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il*

il*

1 Cei derniers angles

doivent être for-

in<s des deux côtés de U ligne de C** ,

pour

doDDcr

les

heures avant 64 du

malin

et après 6>< du

soir.

306. Autre procédé à l’aide d’échelles. Après .ivoir tracé deux droites rcclaiigiilaircs AD , CB (fig. 60) pour représenler les lignes de 6* et de midi , portez sur In première , de C en A et en D , une longueur égale à celle que donne Véchelle de latitudes (cog. les pl. III et IV) pour le degré de hauteur du pôle dans le lieu proposé. Par ex. , pour Paris, prenez AC = CD = à la longueur qui répond à 48°30' sur cette échelle. Du centre A, avec un rayon égal à la longueur entière de Véchelle des heures, marquez sur la méridienne un point B j AB et BD seront égaux à celte même ligne ; puis , portant le long de AB et BD toutes les divisions marquées sur celle dernière échelle , vous tirerez, de CCS points au centre C, les lignes horaires cherchées. Cette construction revient à poser une extrémité de l’échelle des heures en A , à appuyer l’autre lu long de CB , puis à transporter sur le plan du cadran toutes les divisions de l’échelle , en les pi(|uant avec un stylet. L’échelle est placée dans l’angle ACB, comme BC (fig. 70) est appuyé sur BA et AC. Quant à la manière de sous-diviscr ces échelles, on en verra le calcul dans notre quatrième édition.

Observez que les lignes hoi aircs placées au-dessus de AD sont le prolongement de celles de même dénomination qui sont en-dessous (n° 300, 4°), en sorte que le cadran est coupé en deux parties symétriques par la méridienne, et aussi par la ligne de 6*.

307. Le cadran solaire horizontal pent étrotlécrit sur l’emplacement

GNOMONIQUK.

même, et il faut d’abord y tracer la méridienne (n* S06); inaia ai on le conairuit dana le cabinet, aur un marbre, une arduiae , il reste ensuite à l’orienter. Il suffit de tourner le cadran jusqu’,^ ce qu’il marque l’heure précise dont on a’est assuré d’ailleurs : on doit préférer l’instant de midi, à cause des erreurs des réfractions. Si le cadran , mis d’accord avec une bonne montre, marche comme elle durant Sou 6 heures, il est bien orienté, et la montre est juste à l’heure; mais si, après avoir mis le matin un cadran d’accord avec une montre, on remarque des difiërencea dans les heures suivantes , un attendra le soir que le cadran marque l’heure qui est à même distance de midi : on imputera la moitié de la difilérence an cadran qu’on dérangera d'autant , et l’autre moitié à la montre : c’est-à-dire que s'il y a 6' d’avance du cadran sur la montre, on retardera l'uii du 8' et l’on avancera l’autre de 3'. Dans cet état, il faudra recommencer l’épreuve, et l’accord devra subsister, du moins si la montre n’a éprouvé aucun dérangement.

Le plan doit d’ailleurs être parfaitement horizontal, ce dont on juge en posant une bille dessus, ou en y jetant un peu d’eau, et observant si elle s’écoule. Le niveau à huUe d’air peut aussi être employé.

308. On peut encore orienter un cadran horizontal le jour de l’équinoxe, en observant que l’ombre de l’extrémité du style décrit une droite perpendiculaire à la méridienne. Plus généralement , SC étant le style (fig. 68), CB une ligue d’oiiibro pour le plan horaire CSB ; abaissons, dans ce plan , SB perpendiculaire à SC; SB sera la trace de l’équateur; et si l’on fait l’angle BSR égal à la déclinaison actuelle du Soleil (SK est au dedans du triangle BSC quand la déclinaison est boréale, en dehors quand elle est australe; R coïncide avec B aux équinoxes), alors SR est le rayon solaire qui rase le point S du style, et R est l’ombre do S. Ainsi , après avoir construit l’équerre BSC sous l’angle SCB , qui appartient à une ligne horaire , puis mené SR sous l’angle BSR de la déclinaison actuelle du Soleil, on ajustera ce triangle RSC , en l’appuyant d’une part sur le style et de l’autre sur la ligne horaire, selon ses côtés SC et CR : puis ou fera tourner le cadran jusqu’à ce que l’ombre do S tombe au point R, ce qui ne sera possible , le jour proposé, qu’à l’heure correspondante à la ligue CR.

