce ce plan. Il suffit donc d'avoir un second point pour chacune de ces lignes, et ce point s'obtient en prolongeant, jusqu'au plan proposé, la Jigne horaire de même nom prise sur le cadran auxiliaire. Par ex., un fil tendu, rasant la ligne dé 10* du cadran auxiliaire, va marquer, par son prolongement jusqu'au plan, un point de la ligne de 10^ du cadran demandé.

S13. Secimdprocèdé. Supposons qu'on ait fixé l'aiguille parallèlement à l'axe de la Terre, à l'aide des moyens qui vont être exposés (n^ S14)} il ne s'agira plus que de tracer les lignes horaires. Qu'on ait une montre ou une pendule assez exacte pour ne présenter aucune différence notable dans la durée de 24 heures ; on choisira un jour serein, et d'heure en heure (ou de demi-heure en demi-heure, on de quart en quart), on suivra la marche de l'ombre portée à la surface, et on la marquera d'un trait. Si la surface est plane, ces lignes seront des droites.

^ On peut aussi employer, au lieu d'aiguille, un disque percé au centre, fig. 48. n faut alors que le trou soit l'on des points du style, son extrémité, par ex,; on supprime ensuite cette aiguille, dont la plaque tient lieu (n<> SOI). Quand le cadran est plan, il est plus facile de fixer d'abord le disque dans telle situation qu'on veut, de manière cependant qu'il puisse projeter le rayon solaire, dans toutes /es saisom, sur l'étendue qu'on destine au cadran. On tracera d'abord une méridienne d'après les principes exposés n9 206; puis, réglant une bonne montre •ur cette indication, on marquera d'heure en heure, ou de quart en quart. ... le centre du cercle lumineux peint sur le cadran : on aura ainsi un point de chaque ligne horaire. En réitérant l'opération piniieurs mois après, on obtiendra de même un second point, et le cadran ; bientôt achevé.

Comme les lignes horaires vont concourir au centre du cadran, an

liea de remettre à plasieurs mois pour trouver le second point, on peut chercher le centre par Topération qui sera décrite ci^dessous, 3« procédé. La réfraction atmosphérique influe un pea sur les pointa ainsi obtenus 3 mais rien ne peut soustraire les cadrans solaires i cet effet j aussi Thenre n'est-elie jamais donnée avec exactitude qu'à raidi même, et l'erreur croit a mesure que le Soleil s'abaisse sur l'horizon.

S14. Fuser un axe parallèlement à la ligne qui va d*un pôle à Vaulre^ ou placer l'aiguille d'un cadran.

Alignez l'étoile polaire avec une règle; celte direction est celle que vous cherchez. Comme la Polaire est a l^j du p^le, si vous voulez plus de rigueur dans cet alignement, attendez le passage de cette étoile au méridien inférieur ou supérieur (n*' 209) -, ensuite élevez ou abaissez verticalement cette direction de V ^, ce qui est facile a faire, en dirigeant vers la Polaire l'alidade d'un graphomètre dont le limbe serait vertical.

Au reste, cette opération est rarement commode ; car, outre qu'elle exige l'emploi d'un instrument, il n'est guère possible d'apercevoir la Polaire quand on se trouve devant le mur qui doit porter le cadran. Comme la latitude est connue, il suffit de tracer une méridienne horizontale, et de disposer, dans un plan vertical^ au-dessus de cette méridienne, un axe qui fasse avec cette droite un angle égal à la hau* leur du pùle«

Second procédé. Le jour même d'un équinoxe et à un instant quelconque, on inclinera un plan de figure arbitraire, de sorte que le Soleil n'en éclaire que le bord extérieur; dans le restant du jonr^ cet astre ne doit nou plus éclairer ni l'une ni l'autre des deux faces. La perpendiculaire à ce plan est le style cherché. Cela suit de ce que le plan incliné se trouve parallèle à l'équateur, cercle que décrit alors le Soleil (voy. ce qu on a dit n** SOS, sur le cadran équinoxial).

Les procédés qui nous restent a exposer ne s'appliquent qu'an cas où le cadran est tracé sur un plan vertical.

