ÉLÉMENTS DES ORBITES

comme les planètes, soumise aux lois de Kepler. Voilà donc nue nou< Telle preuye de son mouvement, jointe à tant d’autres déjà acquises.

Les satellites de Jupiter, de Saturne et d’Uranus obéissent à ces lois dans leurs révolutions autour de leur planète j la Lune y est pareillement soumise (n** 96). Ces théorèmes forment donc le code qui régit tous les mouvements de Tunivers.

91. On nomme Éléments des orbites des planètes, le petit nombre de données nécessaires pour déterminer la situation de ces corps à un instant quelconque. Ces éléments sont au nombre de sept : deux déterminent la situation absolue de l’orbite, ce sont la position de la ligne des nœuds et l’incliiiaison de son plan sur l’écliptique; les cinq autres éléments se rapportent au mouvement dans l’orbite même, et sont, 1° le temps do la révolution entière; 2° la moyenne distance nu Soleil ou le demi-grand axe; 8° l’excentricité; 4° la situation d’un des sommets de l’ellipse (le périhélie); 5° enfin le lieu de la planète dans son orbite à une époque donnée. On sent , en effet, qu’avec ces conditions, et d’après les lois générales du mouvement des corps célestes , on pourra assigner à chaque planète la place qu’elle occupe dans l’espace à un instant déterminé.

Nous donnons à la fin du l’ouvrage , en six Tableaux , les valeurs numériques relatives aux planètes et à leurs mouvements, avec le degré de précision que comporte la perfection actuelle du la théorie et des observations. Nous y avons développé les conséquences de ceux de ces cléments dont l’importance nous a paru plus grande, eu égard au but de cet ouvrage. Ces tableaux donnent le lieu moyen des planètes à un instant désigné, à l’aide d’un calcul semblable à celui que nous avons fait pour le Soleil et la Luue(u°’ 41 et 59).

Par exemple, ou demande la longitude moyenne de Jupiter le 1" janvier 1829. Je sais qu’au 1”'' janvier 1801 cet arc est de 112° 21, et que la durée de la révolution est de 4832',6 ; je fais cette proportion, qui fait connaitre Tare moyen décrit en 28 années :

Si 4333;, 6 donnent 360°, combien 38 fois 36S/,35 donnent-ils ?

Je trouve 849°,77, qui , ajoutés à 112°, 21 , fait la somme 961°, 08, c’est-à-dire deux révolutions entières et 241°,08. On a donc : long, uioy. =24l°,98, ou environ 8 signes. On peut aisément trouver la latitude, les nœuds, l’asc, dr., la décl., etc., et l’un corrige ensuite ces résultats moyens, qui supposent l’astre vu du Soleil, et animé d’un

moaTcment ciroolairc et uniforme. C’est ainsi que se forment les vnleurs indiquées dans la Conn. des Tems de chaque année, afin d’épargner aux marins et aux astronomes l’ennui de ces calculs ; mais ce que nous en disons ici suffit pour trouver à peu de chose près le lieu de chaque planète sur la voûte céleste. Pour faciliter ces recherches, nous donnerons ici ce lieu pour le 1°' janvier 1830, date qu’on prendra pour point de départ, plus commode que l’an 1801.

Lieu moyen des planètes dans leurs orbites, le t" janvier 1830.

Mercure, 295» ou 9* 25 Jupiter, 27^» ou 9* 3»

Vénus, 61 ou ,2. 1 Saturne, 130 ou 4. 10

Man, 206 ou 6. 26 Urauus, 802 ou 10. 1

La position sans cesse variable des planètes relativement aux étoiles fixes , présente des particularités quelquefois dignes de remarque. Tantôt elles sont éclipsées l’une par l'autre, ou par la Lune; tantôt elles oecultenl des étoiles , ou se placent près d’elles sous certaines configurations. Le 17 mai 1787, Mercure fut caché par Vénus près de leur conjonction inférieure; le 9 janvier 11591, Mars passa sur Jupiter; le 30 octobre 1828, la Lune a occulté Saturne, etc. En comparant la position des orbites et leur étendue, on conçoit qu’aucune planète ne peut passer devant la Lune; que Saturne ne peut occulter Jupiter, ni celui-ci Mars, et que Mercure et Vénus peuvent seuls traverser le disque solaire.

La réunion de plusieurs planètes en un même lieu du ciel, qu’on a nommée conjonction, offre aussi un spectacle assex curieux. Le P. Martini rapporte que, plus de 2500 ans avant notre ère, on a observé en Chine, sons rempercur Tchcoun-Uio, une conjonction de cinq grandes planètes. Le 15 septembre 1186, on en vit une semblable entre l’Épi de lu Vierge et a de la Ualance , dont l’Astrologie présagea do grands désastres; mais révénement n’a pas justifié cette prédiction. Laplace a corrigé les mouvements séculaires de Jupiter et de Saturne , en se servant d’une conjonction de ces planètes observée dans la Vierge par Ibn-Junis, le SOuctuhi e 1007. On a remarque que leSO octobre 1801, le canon annonçait à Paris le retour de la paix , en ineme temps qu’au ciel un voj ait la Lune, Vénus, Jupiter et Saturne réunis près le Coeur du Lion.

Du reste, ces conjonctions approchées sont assci rares, et Lalande a calcule que 17 mille millions d’années séparaient les époques des con* jonctious des six grandes planètes cuscmble, en n’ayant pas même égard

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anx heures. Kepler ayant remarqué que l’an 748 de Rome, 40* de l’èrc Julienne, Jupiter, Mar* et Saturne étaient dans les Poissons en février et mars, et qu’en mars, avril et mai Vénus et Mercure étaient en conjonction avec le Soleil , se crut autorisé à rapporter à cette année la naissance de J.-C.