Il est à observer que ce procédé ne suppose pas que l’heure suit connue; car l’ombre de S ne pouvant se projeter le long de SR qu’à l’heure prescrite, il suffira de tenter, i|uclqucs minutes |>lus tut, do faire cuïnciiler l’ombre de S eu R , et de tourner le cadran , eu suivant

GNOMONIQUE. SSS

lei progrès de l'ombre, jusqu’à ce que la coïncidence ait lieu. L’heure dont il s’agit sera ainsi délermincc.ll faut soumettre à la même épreuve quelques autres lignes horaires.

Quant à l’ouverture de l’angle SCB, elledépend de la ligne horaire qu’on a choisie, et l’un peut la trouver par un calcul que nous omettons ; mais quelques tâtonnements suffisent pour obtenir cet angle. On donne à nn carton SCB à peu près lu forme qni convient ; et, pour l’essayer, on pose un côté CB sur la ligne horaire, et l’on applique l’autre côté le long du style CS avec lequel ce oôté doit coïncider; sinon, on augmente ou diminue l’angle SCB jusqu’à ce que cette condition soit remplie. On trouve les valeurs suivantes pour l’ungleSCB, que forme le style SC d’un cadran horiiontal , à Paris, avec la ligne de

IA OU XlA. ... 49« «9' IV* ou VIII*. . . . 66»33'

Il ou X. .... 52.52 V ou Vil 77.15

111 ou IX 58.16 VI 98. 0

309. Un cadran construit pour une latitude ne peut convenir à une 'autre, qu’autant qu’on aurait conservé le parallélisme à l’axe du mouvement diurne : cela suit de la génération même des lignes horaires (n° 800, 1°). Un cadran horizontal fait pour Paris peut donc servir partout, pourvu qu’au lieu de le fixer horizontalement, on l’inolino convenablement, c’est-à-dire que le style doit encore être parallèle â l’axe de la Terre. A cet effet , il suffira de placer la ligne du milieu dans le méridien , et d’incliner, vers le nord ou le sud, d’une valeur angulaire égale à la différence des latitudes dos deux pays. On se sert de ce moyen lorsqu’on veut éviter que l’eau ne séjourne sur l’aire du cadran.

On trouve dans le commerce des cadrans horizontaux portatifs ; mais ils ne peuvent servir que pour les lieux qui ont la latitude pour laquelle on les a construits. C’est une petite boite contenant une boussole pour l’orientation , comme on l’a dit p. 348. Le plan du cadran est placé horizontalement, et les lignes horaires s’y trouvent disposées comme on le voit fig. 66. Quant au style, il est, ou monté sur charnière pour pouvoir le rabattre quand on ne se sert pas de l’instrument, ou un simple fil tendu du centre du cadran à un point du couvercle qui est ouvert verticalement ; le point d’attache de ce fil au couvercle est tel, que le fil soit incliné sur le plan du cadran d’autant de degrés que la latitude , pour qu’il soit parallèle à l’axe do la Terre. On y adapte souvent aussi un cadran vertical {voy. ci-après) tracé sur le couvercle, et ces deux cadrans doivent donner la même heure. caAaoGRAFBiz, as •

384 GNOMONIQDE.

810. Cadran méridional et ieplenirional. Il e«t tracé sur un plan Tcrtical exactement perpendiculaire au méridien; on conclut de Ce qui vient d’être dit, que le cadran horizontal, construit pour un pays dont la latitude serait le complément à 00" de celle du lieu môme, transporté parallèleuient, devient vertical en ce lieu et convient au plan dont il s’agit. Ainsi, pour construire le cadran proposé, il suffit d’en faire un horizontal pour une latitude complémentaire (41" 10' pour Paris). La méridienne est verticale; le style fait avec cette droite un angle égal à ce même complément ; et puisque les lignes horaires sont les sections des plans horaires par le plan vertical du cadran, la face de ce plan qui regarde le nord et celle qui est vers le sud forment deux cadrans verticaux ; le style de l’un est le prolongement de celui de l’autre, après avoir percé le plan , et ils ont les mêmes lignes horaires. En supposant le cadran transparent, un seul tracé donnera les heures sur les deux faces, le style perçant le plan sous une même direction.