Troisième procédé. Construisez un triangle 6CM (fig. 44) de grandeur arbitraire, dont l'angle C soit le complément de la hauteur du pôle (à Paris, l'angle GCM est de 41» 10'); tracez sur le mur BCMD une ver* ticale quelconque CH, qui. sera la ligne de midi; appliquez le côté CH du triangle GCM sur la verticale, puis, faisant tourner ce triangle autour de CM, faites en sorte qu'à midi précis l'ombre de ce plan CHG se réduise à la seule verticale CM ; arrêtez le plan dans cette situation ; CG est la diriclion demandée. Ainsi, fixez dans le mur une verge le

Ui ffNOMONlQUE.

IbHg de CG, Où une plaqae GGS, dont Paréte côlkicide ayèc CG, vous aiil*et la parallèle à Taxe da monde, ou raîguitie du cadran, t est te cèntU», point bù toutes les lignes horaires Tont concourir. Ces tighea sOiit ensuite Faciles a tracer d'après ce qu'on vient de dire n"* Sll.

Lorsque le cadrtlti a de grandes dimensions, ou qu'il diffère peu du méHdiën, comme le centre C est très-éloigné, on ne conserve qu'une partie du triangle GCM, telle que le trapèze IGMK, de hauteur KS arbitraire. Ce trapèze doit aussi 6tre appliqué le long de la yerticale (M, et projeter son ombre sur cette même droite à midi, l^axe C& est réduit à une partie I&desa longueur, qu'on fixe dans la direction ainsi déterlnihéé. Celte opération donne le trabé des cadraks êanê centre.

Ouùiriènie procédé^ k l'aide de deux ombres égales. Après avoir tracé une verticale ClH (fig. 44) pour représenter la ligne de midi, et plusiëhrs cercles bOUcen triques, tels que ESD , le centre A étant où l'on Tôudhi, on fitera en A nu axe AB perpendiculaire au mûr, ce qui sera facile à l'aide d'une équerre : AB est alors horizontal. On marquera sur les circonférences concentriques les extrémités des ohibres égalés AD, A£, comme on l'a fait ,n* S06, pour le tracé d'une méridienne. L&t droite CAS, qui coupe par le milieu tous ces arcs DE, èsl ce qu'on riomiiië la Soustyluire : c'est la projection du style CG sur le cidran.

£ti e^t, si CG est l'aiguille , dans la position qui lui appartient, pai^allèle à l'axe du monde, et si CA est sa projection sur le mur ^ lorsque le Soleil, en décrivant son cercle diurne, entre dans le plan horaire SGCA perpchdiculaire au Cadran, l'ombre de AB est dans ce même plan, c'esl-a-dire est la projection CAS du style. Prenons deux plans horaires également inclinés des deux côtés du plan CAS, et par conséquent faisant de part et d'autre des angles égaux avec le mur j la partie AF de AB projettera des ombres égales Kc, Aq, et également ihcliiiébs sur AS, puisque tout est égal des deux côtés du plan GCS. Donc AB donnera aussi des ombres égales AD, AE, prolongement des précédentes, et AS coupera l'arc DE au milieu S.

Une fois la soustylaire SC connue, il ne restera qu*à placer le plan triangtilaire GCIÉ, dont l'angle C est la distance du pôle an zénith ,. de manière que Vnn des côtés coïncidant avec la verticale Clt, Taulre Tienne s'appuyer sur AB, en un point quelconque F. Ce triangle ainsi posé, CG est la direction du style. On peut également se servir du triangle GCS perpendiculaire an mur et formant l'angle GCS ainsi détermina.

81 S. Cinquième protêdéy par un point d'ombre à midi. Fixez au mur

GNOHONIQtJË. nm

an(9 tige DB (fig. 68) de fcmne quelconque, l^exlrémiié libre D pof tèra tiHe ombre sur le mur ; et mômei pour rendre cette ombre p1u0 précxMf OU peut ajuster en D une plaque percée laissant passer un rayoa iolaire («oy. n? S0l)4 Marques à midi précis le point d'ombre 0, la ▼erticale GO est lu méridienne. Le style CT doit passer en un point G de cette lî^ne ; oe point G est inconnu. Puisqu'on teut que le style GD pësse par D , Tangle TGO étant le complément de la latitude^ les an^ glesdu triangle DGO sont connus. Eh eflPet, l'angle est la distance méridienne SOG du Soleil au zénith s= latitude db la déclinaison (tToy h** 82 et S84) ; l'angle G est 90'' — la latitudei Enfin, tous pouvez mestirer exactement la louguebr DO. Ainsi, par utie ootistruction^ ou plus eiaoteraent , en résolvant le triangle DGO, tous corinalti^ex la distance OC : le cetitre G est ainsi déterminé. Il reste à fiier l'aiguille GT au point G^ en l'appuyant sur Pextrémité D de la tige DB, qu'on 6te ensuite si on le juge à pf opos.