92. Nous sommes sans doute condamnés à ignorer longtemps la cause du mouvement imprimé aux planètes. En considérant que ces corps se meuvent tous d’occident en orient, aussi bien dans leurs orbites que sur leur axe de rotation; qu’il en est de même de leurs satellites; enfin, que les planètes s’écartent peu de l’écliptique, H. de Laplace a calculé qu’i7 y a plu» de 137 milliard» à parier contre un, que le* mouvement» de» planète» et de leur» tatellite» ne tant pa» l’e/fet du hasard, et qu’ils ont été produits par une cause commune. Il n’y a aucun fait historique, même parmi ceux qu’on regarde comme le mieux constates, qui soit aussi probable que ce fait ph}sique. 11 faut donc accorder qu’il existe une cause originaire qui a lancé toutes les pla- ' nètes dans l’espace, sans qu’on en puisse assigner ni l’époque, ni la nature; mais on peut, par les lois de Kepler, remonter a celle qui a changé cette impulsion en un mouvement de révolution périodique, et c’est ce qui nous reste à exposer.

Gravitation univertelle, Pemnteur, Précettion, Nutation, Marées, etc.

98. Si une impulsion agit sur un corps quen’arrèteaucunerésistance, que n’anime aucune autre force, le mouvement sera éternel, uniforme et rectiligne, c’est-à-dire que le corps décrira une droite indéfinie avec une vitesse constante. Celte vérité n’étonne que ceux qui ignorent les cléments de la Mécanique. Environnés par mille causes qui modifient les mouvements que nous imprimons, nous nous habituons à regarder ces causes comme inséparables du mouvement, et nous avons peine à nous soumettre aux abstractions qui rendent à la matière son inertie. La pesanteur, qui ramène tous les projectiles vers la Terre, en accé-‘ lérant leur chute ; l'air, qui résiste au mouvement dans tous les sens et diminue la vitesse, sont des obstacles qui pourraient ne pas exister. L’action de ces puissances, lorsqu’elle a lieu, doit être examinée à part et soumise aux luis qui lui sont propres.

Si donc les planètes circulent dans les ellipses , ces corps ne peuvent être mus de la sorte en vertu d’une impulsion unique ; il faut qu’unê

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puissance soit sans cesse en activité pour les écarter de la direction rectiligne et les ramener vers le Soleil , dont elles s’éloigneraient à toute distance , sans cette cause qui balance leur force centrifuge.

Mais quelle est cette puissance? La Mécanique, qui apprend à déterminer le mouvement qu’impriment à un corps des forces connues , enseigne aussi à trouver réciproquement les forces qui sont capables de produire un mouvement donné : c’est le cas actuel. Le mouvement des planètes est connu avec [exactitude , et les lois de Kepler (n° 90) en sont l’expression. Interrogeons donc cette science pour parvenir a déterminer la force qui retient les corps célestes dans leurs orbites.

Par la première do ces lois, les aires décrites par le rayon vecteur sont proportionnelles aux temps : la Mécanique nous permet d’en conclure que les planètes sont soumises à l’action d’une force qui les potuse sans cesse vers le Soleil.

Par la deuxième, les orbites sout elliptiques ; on en infère que cette force croit en raison inverse du carré des distances.

Par la troisième, enfin , on compare les temps des révolutions aux grands axes des orbites j et il s’ensuit que cette force a la même intensité pour toutes les planètes supposées à égales distances du Soleil; c’est-à-dire que si cette puissance agissait seule sur toutes, à cette distance, elles se précipiteraient vers cet astre avec la même vitesse, quoique ayant des masses très-différentes. Ceci revient à dire que cette force animerait également chaque particule matérielle de ces corps; une masse double recevrait une impulsion double pour acquérir la même vitesse. Cette force a! donc proportionnelle à la masse.

Ainsi les planètes , outre rimpul^ion primitive qu’elles ont reçue , sont encore portées vers le Soleil , à chaque instant, par une puissance centrale proportionnelle à leur masse, et qui croit en raison inverse du carré de la distance; précisément comme si le Soleil était le centre d’une al/roclton indéfinie dans tous les sens, dont l’intensité agirait en raison directe des masses et inverse du carré des distances. La cause de cette puissance , la manière dont son action se transmet, nous sont entièrement inconnues ; mais nous pouvons renoncer sans regret à la comprendre et à la définir, puisque ses lois nous importent seules , et que, par la dénomination d’attraction que nous lui avons imposée, on ne doit entendre que l’expression du fait même dont nous venons de rcconnaitre l’existence.

94. Les calculs sur lesquels sont établies ces conséquences des lois de Kepler, sont du domaine do l’Algèbre; ils passent les bornes que

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HÜ

nous nous sommes imposées , et nous renverrons à ce sujet à notre Afécanique, n“ 117. Cependant, pour lever tous les doutes, nous donnerons quelques éclaircissements tenant Heu de démonstration, pour faire concevoir l’existence de la force attractive.