On voit donc que rien n’est plus aisé que de décrire ces cadrans. Dans le méridional, les angles du style avec la méridienne et les lignes horaires sont ouverts par en bas; le septentrional, au coutraire, a son axe libre par l’extrémité supérieure et fixé à l’inférieure, et les angles sont ouverts par en haut. Du reste, ou trace seulement les heures que le cadran peut indiquer, c'est-à-dire celles où le Soleil peut en éclairer la surface.

SU. Cadran oriental et occidental. C’est celui qu’on trace sur le plan même du méridien. Comme tout stylo est parallèle à l’axe do la Terre, ici l’aiguille ST (fig. 63) est parallèle à notre plan vertical, et inclinée sur l’horizon autant que l'est ce même axo; de plus, le plan de 6' étant celui qui, passant par Taxe ST, est perpendiculaire au méridien, la ligne de G’’ est la projection GH du style sur le cadran. Dans tout cadran (n° 300), les plans horaires se croisent tous suivant le style, et sont également inclinés entre eux(de 15° en 15" pour chaque heure). Dans le cas actuel, où le style est parallèle au plan du cadran, les lignes horaires étant les sections de co plan par les plans horaires, sont toutes parallèles à celle même droite ST ou GH. Enfin, le plan perpendiculaire à l’axe étant parallèle à l’équateur, coupe les pions horaires selon des angles du 15° en 15" par heure. De là résulte In construction suivante.

Sur le plan méridien destiné à recevoir le cadran, faites, avec l’horizonlaic liC, un angle B égal à la latitude, la partie supérieure 11 se

(iNOHONlQUË. 3»S

dirigeant vers lo pôle nordj fixez l’axe ST parallèlement è HB, à nne diütance quelconque GS en avant du oailrnu, en aorte que toutes le* droites niencea )iar ST, perpendiculairement nu cadran, tombent sur la droite HG, qui est la ligne de 6*. Sur EOF, perpendiculaire à HG, portez, B partir de O et de part et d'autre, des longueurs 01, OK, .... égales aux tangentes de 1S°, 30°, .... pour le rayon GS (on tracera, à part, un cercle de rayon GS, qui servira à trouver ces tangentes). Par ex., pour la ligne de -4*, OKest la tangente de 20°, lo rayon étant OF; pour la ligne de 01 est la tangente de 16°, et ainsi des autres. Par les points I, K, ... . ainsi déterminés , menez des parallèles à HG, vous aurez les lignes d’heures. On obtiendrait aussi facilement les demies, les quarts, etc.

Le Soleil n’éclaire pas ce cadran à midi, non plus que dans la matinée, quand il regarde le couchant; point dans la soirée, s’il est tourné vers l’est ; d’ailleurs, ici comme dessus, le cadran oriental est le même que l'occidental , an nom près des heures ; et si l’une de ocs deux figures est tracée sur une feuille huilée, l’autre paraîtra sur le revers.

Il est inutile de parler du cadran polaire tracé sur un plan dont la direction va au pôle et aux points d’est et ouest, incliné sur l’horizon, autant que l’est l’axe terrestre. Les lignes horaires, le style, la méridienne sont des lignes parallèles qu’on trace'par la même construction que nous venons d’exposer. C’est le cadran horizontal des pays situés sous l’équatcur.

312. Cons/ruireun cadran solaire sur une surface quelconque. Orientez exactement, devant la surface, un cadran équinoxial ou horizontal, ou etc., construit d’après les règles qui ont étédonnées. Dans cette situation, l’ombre du style de ce dernier cadran, que nous nommerons auxiliaire, se porte sur scs diverses lignrs horaires à mesure que lo Soleil tourne. Le style est néces.sairement parallèle a l’axe de rotation du cici (u° 300, 2°). Il suit do ce qui a été exposé ci-devant, qu’en prolongeant ce stylo vers la surface proposée, ce pruloiigeincnt servira d’aiguille nu cadran qu’on veut construire. Il faudra donc fixer l’aiguille selon ce prolongement, qu’on trouve en tendant un fil dans cette direction.