Observes que l'angle dièdre, formé par le plan du cadran avec le triangle TGO ainsi fixé , est l'asimut de cette surface verticale («K)y^ page 808),

Gomme on peut être embarrassé pour mesurei* lu longueur DO^ on abaisse sur la méridientie la perpendiculaire horixontale DI> qu'on mesure. La lotigueur IG se tire du triangle rectangle DlG^ dans lequel on connaît l'angle G et le côté DI.

816. Cadran Teftical décHnant» Un plan vertical est oblique au méridien, qu'il coupe Suivant une verticale et sous un angle donné^) il s'agit de tracer un cadran sûr ce plan. Quant à la manière de trouver cet angle qui èêiVj^ahnut^ consultes le n<> 817. Goncevoiis un plan horizontal selon la ligne 6AD (fig. 74), et rabattons ce plan sur le cadran dans l'étendue GOD en le fkisant tourner autour de l'horizontale 6D. Le méridietl qui passe par la vei:ticale SA coupe l'horison suivant la droite AO, dont la direction dépend de Tasimut du cadran, angle que tiôns représentons ici par BAO, et que nous supposons connu. Puisque le style est parallèle à l'axe de la Terre , nous savons qu'il est situé dans le méridien 8A0, allant, par ex., de S en 0, et faisant arec l'horizon un angle égal à la latitude. Soit donc fait, à droite ou à gauche de SA, l'angle AGS égal à la latitude, et soit pris AOspAG; les heures seront indiquées par l'ombre de l'hypoténuse SO du triangle SAO, ntetarigte en A, triangle qui est dirigé selon la tertieale SA dans le méridien , c'est-ft-dire obliquement au pUn du cndran , soua l'angle azîrautal BAO.

La Tortioalo OB donne la droite SB , qui est la Scuttylairef ou la projection du style sur le cadran. Menant BG perpendiculaire sur SB et prenant BGs==BO, le triangle SBC est formé par le style SC et sa projection SB sur le plan yerlical du cadran. En effet , si l'on £ait tourner les triangles SGA autour de SA , SBC autour de SB, ABO autour de AB ; et qu'on fasse coïncider les trois points G, C^ en un seul , il eai tIsible que l'espace compris sera un tétraèdre dont le style SG on SC sera une arête , élevée dans le plan CSB perpendiculaire au oadran , et audessus de SB.

Concluons de là qu'il faut mener sur le plan du cadran une yerticale SA (fig. 64) , pour représenter ta ligne de midi, puis sa perpen* diculaire GB; faire l'angle AGS égal à la latitude du lieu, passant par un point quelconque S, qui sera le centre du cadran , ou le point de concours de toutes les lignes horaires^ l'angle BAO égal à l'aùmut du plan vertical ; prendre A0= AG ; mener la verticale BO , puis SB qui sera la soustylaire ; enfin former le triangle SBC rectangle en B, ayant BC t= BO, et placer ce triangle SBC suivant SB, d'équerre sur le cadran. SC sera parallèle à l'axe de la Terre ^ et l'ombre de cette ligne , en se projetant sur le cadran , devra marquer les heures.

IJ étant le centre du cadran , il faut connaître un second point de chaque ligne horaire; mais si l'on construit un cadran équinoxial , dont soit le centre , et OA la méridienne ( fig. 74 ), le style sera le même que pour notre plan vertical. Les lignes horaires de ce cadran auxiliaire seront OG , OA^ 1 , OS, ... : en les prolongeant jusqu'à l'horizontale GD , les points de rencontre G , A , 1 , 2 . • . , appartiednent aux divers points horaires, puisqu'il a été prouvé (n« SIS) que le style étant le même pour les deux cadrans , les plans iioraires sont aussi les mêmes, et que par conséquent les lignes horaires , prolongées fur l'un et l'autre, doivent se rencontrer. D'après cela, il ne reste plus qu'a mener des droites de ces points G , A , 1, S, .... au centre S.