Soit en H (fig. 28) un mobile qui décrit uniformément la droite MB; imaginons qu’arrivé en A il reçoive un choc qui le portqvers S, en sorte qu’il soit animé de deux forces, l’une selon AA', résultat de son mouvement actuel, l’antre selon AS , produite par un choc. On sait, par les principes do la Dynamique, que ce mobile prendra une route AC intermédiaire , qu’on détermine par cette construction : prenez les parties AB et AP telles que, si le mobile n’eût été sollicité que par l’une ou l’autre impulsion, il eût décrit ces parties dans des temps égaux ; achevez le parallélogramme ABCP ; le mobile , par l’action simultanée des deux forces, décrira la diagonale AC et parviendra en C dans le même temps qu’il eût employé pour arriver eu B, ou on P.

Le mobile décrira doncuniformément la droiteADavecla vitesseAC; mais si en C une nouvelle impulsion le pousse sur S, le mouvement changera encore, et un 2° parallélogramme DQ donne la direction CE et la vitesse; une 3‘ impulsion ER produit un 3° changement, et le mobile décrit EF, et ainsi de suite. Le corps parcourra donc un polygone HACEFG. . . , en vertu d’une impulsion primitive , modifiée par une suite d’impulsions dirigées vers le centre fixe S, et exercée à des intervalles do temps égaux.

Les triangles CDS, CES, ayant même base CS et même hauteur, sont équivalents; il en est de même des triangles ACS, CSD, puisque la vitesse CD a été prise = AC, et que le sommet S est commun : donc le triangle ACS = CSE. 11 faut donc en conclure que les aires ACS, CSE, ESF. . . , décrites par le rayon vecteur, sont égales, quelle que soit d’ailleurs l’intensité de ces impulsions centrales. Supposons maintenant qu’elles agissent à des temps plus rapprochés , le polygone prendra des côtés plus petits et plus nombreux. Lorsque l’attraction s’exerce oontinuellemcnt, on est conduit , conformément à la première loi do Kepler, à la notion du mouvement curviligne.

Que les forces centrales cessent tout à coup leur action , le mobile décrira, avec une vitesse constante, le prolongement indéfini du dernier côté du polygone. Ainsi, à l’instant même où la force attractive serait détruite, le corps s’échapperait par la tangente, en reprenant le mouvement rectiligne et uniforme.

Quant à la distance AS , CS , ES. . . , du mobile au centre S (fig. 28), après chaque unité de temps, elle dépend de l’intensité des impulsions DRaaOOUFBlE, 10

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suocessivei représentées par AP, CQ, EK. ... : c’est ce qu’il faut dé- Telopper. Si les distances au point S demeurent égales , les triangles ASC, CSE. . . . étant isocèles et égaux , auront des bases égales, puisque le sommet S est commun. La vitesse so conservera donc la même, et le corps , mû uniformément, arrivera en A, C, £. . . , se retrouvant toujours dans le même état par rapport au point S. Les impulsions AP, CQ, ER. . . . seront donc égales. Ainsi , lorsque ces forces centrales agiront d’une manière continue, le mouvement sera circulaire et uniforme.

Lorsque les deux puissances AB et AP croissent proportiounelleraent, la direction AC du mouvement demeure la même, parce que la diagonale du nouveau parallélogramme coïncide avec AC : la vitesse croit alors dans le raèiiio rapport que les forces et conserve sa direction. Si l’une des forces croit seule, ou dans un plus grand rapport que l’autre, la direction du mouvement doit visiblement se rapprocher do la première. On conçoit donc que les intensités des impulsions successives peuvent varier do manière à forcer le mobile à s’approcher ou s’éloigner de plus en plus du point S. Alors le mouvement ne sera ni circulaire, ni uniforme.

Supposons que la force centrale devienne plus grande à mesure que les distances AS, CS. . . diminuent; les côtés AC, CE. . . s’appro- , cheront de S, et la vitesse augmentera do plus en plus; mais puisqu’elle acquiert plus de rapidité, les deux côtés du parallélogramme croissent ensemble; et lorsque arrivés au périhélie F, le rayon vecteur SF est perpendiculaire au mouvement FG, la tendance às’éloigner du centre S l’emportera sur l’attraction , parce que la vitesse aura crû dans un plus grand rapport que la force centrale; la diagonale FG so rapprochera du côté extérieur, et le mobile s’éloignera de S. C’est donc en F, où le mouvement est perpendiculaire à SF, que la vitesse est la plus grande , et la distance moindre ; le corps commence ensuite à s’éloigner et à se ralentir. Ces effets ont ensuite lieu en sens inverse et se continuent jusqu’à l’aphélie, où la vitesse atteint son minimum, et où l’attraction, quoique la plus petite, devient cependant prépondérante. Le rayon vecteur opposé à SF est de nouveau perpendiculaire an mouvement ; le mobile commence à se rapprocher et à accélérer sa vitesse.

96. On conçoit maintenant pourquoi les planètes se rapprochent et s’éloignent du Soleil, quoique l’attraction semble devoir les précipiter sur cet astre. Elles tendent , il est vrai , à s’en approcher par la gra-

DigitlZ'

fillAVITATION.