Les plans horaires passent tous par le style, et chacun suit une des lignes du cadran auxiliaire. Il reste à marquer sur la surface proposé» les intersections de ces plans horaires par cette surface, que nous prenons ici courbe ou plane, telle qu’elle est donnée. Le plan horaire de

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5S8 GNOMONrQDE.

10*, par ex., étant prolongé jusqu’à ccltc surface, donne la ligne ho* mire de 10*, qu’on obtient ainsi par un simple alignement. On peut attendre que, durant le jour, le Soleil porte l’ombre du style sur les diverses lignes du cadran auxiliaire, et tracer nu même instant l’ombre portée sur la surface dont il s’agit ; ou bien , on placera la nuit une bougie allumée en avant de cette surface, et la dirigeant de manière à projeter l’ombro du style sur une des lignes du cadran auxiliaire, on marquera la trace d’ombre portée à la surface proposée.

Le plus ordinairement, le cadran doit être tracé sur un plan. Les lignes horaires sont alors des droites dirigées au centre, point où le style perce ce plan. Il suffit donc d’avoir un second point pour chacune de ces lignes, et ce point s’obtient en prolongeant, jusqu’au plan proposé, la ligne horaire de même nom prise sur le cadran auxiliaire. Par ex., un fil tendu, rasant la ligne de 10* du cadran auxiliaire, va marquer, par son prolongement jusqu’au plan, un point do la ligne de 10* du cadran demandé.

313. Second procédé. Supposons qu’on ait fixé l’aiguille parallèlement à l’axe de la Terre, à l’aide des moyens qui vont être exposés (n” 3l4)i il ne s’agira plus que de tracer les lignes horaires. Qu’on ait une montre ou une pendule assez exacte pour ne présenter aucune différence notable dans la durée dé 24 heures; on choisira un jour serein, et d'heure en heure (ou de demi-heure en demi-heure, ou de quart en quart), on suivra la marche de l’ombre portée à la surface, et on la marquera d’un trait. Si la surface est plane, ces lignes seront des droites.

On peut aussi employer, au lieu d’aiguille, un disque percé au centre, fig. 43. Il faut alors que le trou soit l’un des points du style, son extrémité, par ex.; un supprime ensuite cette aiguille, dont la plaque tient lieu (n° 801). Quand le cadran est plan, il est plus facile de fixer d’abord le disque dans telle situation qu’on veut, de manière cependant qu’il puisse projeter le rayon solaire, dans toutes les saisonsy sur l’étendue qu’on destine au cadran. On tracera d’abord une méridienne d’après les principes exposés n° 206; puis, réglant une bonne montra sur celte indication, on marquera d’heure en heure, ou de quart en quart. ... le centre du cercle lumineux peint sur le cadran : on aura ainsi un point de chaque ligne horaire. Eu réitérant l’opération plufieurs mois après, on obtiendra de même un second point, et le cadran sera bientôt achevé.

Comme les lignes horaires vont concourir au centre du cadran, au

lieu de remettre à plusieurs mois pour trouver le second point, on |)eut chercher le centre pnr l’opcrntion qui sera décrite ci-dessous, 3° procédé. La réfraction atmosphérique indue un peu sur les points ainsi obtenus ; mais rien iio peut soustraire les cadrans solaires à cet effets aussi l’heure n’cst-cllc jamais donnée avec exactitude qu’à midi même, et l’erreur croit à mesure que le Soleil s’abaisse sur l’horizon.

314. Fixer un axe parallèlement à la ligne qui va d’un pôle à l’autre, ou placer l’aiguille d’un cadran.

Alignez l’étoile polaire avec une règle; cette direction est celle que vous cherchez. Comme la Polaire est à du pèle, si vous voulez plus de rigueur dans cet alignement, attendez le passage do cette étoile nu méridien inférieur ou supérieur (n° 209) ; ensuite élevez ou abaissez verticalement cette direction do 1°|, ce qui est facile à faire, en dirigeant vers la Polaire l’alidade d’un graphomètre dont le limbe serait vertical.