Voici donc la construction qu'il faudra exécuter avec soin :

Traces la verticale méridienne SAH (fig. 64} , Thorisontale quel» conque GAR , et par le point arbitraire S de la première , pris pour centre du cadran , tirez la droite SG faisant l'angle GSA égal au compléroent de la latitude du lieu. Tirez la droite AO qui fasse l'angle OAB égal à l'azimut du mur, et prenez AO as: AG; la verticale OB donnera la droite SB qui est la soustylaire. Élevez BC perpendiculaii*e à SB, prenez BC s» BO, et SC sera le style, en sorte que le plan triangulaire BSC , élevé sur SB perpendiculairement au cadran , donnera la position SC suivant laquelle il faudra fixer le style SC sur le mur.

ITun pdlnl D de SB/ abaissez BG perpendiculaire sur SG , et prenes DP s= DC sur le prolongement de la sonstylaire SB; P sera le centre da cadran équinoxial : et si tous uienet la ligne IR perpendicalaire en D à SB y PIR sera ce cadran recouché sur le plan Terlical 3 PH sera sa méridienne î PR, menée au point de section A arec GB^ sera sa ligne de 6* ; en sorte que SR sçra cette même ligne horaire pour notre cadran Tcrtioal » et l'angle HPR devra être droit , ce qui sert à vérifier Texactitude des tracés.

Du centre P, décrivez une circonférence KNDQ , avec le rayon PD^ et partages cette courbe en arcs de 15 en IS degrés, à partir da point N. Si RK est de SO"*, on tirera PK j dont le prolongement donnera en I un point de la ligne de 10^, laquelle sera SI : et ainsi des autres lignes horaires*

Observez que> dans notre figure 74 , nous supposons que le cadran est tourné vers l'ouest et le sud ( Fazimut est ici de 60° ) ; mais il faut diriger l'ouverture de l'angle azimutal BAO, du côté gauche , lorsque le plan regarde l'est et le sud. Nous croyons inutile de répéter ici ( n^ SIO ) que, si le cadran est dessiné sur une feuille trai\3parente , les mêmes lignes horaires , vues au verso, sont celles qui conviennent au eadran construit sur la face verticale opposée , c'est-à-dire sur celle qui regarde le septentrion. Le style, après avoir percé le plan, doit alors être prolongé de l'autre part ; et porame on ne marque que les heures où le Soleil peut éclairer le cadran , le centre se trouve alors être en bas, les lignes horaires et le style vont en divergeant vers le haut. Bu reste , si le cadran regarde le sud , pour deux azimuts égaux , l'un oriental , l'autre occidental , les cadrans sont les mêmes , excepté que l'un offre à droite les angles qui , dans l'autre , sont à gauche ; en sorte que notre feuille transparente donne au verso ce second cadran , en changeant les numéros des heures du matin en celles du soir.

On voit que la sonstylaire est à droite de la méridienne quand te plan décline vers l'ouest ; alors ce n'est qu'après midi que le vertical du Soleil est perpendiculaire au cadran ; un axe normal y projette alors une ombre verticale. Quand le cadran décline vers l'est , la sonstylaire est à gauche. G'est un moyen facile de distinguer l'une de ces circonstances de l'autre , lorsque la déclinaison du mur n'est pas grande.

Gomme les lignes horaires du cadran horizontal, a cause de leur divergence, rendent les points de section avec l'horizontale GB don- Irux , et éloignés pour de certaines heures, on remédie a cet incon-

868 ONOMONIQUE.

tétilent par la constriiclion suivante^ qoi d'ailleurs coririent à tout lei cadrans plans.