Tilalion , mais leur mouTcment de projection tend à le* en éloigner. Lortqn’une planète est parvenue à son périhélie , l’attraction atteint son masitnum; mais a mesure qu’elle s’est approchée, la vitesse s’est accrue, et en ce point cette vitesse est devenue assez grande pour l'emporter sur l’attraction : c’est du moins ce qu’on démontre par l’analyse. Le Soleil attire donc davantage précisément quand la vitesse est plus grande et la distance moindre; mais la force centrifuge augmente plus par la vitesse acquise, ce qui tend à éloigner la planète. Par cette raison, l’éloignement continue jusqu’à l’aphélie, où la vitesse est réduite à son minimMM, aussi bien que l’attraction; mais celle-ci devient à son tonr prépondérante, par la même raison qui l’avait rendue la plus forte au périhélie. ^

Cette propriété d’attirer les corps appartient également aux planètes , puisque la réaction est égale et contraire à l’action ; ainsi elles attirent le Soleil autant que le Soleil les attirc< En outre, celles qui ont des satellites attirent ceux-ci suivant le même principe, puisque le mouvement de ces Lunes est réglé par les mêmes lois. Ainsi cette attraction s’étend à tous les corps planétaires. Nous voilà donc arrivés, sans le secours d’aucune supposition , et par l’examen raisonné du mouvement des planètes, à cette loi générale que le grand Newton a découverte : Tou» les corps céleste» s’attirent dans l’espace en raison directe de» masses , et réciproquement au carré de leur distance.

96. La pesanteur n’est même qu’un cas particulier de ce théorème; elle est une attraction que la Terre exerce snr tous les corps, et qui embrasse la Lune dans sa sphère d'activité. Un projectile lancé avec force horizontalement et d’un sommet élevé, va retomber au loin sur la Terre; il s’éloignerait davantage, si l’impulsion était plus grande. En la supposant d’environ 1200 toises par seconde, abstraction faite de la résistance de l'air, le projectile ne retomberait plus; circulant perpétuellement dans l'espace, il deviendrait un satellite de la Terre. Plus on s’éloigne de ce globe, plus son attraction diminue. Pour concevoir que la Lune soit un semblable projectile, il ne faut que lui donner l’impulsion ci-dessus, après avoir porté ce corps à la région lunaire. Ce qui démontre cette assertion , c’est qu’elle supporte l’épreuve du calcul.

En effet, la Lune ens’avançant dans son orbite CEF (fig. 28), s’éloigne à chaque instant de la tangente GC', EK'. . . .La force attractive qui l’écarte de cette tangente , la porte vers la Terre T de la quantité DE ou CQ : c'est la hauteur dont la Lune tombe vers uons, et qui équi-

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Tant* à IBp' par minote (15>"',098), précisément égale à celle dont h"» corps graves tombent ici-bas dans une seconde. Voyons maintenant si ces deux effets peuvent être rapportes à une cause unique, c.-à>d. si l’attraction terrestre agissant sur la Lune doit la faire tomber de par minute.

L’intensité de cette force diminuant comme le carré de la distance augmente, à la hauteur de 60 rayons terrestres, elle doit être 3600 fois moindre , c.-à-d. qu’iei l’attraotioii est 3600 fois celle que la Lune éprouve. Hais on s;iit que la pesanteur fait tomber les corps d’une hauteur quadruple dans un temps double, d’après la nature des mouvements uniformément accélérés ; ainsi l’espace décrit dans la chute doit , sur la Terre , être 3600 fuis plus grand dans une minute que dans une seconde , qui en est la 60* partie. Cet espace est donc 8600 fuis son correspondant dans la région lunaire; il est ici de ISr* par seconde : donc là il sera de 15^' par minute ; ce qu’il s’agissait de rcconnaitre.

97. C’est par la même raison qu’en s’élerant sur de hautes raont.igneS) la gravité décroît plus que ne l’exigerait le simple accroissement de la force centrifuge (page 38, 1**). Si le globe lunaire a été originairement fluide, supposition déjà admise pour les planètes et pour la Terre, ce fluide a dû prendre In figure d’un globe que rattraction terrestre a allongé dans les deux sens opposés , sous la forme d’une sorte d’ellipsoïde ^ mais le calcul apprend que la face qui est loarnéc vers nous a du être 4 fois plus allongée que rautre. La Lune est donc un sphéroïde irrégulier, et par l’excès de poids, l’hémisphère qui nous regarde a dû retomber saus cesse de notre côté. Telle est rexplicatioii

* Nousiâvons (q*> 5 a) que U Lune met a*/, 3 a» à accomplir ta rtvolulionrio ray^on de aon

orbe est 6o fuis celui de notre globe. En multipliant 6o par % fois 3 et -, on a 377 ray. terr .

pour la circonférence décrite ;dirUaot par *7/, 3 a», on trouve que la Lune parcourt chaque our i 3,8 rayons. Multiplions par 1^33 pour réduire en lieues, ci divisons par (nombre de minutes en a^A), il vient 13,73 lieues, pour Tcspace moyen CE que décrit la Lune chaque minute (fig. 38.) Cet espace n'csl que le 4 o millième du cercle entier, et peut être conwdérc comme égal à sa corde, qu’on sait être moyenne prop. entre le diamètre entier et le segment CQ. faisons donc le carré do i3,73 et diviioiis par le diamètre (iso fois i 433 lieues) , nous avons 0.001 1 lieue ~ CQ. La quantité dont la Lune tombe vers nous en i', est les 11 dix» millièmes d une lieue. Réduisons en pietUen multipliant par aaSo fuis 6, il vient à peu près Cet effet est en partie dû à Faction solaire sur la Lune , qui est dirigée en sens opposé ii celle de la Terre, Pour avoir celle dernière, il faut augmenter l'espace i 5 p* de ce dont Faction solaire I a diminqé. Le résultat, dù aux attractions réciproques de la Terre et de la Lune, doit être partage en raison des masses. Ce calcul de diminution d'une part et d*augmcotalioa de l’autre laisse à peu près le résultat ce qu'il était, oueuTiroo i 5 p*\

INÉGALITÉS. 149

que donne Lagrange de l’action qui ramène vers nous la mémo face lunaire , et probablement la même chose doit arriver aux satellites de Jupiter et do Saturne. Ces intéressants résultats, dus au génie de cet illustre géomètre , sont confirmés par les observations de la libration de la Lune.