Au reste, cette opération est rarement commode; car, outre qu’elle exige l’emploi d’un instrument, il n’est guère possible d’apercevoir la Polaire quand un se trouve devant le mur qui doit porter le cadran. Comme la latitude est connue, il suffit do tracer une raéridicnno horizontale, et de disposer, dans un plan vertical, au-dessus de cette méridienne, un axe qui fasse avec cette droite un angle égal à la hauteur du pèle.

Second procédé. Le jour même d’un équinoxe et à un instant quelconque, on inclinera un plan de figure arbitraire, de sorte que le Soleil n'en éclaire que le bord extérieur; dans le restant du jour, cet astre ne doit non plus éclairer ni l’une ni l’autre des deux faces. La perpendiculaire à ce plan est le st^Ie cherché. Cela suit de ce que le plan incliné se trouve parallèle n l’équateur, cercle que décrit alors le Soleil (coy. ce qu'on a dit n” 308, sur le cadran équinoxial).

Les procédés qui nous restent à exposer ne s’appliquent qu’au cos où le cadran est tracé sur un plan vertical.

Troiiième procédé. Construisez un triangle GCM (fig. 44) de grandeur arbitraire, dont l’angle C soit le complément de la hauteur du pôle (a Paris, l’angle GCM est de 41“ 10'); tracez sur le mur BCMU une verticale quelconque CM, qui sera la ligne do midi ; appliquez le côté CM du triangle GCM sur la verticale, puis, faisant tourner ce triangle autour de CM, faites en sorte qu’à midi précis l’ombre de ce plan CMG se réduise à la seule verlicaje CH ; arrêtez le plan dans cette situation ; CG est la direction demandée. Ainsi, fixez dans le mur une vergo le

388 «;V()M0MOl.E.

long do CG, ou une pluquc GCS, dont l’arélo coïncide avec CG, voua nuret la parallèle à Taxe da monde, ou l’aiguille du cadran. C est le centre, point où toutes les lignes horaires vont concourir. Ces lignes sont ensuite faciles a tracer d’après ce qu’on vient de dire n° 313.

Lorsque le cadran a de grandes dimensions, ou qu’il diffère peu du méridien, comme le centre C est très-éloigné, on ne conserve qu’une partie du triangle GCM, telle que le trapèze IGMK, de hauteur KM arbitraire. Ce trapèze doit aussi être applique le long de la verticale CM, et projeter son ombre sur cette meme droite à midi. L’axe CG est réduit à une partie IG de sa longueur, qu’on fixe dans la direction ainsi déterminée. Cette opération donne le tracé des cadrans sans centre.

0i»o<rième procédé, à l’aide de deux ombres égales. Après avoir tracé une verticale CM (fig. 44) pour représenter la ligne de midi, et plusieurs cercles concentriques, tels que ESD , le centre A étant où l’on voudra, on fixera en A un axe AB perpendiculaire au mur, ce qui sera facile à l’aide d’une équerre : AB est alors horizontal. On marquera sur les circonférences concentriques les extrémités des ombres égales AD, .4E, comme on l’a fait ,n“ 206, pour le tracé d’une méridienne. La droite CAS, qui coupe par le milieu tous ces arcs DE, est ce qu’on nomme la Soustylaire ; c’est la projection du style CG sur le cadran.

En effet, si CG est l’aiguille, dans la position qui lui appartient, parallèle à l’axe du monde, et si CA est sa projection sur le mur; lorsque le Soleil, en décrivant son cercle diurne, entre dans le plan horaire SGCA perpendiculaire au cadran, l’ombre de AB est dans ce même plan, c’est-à-dire est la projection CAS du style. Prenons deux plans horaires également inclinés des deux côtés du plan CAS, et par conséquent faisant de part et d’autre des angles égaux avec le mur; la partie AF de ,\B projettera des ombres égales Ac, Kq, et également inclinées sur AS, puisque tout est égal des deux côtés du plan GCS. Donc AB donnera aussi des ombres égales ,AD, AE, prolongement des précédentes, et AS coupera l’arc DE au milieu S.