Suit pria un poiiit qaelcOti(}tië î (fig. 74) sut la ligne horaire dé XI*, par etemple; menez par ce poiùt i une droile cf/* parallèle ft SV, qui est distahte de 6* ; prenez les longueurs i k^^ik, id=s^if,, . . et rous auret des points A , ct^ .... Sur les lignes horaires de X\ IX*. . • Gela résulte de ee que les plans horaires de XI* et de V* sOni i angle droit , comme étant distants l'un de l'autre de 6* ou 90<>. Tout plan qn'on nlènerâlt parallèlement à celui de y* bouperait donc, 1<* celui de XP à angle df*oii^ i<> le cadran , selon ude parallèle dfk S?; 8** enfin, les plaHé hnraifëft suivaht des parallèles au style, c'est-à-dire selon des droites également inclinées sUr ftt aux points dy k, i^f,. ,• On Toit donc que la perpendiculaire menée en t au plan de XI* est dans notre planfAd, et rencontre tes plans horaires dont Tinclinaison sur celuici est la même , etl des points fjui déterminent des triangles égaux , puisque tout est égal des deux côtés du plan de XI*. Partant, etc.

Lors donc que, par un moyen quelconque, dans iout cadran plan , on aura Irotfté les lignes horaires comprises dans l'espace de 6* oonséeutites y cette dernière constrtietion donnera les autres en deçi et ^àudèlfl.

Second procédé. Ob a vu (p. 8K8) comment la direction delà soustylalre résulte de l'obserTation de deux ombres égales, tne verticale quelconqtie peut être prise pour méridienne, et l'angle formé par ces deblc droites est ainsi connu. Cela posé, la verticale lk{ fig. 69) étant la ligne de raidi , et la droite ZD faisatit l'Angle AZD qu'on vient d^ohtenir, ZB est la soustylaire. Tracez une horizontale arbitraire 6B, et une verticale BC , par le point B de section avec ZD ; enfin l'oblique Z6 faisant l'angle GZA complément de la latitude. Décrivez du centre A Avec lé rayon AG une circonférence qui coupera BG au point C , la droite AC donnera l'azimut CAD du mur ; enfin, prenant sur 6C (fig. 74) perpendiculaire à SC la longueur BC = BO, vous avez l'angle B9C du Ityle avec la soustylaire. Le reste de là construction va de suite, comme page S60.

Ceci ne suppose pas qu'on connaisse la déclinaison du ninr, ni la direOtion de la méridienne horizontale AO (fig. 74), et ibème déterminé ces deux choses. Bu reste , il est quelquefois diflicile d^obtenir deux ombres égales , surtout quand le mur difière peu du méridien* Alors il faut opérer comme il suit :

Rxet une tige PQ (fig. 69) sur le mur, et marquez le pointrH d'ombre portée, à midi précis, pnr l'exlrcmilé libre Q ; la verticale ZN est la

GNOMONtOtTE. 36^

méridienne y chaque jour l'ômbrc de Q devntit ëc pOHer A itiidi 8uf * quelque point de ZN (li® S06). Menet l'hoHïontale QD perpéndibulaire nn niii^ ^il^elle rëncbntrë en D , et par ce poitit tracez sur le mur l'ho-^ rizontale DG et la Tertîcale DG; faites DG= QD : la droite GA donne ]*aziitiiit GAt) j pTiis prenez Afc =î AG , faites l'ahgle G égal fl la lati- (ude, TOUS aurez le centre 1, puis la souslylaire ZD. Le teste Comme ci-deVant. L*aigijille s'àppùie ïur les points Q et Z.

C'est aussi à l'aide d'un point d'ombre à midi qile nous avons en-- Ecigné (n<* SIS) â fixer le style dan^ \t\ dlfeCtiori conrehablé ; oit peut encore Se servir du derniei* moyen pour âtteindi'ë à ce but. Ces divers procédés se suppléent suivant lôs csls, ou se vérifient mutuellement.

Troisième procédé» Lorsque le cadran a de grandes dimetiàions, ttihsi qu'on en voit sur des murs où l'on n'indique que deux ou trois heures, ces constructions n'ont plus assez d'exactitude. On |Jtéfèi'e calciiler l^s angles que forme la méridienne ou la sou&tylaife âveo les diverse^ Il crues hôi^alres.

S 17. Trouver Vazimut d'un mur, ou Vângh dont il décline ben Vest ou Vouest.

La déclinaison d^un mur vertical est l'dngle qu'il forme avec le premier vertical , c*est-à-dlre avec le plan qui passe par le zénith et les poihtA d'est et d'ouest. Cet angle est le complément de l'azimut. Nous . avons déjà donné des moyens (n^ S18) d'évaluer cet angle, soit à l'aide des astres, soit par la boussole ou le déclinatoire , et aussi page S62; nous en exposerons ici trois attires.