98. Il 80 présente une objection importante au principe de la gravitation universelle. Les planètes doivent être mutuellement soumises à une action réciproque qui les écarte un peu du mouvement elliptique, qu’elles suivraient exactement si l’attraction solaire existait seule. Les satellites doivent être troublés dans leur mouvement autour do leur planète , par leurs réactions mutuelles et par la présence du Soleil, ün conçoit bien qne la grande distance de cet astre doit afiEaiblir beaucoup l’effet de son action j mais sa masse immense doit pourtant avoir une influence marquée, selon que le satellite est plus ou moins éloigné du Soleil.

Cette objection, loin d’infirmer notre principe, le démontre an contraire d’une manière éclatante, parce qu’elle explique les inégalités que nous observons. En effet, les mouvements ne sont qu’à peu près soumis aux lois de Kepler, et l’on y reconnaît de légères inégalités lorsqu’on descend dans le détail précis des phénomènes. C’est ici le triorapho de la doctrine de l’attraction , parce qu’elle permet de calculer tons les événements et de prévoir jusqu’aux plus légères perturbations, en nous donnant le secret de tous ces petits écarts. L’exactitude du principe atteint et détermine les plus faibles irrégularités , et s’accorde à un tel point avec les faits, que lorsque le résultat du calcul ne s’est pas trouve parfaitement conforme aux observations, on en a conclu que l’erreur provenait de l’uinission de quelque circonstance dont on avait négligé l’influence; et en effet, une plus grande attention faisait bientôt reconnaître la vérité de cette conséquence.

Les inégalités se rangent en deux classes : les unes affectent les éléments du mouvement elliptique, qui varient avec une extrême lenteur ; on les a nommées inégalités séculaires. Les autres dépendent do la situation mutuelle des diverses planètes , et se rétablissent toutes les fois que ces positions redeviennent les mêmes : ce sont les inégalités périodiques. Ces deux effets sont périodiques l’un et l’autre; mais les premiers ont une période qui s’étend à plusieurs milliers d’années , et ne dépendent nullement des dispositions relatives des planètes ; les seconds sont bien moins lents.

Comme les perturbations sont resserrées dans des limites peu éten-

GIIAVITATION.

'lUO

duel, ou a coutume de rechercher sculemeiil in quantité dont elle* écartent l’aslre d’une ellipse dont un fait varier les éléments par nuances insensibles , selon la loi des inégalités séculaires. Comme ces écarts sont presque insensibles, et qito d’ailleurs ils se reproduisent tour à tour en sens contraire et se font compensation , il est aussi naturel que commode , -pour les calculs , de les négliger d’abord et d’y avoir ensuite égard séparément. Les astronomes se représentent la planète comme oscillant très-près d’un corps fictif qui serait mù régulièrement sur cette ellipse , et les écarts sont le résultat dos inégalités périodiques. Les séculaires, quoique altérant à la longue le mouvement, ne changent cependant jamais ni le grand axe de l’orbite, ni le moyen mouvement; mais les ellipses s’approchent ou s’éloignent de la forme circulaire ; leurs inclinaisons sur l’écliptiquc varient , les nœuds et les périhélies sont en mouvement. Les astronomes considèrent donc les inégalités séculaires comme des causes do variations graduelles des éléments elliptiques qui s’.vjuutcnt très-lentement pour modifier les dimensions et la situation des orbites, et pour chaque instant de la durée, ils considèrent l’astre comme parcourant cette ellipse dans son état actuel.

Par cela seul que les planètes se meuvent dans le même sens, que les orbes sont peu excentriques et peu inclinés , le calcul démontra que les ohangeroonts ne sont pas susceptibles do toutes les grandeurs. Les inégalités séculaires sont.périodiqucs et comprises dans d’étroites limites, et les oscillatinns autour de l'état moyen sont très-faibles. Les 'ellipses ont donc toujours été |>resque circulaires et le seront à jamais. L’éeliptique et l’équateur varient d’inclinaison; mais la coïncidence de ces plans est impossible dans le passé comme dans l’avenir : le calcul prouve même que la variation de l’angle ne peut dépasser i” -12', savoir, l°2r au plus dans un sens, et autant en sens contraire; c’est du moins ce que prouve le calcul.

99. Ces divers sujets ont exercé les plus illustres géomètres; plusieurs ont renoncé à des calculs compliqués où il est bien difficile de faire entrer toutes les causes d’altération. £uler lui-mème était arrivé à des conséquences contraires aux faits observés. C’est Laplace qui a fait voir que toutes les inégalités sont périodiques et très-limitées , quoique dans une durée presque infinie; il a prouvé que le mouvement de Saturne se ralentit quand celui de Jupiter s’accélère, et réciproquement. Cinq fois le moyen mouvement do Saturne est à peu près deux fois celui de Jupiter (le premier est de 2', 007 par jour, le second de 4',986).

INÉGALITÉS

C’est en 1700 qne ces deux planètes avaient leur moyen mouvement. Avant cette époque, Saturne éprouvait un ralentissement et Jupiter une accélération : depuis , c’est le contraire. La période est de 017 ans I (roy. n” 88).