Due fois la soustylaire SC connue, il ne restera qu’à placer le plan triangulaire GCM, dont l’angle C est la distance du pôle au zénith , de manière que l’un des côtés coïncidant avec la verticale CM, l’autre I vienne s’appuyer sur AB, en un point quelconque F. Ce triangle ainsi posé, CG est la direction du style. On peut également se servir du triangle GCS perpendiculaire au mur et formant l’angle GCS ainsi détermine.

315. Cinquième procédé, par un point d’ombre à midi. Fixez au mur

CNOMONIQUK. SUO

une lige DB (fig. 6B) de forme quelconque, l’exlrérailé libre D portera une ombre O sur le mnr ; et même, pour rendre cette ombre plus précise, on peut ajuster en D une plaque percée laissant passer iin rayon solaire (voy. n° 301). Marques à midi précis le point d’ombre O, la verticale CO est la méridienne. Le style CT doit passer en un point C do cette ligne ; ce point C est inconnu. Puisqu’on veut que le style CD passe par D, l’angle TCO étant le complément de la latitude, les angles du triangle DCO sont connus. En effet, l’angle O est la distance méridienne SOC du Soleil au zénith = latitude ± la déclinaison O (ooy n" 8S et 334) ; l’angle C est 00° — la latitude. Enfin, vous pouvez mesurer ex. ictcment la longueur DO. Ainsi, par une construction, ou plus exactement , en résolvant le triongle D(iO, vous connaîtrez la distance OC : le centre C est ainsi déterminé. Il reste à fixer l’aiguille CT au point C, en l’appuyant sur l’extrémité D de la tige DB, qu’on ôte ensuite si on le juge à propos.

Observez que l’angle dièdre, formé par le plan du cadran arec le triangle TCO ainsi fixé, est l’azimut de eette surface verticale (eoyea page 363).

Comme on peut être embarrassé pour mesurer la longueur DO, on abaisse sur la méridienne la perpendiculaire horizontale Dl, qu’on inesnre. La longueur IG se tire du triangle rectangle DIC, dans lequel un connaît l’angle C et le côté DI.

316. Cadran vertical déclinant. Un plan vertical est oblique au méridien , qu’il coupe suivant une verticale et sous un angle donné; il s’agit de tracer un cadran sur ce plan. Quant à la inanièro de trouver cet angle qui est l’y/stniMt, consultez le n° 317. Concevons un plan horizontal selon la ligne GAD (fig. 74), et rabattons ce plan sur le o.adraa dans l’étendue GOD en le faisant tourner autour de l’horizontale GD. Le méridien qui passe par la verticale SA coupe l’horizon suivant la droite AO, dont la direction dépend de l'azimut du cadran, angle que nous représentons ici par BAO, et que nous supposons connu. Puisque le style est parallèle à l’axe do la Terre , nous savons qu’il est situé dans le méridien SAO, allant, par ex., de S en O, et faisant avec l’horizon un ongle égal à la latitude. Suit doitc fait, à droite ou à gauche de SA, l’angle AGS égal à la latitude, et soit pris A0 = AG; les heures seront indiquées par l’ombre de l’hypoténuse SO du triangle SAO, rectangle on A, triangle qui est dirigé selon la verticale SA dons le méridien , c’est-à-dire obliquement au plan du cadran , sous l’angle azimutal BAO.

La Tcrlicnlc OB dounc la droite SB , qni est la Sowiÿlaire, ou la projection du stylo sur le cadran. Menant BC perpendiculaire sur SB et prenant BC — BO, le triangle SBC est formé par le style SC et sa projection SB sur le plan vertical du cadran. En effet , ai l’on fait tourner les triangles SGA autour de S.\ , SBC autour de SB, ABO autour de AB ; et qu’on fasse coïncider les trois points G , C, 0 en un seul , il est visible que l’espace compris sera un tétraèdre dont le style SG on SC sera une arête , élevée dans le plan CSB perpendiculaire au cadran , et audessus de SB.