Premier procédé. Qu'on trace en avant du tnur , sur un plan horizontal 6I)G (fig. tl), une méridienne BA; eh prolongeant celle-ci jusqu'au mur eh A , et menant par ce point , ëur le cadran , une horizontale BG , l'angle CAD est l'azimut cherché. Pour obtenir le nombre de degrés de cet angle, il faut, à l'aide d'bue échelle formée de parties égales très-serrées , mesurer BA , une longueur quelconque GA et là distance GB. La construction , ou là résolution du triangle GAB , donne aisément l'angle A. On mesure ensuite une autre longueur BA sur l'horizontale GB, et l'on opère de même pour le triangle BAB. Le premier résultat obtenu est vérifié qtiand les deux angleë BAB, DAG réunis valent 180<».

Si l'on a l'heure précise de raidi , notre opération se réduit à suspendre un fil à plomb IB en avant do mur et à marquer l'ortibre BA portée sur le plan horizontal. L'angle GAB est celui qti'on demande. Si^ par exemple, le style a d'abord été fixé dans la situation SB qiit

564 GNÛMONIQUE.

'lui confient (fig. 71), à Faide des moyens décrits (n» SU) » pa mènera 9 sur le plan , l'horisoataleBGy la yertioale SA , qui est la méridienne; puis joignant , par une horizontale DA ^ le point A au ttjla, l'angle GAD est déterminé.

Second procédé. Observes l'heure à laquelle le Tertical du Soleil-est perpendiculaire au plan du cadran , ce qui arrire quand l'ombre horizontale DO (fig. 71 ) d'un fil à plomb DI est perpendioalaire à oe plan, ou que les angles GOD , BOB sont droits. Mesurez alors l'angle ODA (n" 215) formé par l'horizontale DO aveo la méridienne DA, ou calculez cet angle, qui est l'azimut du Soleil au même moment. L'aiimut du mur est le complément de cet angle ODA.

Cadran sans centre. Quand on ne Teut indiquer que deux ou IrcHS heures par des lignes très-écartées , ou lorsque le plan du cadran di^ fère |)eu du méridien , le centre S (fig. 74) est très-éloigné et ne peut plus être employé à mener les lignes horaires. Dans ce cas, on doit encore tracer la méridienne verticale AS, l'horizontale GD, l'angle 6A0 dtf l'azimut , l'angle AGS de la latitude; enfin, prendre AOss AG, tracer la yerticale OB , qui donne le point B de la soustylaire , et décrire un cadran horizontal dont est le centre et AO la méridienne ; ce cadran donne sur GD un point de chaque ligne horaire. Hais cette construction , en tout la même que n" 816 , ne détermine plus les lignes horaires ni la soustylaire, parce que le centre S est supposé trop éloigné pour se trouver compris dans l'aire destinée au cadran. On a alors recours à l'un des trois procédés qui suivent.

I. Henez une seconde horizontale et recommencez la même série de constructions ; seulement l'analogue de la longueur AG ne sera plus une arbitraire, mais sera donnée par la rencontre de cette horizontale avec la direction SG , qui est connue, puisque l'angle G est égal à la latitude du lieu. Ces constructions étant exécutées pour la 2* horizontale, vous aurez ainsi un second point de chaque ligne horaire et de la soustylaire, et même un second point C pour déterminer le style, qui est un trapèze , comme on l'a dit page S58. Dans ce procédé , on est obligé de construire deux cadrans horizontaux auxiliaires, savoir, un pour chaque horizontale.

H. On peut aussi user du moyen donné en Géométrie, pour mener, par un point donné D (fig. 7S), une ligne qni aboutisse au point inconnu S, où concourent deux droites données Aa, Gg prolongées, oe point S étant très-éloigné. Soient donc SA la méridienne verticale-, Taugle SGA égal à la latitude , GD une horizontale , enfin D un point de la souslylairc ou d'uj e ligne horaire, déterminé comme il a été dit

GNOMONIQdfi. 5619

ci-devant. Il s'a^t de mener une droite du point D an centre S, regardé comme très-ëlolgné et inconnu.