Loin de contrarier la loi de l'attraction , les inégalités des mouvements planétaires servent donc de preuve frappante à cette loi. Tel a été le sort de cette brillante découverte, dit Laplace , que chaque difficulté qui s’est élevée a été pour clic le sujet d’un nouveau triomphe, ce qui est le plus silr caractère du vrai système de la nature. Le calcul met hors de douto cette doctrine; niais les homes de ce Traité s’opposent à ce que nous recourions à une aussi délicate épreuve. Contenlons'Dous donc d’observer la marche des inégalités dans les actions réciproques du Soleil, de la Terre et de la Lune, dont les effets sont pour nous si remarquables et si importants.

100. La Lcsa est livrée à l’action conibinée de la Terre et du Soleil. Si celui-ci était à une distance infinie, son attraction sur la Lune et sur notre globe serait égale, et leurs niouvcnients relatifs ne seraient nullement troublés par cette action cuinmune ; la Lune décrirait une ellipse dont la Terre occuperait le foyer; mais bien que le Soleil soit très-éloigné, lorsque In Lune est en conjonction, elle en est plus proche que nous et plus fortement attirée de 7—, ce qui doit l’éloigner de la Terre. Dans les oppositions , c’est In Terre qui s’éloigne de la Lune par la même raison.

Le Soleil S (fig. 20) attire la Lune L , qui se meut dans son orbite de L en K, D, ... Décomposons celte nttrnolion LM en deux forces, l’une Ll, parallèle à TS , et égale à l’action qu’éprouve la Terre T ; l’autre LA sera donnée en achevant le pnrallélogmmme I \ , dans lequel LM et LI sont les actions du Soleil sur In Lune cl sur la Terre. D.ans la fig. 29, LM surpasse LI; mais il en peut être niilrciuenl, selon que la Lune L occupe tel ou tel lien dans son orbe.

Comme la composante Ll est commune en grandeur et en direction à la Lune et à la Terre, les mouvements relatifs n’en sont pas troublés. C’est en vertu de cette puissance LI que la Terre décrit son ellipse , la Lune l’accompagnant partout; l’ellipse lunaire est alors l’effet de l’action terrestre considérée seule. 11 ne reste donc que la force perturbatrice LA , qui va modifier ce dernier mouvement. Décomposons-Ia en deux autres LC et LB : l’une LC tangente a l’orbite, l’autre BL selon le rayon TL. Ces puissances sont déterminées par un nouveau parallélogramme BACL : elles changent, l’une LC la vitesse de la Lune,

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l’autre BL sa pesanteur rers la Terre; i'orbite est donc altérée par ces deux causes, qui se combinent avec l’attraction terrestre. '

Dans la position où la Lune se trouve dans notre figure , l’attraction LH du Soleil sur ce satellite est plus grande que sur la Terre; les composantes de la force perturbatrice diminuent la vitesse de la Lune et sa pesanteur; et comme l’orbite dépend de ces deux causes (n“ 94), elles conspirent à altérer cette courbe. Si l’on place la Lune en un antre point do son orbe, la figure recevra une autre disposition, et l’on verra que, tantùt la vitesse de la Lune , tantôt sa pesanteur vers nous, seront au contraire augmentées.

En plaçant successivement la Lune en divers points, on reconnait , par une construction et un raisonnement semblables, que In vitesse est diminuée en passant de la syzygie £ à la quadrature K; qu’elle s’accélère, au contraire, en allant de la quadrature K à la syzygie D. Passé l’opposition on D, la vitesse diminue jusqu’à la quadrature II, puis s’accroît de ce point à la conjonction E. La force perturbatrice LA est à son maximum dans lessyzygies où elle n’éprouve pas la décomposition LBAC ; celte force LA est à son minimum dans les quadratures, cl le calcul montre qu’elle n’est que la moitié do celle qui a lieu dans les syzygies. On ne doit donc pas être surpris que le rayon vecteur de la Lune ne décrive des aires proportionnelles aux temps qu’aux syzygies et aux quadratures, et que la courbure do l’orbite soit plus forte dans le premier cas que dans le second. ,

La vitesse lunaire , qui s’était graduellement accrue depuis II jusqu’à la conjonction £ , où elle est au maximum, commence à diminucr lorsque l’astre procède de E vers K; mais elle demeure plus grande que la vitesse moyenne, jusqu’à ce que l’arc EL ait 45° : alors l’astre a la vitesse moyenne; mais la diminution continuant ensuite, la vitesse devient moindre que la moyenne. Elle est réduite au minimum à la quadrature K, pnis recommence à croilrc. Elle n’atteint de nouveau la vitesse moyenne qu’à 45° de l’opposition D; et continuant de croître jusqu’à ce point D , elle y est de nouveau au maximum. Au delà , la vitesse diminue en passant- par tous les mûmes degrés. Celte série d’inégalités a reçu le nom de Variation.

101. Les changements qu’éprouve la pesanteur de la Lune vers la Terre par la présence du Soleil , peuvent de même être évalués en suivant ce satellite dans toutes les positions sur son orbite , et examinant ce qu’y devient la force BL. On trouve que l’attraction terrestre s’accroitdans les quadratures, et de part et d’autre de ces points, à la

INÉGALITÉS. ISS

distance de 36° 16'; qu’elle est <*)u contraire diminuée aux syzygies à 54° 4A' des deux côtés; qu’aux quatre lieux ainsi déterminés , la pesanteur ne reçoit aucune altération , et qu’elle atteint le maximum aux quadratures, lemtntmwm aux syzygies; qu’enSn la diminution de pesanteur est double de l’augmentation.