Menet l'horizontale quelconqne gd, pnis 6a et sa parallèle gi, enfin Sa, et, par le point «, sa parallèle id; d sera an second point de la ligne chercliée DctS. En effet , quand de S on tire trois droites SG , SD, SA , et deux parallèles 6D , gd, puis deux autres parallèles 6a, gip on a les proportions

GD : gd :; sa : Sa :: sg : Sy :: ca : gi.

Ainsi, les triangles GaD, gid sont semblables, comme ayant un angle égal G =: ;, compris entre des côtés proportionnels , qui sont les rapports extrêmes de nos proportions : ainsi ù/est parallèle à dû.

m. On peut aussi employer le calcul à la détermination des angles.

S18« Nous terminerons cette exposition par deux remarques importantes.

1^ On ne marque sur le cadran que les heures où le Soleil y peut répandre sa lumière. La parallèle à GD (fig. 74) , menée par le point 0, donne, sur le cadran horizontal , cette limite des lignes horaires ; car le cercle horaire mené par cette parallèle et le style ne coupant pas l'horizontale GD , l'ombre du style n'est pas projetée sur le mur à cet instant. On a coutume de placer la méridienne à peu près au milieu de l'espace réservé au cadran , quand l'azimut n'est pas très-grand ; mais quand le mur regarde à l'ouest ou à l'est presque directement , on doit placer la méridienne près du bord de cet espace.

S<» Ordinairement le style est une plaque triangulaire ou une barre dont on rend une arête coupante , ou qu'on termine par une pointe pour servir d'aiguille ; mais si l'épaisseur du style conservait deux arêtes vives, dont l'orientale donnerait, par son ombre, les heures du soir, et l'occidentale celles du matin , il faudrait tracer deux méridiennes écartées de l'épaisseur du style , et décrire deux cadrans , l'un pour le soir, l'antre pour le matin. C'est ce qu'on nomme un cadran à deux centrée.

Courbes des signes du zodiaque. L'ombre de Textrémité du style décrit chaque jour une courbe sur le cadran ; on marque souvent celles de ces lignes qui se rapportent aux époques 1^ plus remarquables de l'année, en sorte qu*on puisse y lire le mois et la date. Voici le moyen de tracer ces courbes.

Du sommet E de l'angle droit SED (fig. 75), décrivez l'arc aJ avec un rayon quelconque; de part et d'aiilre du point D, prene«

9#t GNOMONIQUE, "

Bf es: Jhi' =:s %%^ $8'|d($clin. an Soleil daps les irppiqiiet) prepn 4p même 06 = D^ = âO^ KK, ])c=I)c' = !}<> 39" : ce «pp» 1^ déoliq. d^l Sqleil à ffoa fiptréta ^ans |a| ^iyers i^jg^nç? qu'oft voit iTY^rqaés , fig, 75, spr lef rayons correspondants. En cpnsultaot V4nn,Haire^ on p^ut ^o raèmqfp^rqn^v desdiTipipnç qui répondent aux moitié?, aux iierf, , , , • dps lignps du zodiaque. On foripera ainsi un^ ftgiire qu'on noinqi^ Trigone des signes, fig. 75^ dont Toici l'usage :

Appliquez la droite SET le long de l'aiguille , £ étant son extrémité, et faites tourner le trigone autour de l'aiguille. Il est clair que la droite ED décrira un plan perpendiculaire à ST, c'est-à-dire i'équateur même^ que le Soleil parcourt aux équinoxes :£b et Y: à cette époque, l'oqibrp 4p point £ suivra la direction ED. Ainsi, ces deux jours ^ l'opibre tracera une droite perpendiculaire à la soustvlaire , droite qu'on nomme VÉquinoxiale, Une soie fine, fixée au centre E , tendue'ct rasaiti )ç trigope le long de ES , ira marquer st^ |e cadran ^nt^f^t de points qu'on Toudra de cette ligne , en faisant tourner le trigQi^e 9^• tour du «tylp.

Dp mêipe , le jour du splstipe d'été , le Soleil décrit le tropiqiie Q, distant dp I'équateur de 28^ 28'. Ainsi , ce( astre se trpuve dans le prolongement du rayon à^, et J'ombre de £ suit cette même direc|ion. £n fuisapt toiirper le tngone autour du style, et maintenant la soie tpndue le long dp Eo; son prolongement im de n)ême ii^arq^pr suc lo cadran diyers points d'ombre portés par £. Ces points étant unis par un trait continu, on apra la pourbe décrite par l'ombre de £, le jour du solstice d'été. Il en faut dire autant des autres époques de l'annéei •t si le cadran a une assez grande étendue , on pourra y marquer les dates de 10 ep 10 jours , ou de 5 en 5, .... et les principales fêles im« mol^iles, Ces courbps sont des hyperboles (n° 206).