102. Ces principes posés, on voit que l’attraction delà Terre sur la Lune est modifiée par celle du Soleil ; que cet astre , en changeant la pesanteur et la vitesse du satellite, empêche son orbite d’être elliptique. Maiseomme ST est 400 fois LT, l’action solaire est à très-peu près la même sur la Lune et sur la Terre. Ainsi L)I diffère [leu deLI, et l’angle S étant fort petit, la force perturbatrice LA est très-faible. L’influence solaire ne doit pas, il est vrai, être entièrement négligée; mais on peut la regarder comme employée à modifier légèrement l’orbite elliptique dans sa situation , sa forme et son étendue.

Abstraction faite du Soleil, la Lune atteindrait son périgée lorsque In vitesse acquise commencerait à remporter sur l’attraction de la Terre (n°94); le contraire aurait lieu .à l’apogée; mais l’action solaire, en modifiant cette vitesse, change nécessairement ces apsides. Tant que dure la période des diminutions de pesanteur, Tellipse lunaire a son périgée poussé vers le Soleil ; parce que cet effet favorise la vitesse. Dans la période des augmentations, le périgée se meut en sens opposé ; et comme la diminution est double de l’augmentation , la quantité dont l’apogée a tourné vers le Soleil surpasse celle dont il-a rétrograde. Ainsi, Taxe des apsides de l’ellipsè lunaire s’est mû selon l’ordre des signes. L’observation prouve que le mouvement moyen est de 6'41" par jour ou 40° 89' 45" par an, etqu’après environ 9 ans (3281,4761 jours, solaires moyens), le périgéè a décrit le cercle entier.

Par la même raison , l’excentricité a aussi varié ; car l'action de la Terre s’affaiblit quand la Lune est apogée ; et si oc point est vers E (fig. 29), l’action du Soleil est d’autant favorisée. La distance TE doit alors croître, ce qui augmente l’étendue de l’ellipse : le contraire arrive au périgée lunaire. Cette variation de l’excentricité se manifeste à nous par une altération de la vitesse do l’astre. Le mouvement n’étant pas circulaire, on doit observer des avances et des retards, que le calcul prouve devoir être de 5 à 6° en 7>, pour disparaître les li suivants. Le changement de l’excentricité élève cette inégalité à 7° y. C’est ce qu’on nomme l’.^i!ec<ion.

Comme la distance de la Terre au Soleil change dans le cours de l’année, les inégalités lunaires participent à ccltc cause, et les diffé-

GRAVITATION

rences d'aotions solairea sont sensibles. L’attrnclion du Soleil est plus grande lorsqu’il atteint le périhélie; elle est moindre à l’aphélie. Ainsi, l’orbe de la Lune sera dilaté vers le premier point (l’hiver) et contjaoté au second (l’été). De là une autre série d’inégalités qui dépenv‘int du lieu de la Terre dans l’écliptique, et dont la période s’occoraplit dans le cours de l’année : c’est {'Equation annuelle.

Pour le spectateur placé dans le ©, la Lune décrit donc autour de nous une suite d’épicycloides dont la Terre est le foyer mobile, et qui se dilatent ou se resserrent suivant que la Terre s’approche ou s’éloigne du Soleil. Ainsi, nous sommes plus près de la Lune en été qu’en hiver, et d’après la troisième loi de Kepler, le temps périodique doit être plus court dans celte première saison.

103. Nous avons supposé que l’orbe lunaire est dans l’écliptique, et puisque cela n’a pas lieu ainsi, la force perturbatrice LA (fig. 29) est oblique au plan de cet orbe, et la décomposition doit être faite en trois forces, selon les arêtes d’un parallélipipède. Ainsi, outre la force tangentie.'c LC, qui change la vitesse, et la force radiale BL, qui change la pesanteur vers la Terre, il faut admettre une puissance perpendiculaire à celles-ci, qui pousse la Lune pour l’amener dans l’écliptique et produit l’effet d’abaisser l’orbe sur ce plan. En suivant scs dispositions dans tous les lieux de la Lune, le calcul démontre que la force perpendiculaire est nulle dans les quadratures et dans les nœuds. Lorsque la Lune est à égale distance de ses deux nœuds, l’orbite a 8° 1 ' d’inclinaison sur ce plan ; elle a 8° 17' dans les nœuds mêmes.

Cette force qui change l’inclinaison de l’orbite en poussant la Lune vers l’écliptique, change aussi le nœud, en forçant l’astre à traverser ce plan un peu plus tût qu’il n’eût dû le faire. Voici comment ce double effet résulte de l’action de celte puissance.

SoillQN l’écliptique (fig. 30), Ai\B l’orbilc de la Lune actuellement en L, N son nœud descendant , où elle irait sans l’action terrestre; celte action qui tend à la faire de.scendrc sur l’écliptique, sera représentée par LA, et sa vitesse actuelle par La. Ainsi la Lune est soumise à deux forces LA, La, et doit suivre la diagonale Le du parallélogramme Aa, et l’orbite est changée do AN en LN'; le nœud N passe en N'; l’inclinaison N est accrue. Comme LA est excessivement petit par rapport à La, ces altérations sont fort minimes ; seulement leur accumulation les rend très-notables. Après que la Lünc .a traversé l’écliptique pour passer dans la région australe en l, l’action terrestre selon Id produit de nouveau le changement de l’orbite N'/e en N"//'; ainsi le nœud passe en N", et l’inclinaison diminue.

INÉGALITÉS

On voit donc que le noeud parcourt tous les points do l’éoliptique NN' N" , . . , Celte ligne est un arc tracé à la surface d’une sphère, au centre de laquelle nous sommes, et le mouvement se fait de gauche à droite^] ou est rétrograde ; et comme au nœud ascendant, les ch ses se passent de la même manière, on voit que l’orbite se balance au jur d’un plan moyen , faisant des angles un peu variables dans de certaines limites.

L’inclinaison augmente tant que l’astre est au-dessus de l’écliptiquej mais elle se rétablit par les mêmes degrés dès qu’il, a traversé ce plan. I.es nœuds continuent seuls de rétrograder, soit que la Lune marche vers son nœud, soit qu’elle s’en éloigne. Ce mouvement par lequel le tour entier est achevé en 18 ans 7 mois et demi environ , ne s’arrête, que quand l’astre est dans le nœud ou en quadrature : la rétrogradation est de IB” 20' par an (n° 60), et marche d’autant plus rapidement, (|ue la Lune est plus proche de la syzygie et plus écartée de l’écliptique. Après une révolution complète des nœuds, l’inclinaison de l’orbite reprend la valeur qu’elle avait d’abord. ,1

lOA. Il suit de cette exposition que la Lune ne se meut pas dans line ellipse; mais qu’elle s’en écarte assez peu, en attribuant à cette conrbe plusieurs changements, dont nous venons d’exposer les effets, et qui constituent les inégatitéi périodique» de l’astre.

L’observation avait dès longtemps fait rcconiiaitre ces diverses inégalités. La théorie de l’attraction, en expliquant leur cause, a en outre appris à en découvrir d’autres beaucoup moins importantes, et mis sur la voie des inégalité» téculaire», qui affectent lentement tous les cléments. Maintenant le mouvement moyen de la Lune s’accélère un peu de siècle en siècle, la Lune parcourant 9" de plus dans chaque siècle que dans le précédent ; ce qui diminue un peu la durée du mois synodique; le mouvement du périgée se ralentit : mais quelque jour ces eSets s’arrêteront , puis se reproduiront en sens contraire. Tant de variations, plus ou moins influentes , rendaient les calculs bien pénibles. Cet astre rebelle est enfin soumis aux astronomes; ils sont parvenns à former des tables qui donnent exactement le lieu vrai qu’il occupe dans le ciel.

lOS. Nous avons regardé la Terre comme un point mobile ; examinons maintenant si son irrégularité sphérique infiue sur son mouvement.

Soit, LDH (fig. 29) le globe terrestre, et un de scs points L soumis à

GRAVITATION

l’action solaire représentée par LM ; décomposons celte force en denx antres; comme nous l’avons fait pour la Lune (n° 100), l’une LI égale et parallèle à celle qui attire le centre T, l'antre LA ; la première, commune à tonte la masse terrestre, engendre le mouvement elliptique : la deuxième est seule perturbatrice. La même décomposition, faite sur toutes les molécules du globe, donne autant de forces perturbatrices qui se modifient entre elles, puisqu’elles agissent sur une masse solide.

Il est démontré par le calcul que si la Terre était une sphère homogène, toutes ces puissances s’entre-détruiraient; l’action solaire ne s’exercerait plus que comme une force unique agissant sur le centre T, où la masse serait supposée réunie : la même chose aurait lieu si le globe était formé de couches sphériques homogènes. Mais le globe terrestre étaut aplati aux pôles , on peut le concevoir formé d’une sphère dont le diamètre serait celui des pôles, recouverte d’une enveloppe dont l’épaisseur croitrait à mesure qu’on s’approche de l’équateur. L’attraction du Soleil sur la sphère ne produisant aucune force perturbatrice, n’ayons égard qu’à son effet sur le ménisque qui la recouvre, effet qui est de même nature que l’action qu’éprouve la Lune dans ses nœuds (lorsqu’elle est sur l’écliptique même).

Imaginons que les diverses molécules de ce corps forment une sorte d’anneau équatorial autour de la Terre , lequel est dirigé selon AN (fig. 80) et incliné do 23° ~ sur l’écliptique MN. L’attraction du Soleil sur les particules de cet anneau AN s’exerçant obliquement à l’écliptique MN, a des composantes telles que LA, perpendiculaires à ce plan, qui tendent à redresser l’axe terrestre et à faire tomber l’anneau équatorial AN dans le plan MN de l’écliptique : mais la rotation terrestre s’oppose à cet effet. Tout point L de cet anneau obéit à deux forces, savoir : la rotation de L vers N , et l’attraction de L vers MN, lesquelles, représentées par La et LA, donnent la résultante Le, qui porte le nœud N en N'. Le plan de cet anneau, ou l’équateur, changera donc de direction, et son intersection avec l’orbite rétrogradera. L’action par laquelle l’angle N devrait changer sera détruite par une action égale qui s’exerce sur les molécules situées audelà du nœud N ; ainsi l’inclinaison restera constante. On voit donc que la vitesse de rotation de la Terre, combinée avec l’attraction du Soleil sur le ménisque, lui conserve la même obliquité à l’écliptique, et fait rétrograder la section de ce plan avec l’équateur. Ainsi cette attraction qui, étant seule, devrait amener ces deux plans à coïncider, en faisant tourner le second autour de la ligne fixe des nœuds, se trouve modifiée par la rotation diurne, de luanicre à conserver au contraire à l’équateur une