Coipme il peut être embarrassant de faire mouvoir le trigone antour du ityle, on préfère recoucher le style sur le psidran , en tournant autour d'une des lignes horaires, celle de I\ par exemple. L'angle CSI (8g. 74), formé dans l'espace par le style et la ligne de I*, est censé connu, et l'on peut construire sur le plan cet angle CSI. C'est à peu psès ainsi que, dans la fig. 74, nous avons fait tourner Ip style C^B avtoHr de la soQs(ylaire SB. Le trigpne s'applique ensuite sur le plfin mèmA du cadran , le long du style recpuché , et l'on marqup sur la Ugne de 1^ les prolongements dos divers rayons du trigone. On en fait autant pour les autres lignes horaires, et l'on joint par une courba 'tous les points relatifs a un n^ème signe i d'âpre leurs dates solaires f^eolives.

GNOIIONIQUE. W

Obseryes que , 49ps l'oMge ^a trigone (fig, 7B}^ lu r^glettp 8T doit être app]i(|uée }p long de Tarête du style, }e pQJnt £ étant ^^v l'ex-» tréroité. $i le cadran est yertical , T£ coïiipîde avec cette arête et S{J en ett le prolongement ; s'il est horizontal ^ c'fi«t au coQtrfûre SE qui se couche sur l'arête et c'e^t TE qui la dépasse,

S19- Méfidienna dit iemfs moyen. Noos avons vu qi|p Yhefêfe vn^fy ou solaire^ marquée sur pn cadran, diffère de l'heure «loyentM gi}0 don^f^ pnp bonne Jiorloge conTenableiuept réglée {^9 4S}p Qn p^uf indiquer cefte difiér^npe spr )ç8 cadrans solaires. A qo| pgjst, qq y trace les lignes horaires de 4' en 4' (leppis }6' av^pt pîidi j||9qM'à }^' après^ et aussi dans celte même durée , leA courbes des çigpes 4f9 IQ en 10 jours. Il est iniitile de dire que ces constructions nç sont praticables que sur les cadrons de grandes dimensions. Si l'^tpniiue le peir-> met^ on deyra tracer des lign^ horaires de H en V, et les courbes d^ signes de 5 en 5 jours ^ et ipème de plps rapprochée^ epcpre, p'il s^ peut. Cela fait , en consultant la Table Vlll des différences entre mi()î yrai et midi moyen , pour chaque jour de Tannée (n^ 47)^ on marquera sur chacune des cpurbes les deu^ points du midi moyen. Ces points des diverses courbes , unis par un trait confinu , formeront la courbe mé^ ridienne du temps moyen, laquelle a la figure d'un 8 resserré, qpi yf^ d'un tropique à l'autre , et qui est coupée en quatre points par la m^ ridienne du cadran | aux époques où le temps vrai s'accorde avec 1^ teipps moyen. Deux de ces points de section sept si rapprochés qu'iU paraissent n'en former qu'un seul; On peut yoir cette courbe dans les figures de V Encyclopédie méthodique ^ où l'on en a dessipp une du grande étendue. Chaque fois que l'ombre de l'extrémité du stylp atteint cette oQprbe dans la brapche qui répond au signe actuel, il est midi moyen.

Supposons donc qu'on veuille piettre une montre à l'heure moyenne le 25 septembre; en évaluant^ à cette date, l'intervalle qui mesurq la différence du midi moyen au midi vrai , sur les deux méridiennes du cadran , ou trouve que le Spleil est ^n avance de 8' : si donp l'Qpibril indique 10 heure», on en conclut qu'il n'est en effet que 10^ moins 8' de temps moyen. La Table Vltl donne avec plus de précision cette diSë« rence , et rend inutile la méri|)ienne du temps nioyen i on y lit qpe ^ le 2$ aeptpmbre , le Soleil avance de 8' 15".

S20. Trouver Vheure sur un cadran solaire à Vaide de h luntiff^ de la Lune^