Concluons de là qu’il faut mener sur le plan du cadran une verticale SA (Sg. 64) , pour représenter la ligne de midi , puis sa perpendiculaire GB ; faire l’angle AGS égal à la latitude du lieu , passant par un point quelconque S, qui sera le centre du cadran , ou le point de concours de toutes les lignes horaires; l’angle BAO égal à l'azimut du plan vertical ; prendre AO = AG ; mener la verticale BO , puis SB qui fera la soustylaire ; enfin former le triangle SBC rectangle en B , ayant BC = BO, et placer ce triangle SBC suivant SB, d’équerre sur le cadran. SC sera parallèle à l’axe de la Terre, cl l’ombre de cette ligne, en se projetant sur le cadran, devra marquer les heures,

S étant le centre du cadran , il faut connaître un second peint de chaque ligne horaire; mais si l’on construit un cadran équinoxial , dont 0 soit le centre, et OA la méridienne (fig. 74), le style sera le même que pour notre plan vertical. Les lignes horaires de ce cadran auxiliaire seront OG , OA , 01, 02, ... : en les prolongeant jusqu’à l’horizontale GD , les points de rencontre G , A, 1 , 2 . . . , appartiennent aux divers points horaires, puisqu’il a été prouvé (n° 312) que le style étant le même pour les deux cadrans , les plans horaires sont aussi les mêmes, et que par conséquent les lignes horaires, prolongées sur l’un et l’autre, doivent se rencontrer. D’après cela, il ne reste plus qu’à mener des droites de ces points G, A, 1,2,.... au centre S.

Voici donc la construction qu’il faudra exécuter avec soin :

Tracez la verticale méridienne SAH (fig. 64), l'horizontale quelconque GAR , et par le point arbitraire S de la première , pris pour centre du cadran , tirez la droite SG faisant l’angle GSA égal au complément de la latitude du lien. Tirez la droite AO qui fasse l’angle OAB égal à l’azirout du mur, et prenez AO = AG; la verticale OB donnera la droite SB qui est la soustylaire. Élevez BC perpendiculaire à SB , prenez BC = B0, et SC sera le style, en sorte que le plan triangulaire BSC , élevé sur SB perpendiculairement au cadran , donnera la position SC suivant laquelle il faudra fixer le style SC sur le mur.

D’un point D (le SB, abaiuei DC perpendiculaire sur SC, et prenei DP = DC sur le prolongement de la aoustylaire SB -, P sera le centre du cadran équinoxial : et si vous menez la ligne IR perpendiculaire en D a SB , PIR sera ce cadran recouché sur le plan vertical j PH sera sa méridienne; PR, menée au point de section R avec GB, sera sa ligue de 6* ; en sorte que SR sera cette même ligne horaire pour notre cadran vertical , et l’angle RPR devra être droit , ce qui sert à vérifier l’exactitude des tracés.

Du centre P, décrivez une circonférence KNDQ, avec le rayon PD, et partagez cette courbe en arcs de 15 en 15 degrés, à partir du point N, Si NK. est de 30°, on tirera PK , dont le prolongement donnera en I un point de la ligne de 10*, laquelle sera SI : cl ainsi des autres lignes horaires.

Observez que, dans notre figure 74 , nous supposons que le cadran est tourné vers l’ouest et le sud ( l’azimut est ici do 60°); mais il faut diriger l’ouverture do l’angle azimutal BAO, du côté gaucho, lorsque • le plan regarde l’est et le sud. Nous croyons inutile de répéter ici ( n° 810) que, si le cadran est dessiné sur une feuille transparente, les mêmes lignes horaires, vues au rerto, sont celles qui conviennent au cadran construit sur la face verticale opposée , c’est-à-dire sur celle qui regarde le septentrion. Le style, après avoir percé le plan, doit alors être prolongé de l’autre part ; et comme on ne marque que les heures où le Soleil peut éclairer le cadran , le centre se trouve alors être en bas, lus lignes horaires et le stylo vont en divergeant vers le haut. Du reste , si le cadran regarde le sud , pour deux azimuts égaux , l’un oriental , l’autre occidental , les cadrans sont les mêmes , excepté que l’un offre a droite les angles qui , dans l’autre, sont à gauche; en sorte que notre feuille transparente donne au ver$o ce second cadran , en changeant les numéros dos heures du matin en celles du soir.

On voit que la soustylaire est à droite de la méridienne quand le plan décline vers l’ouest ; alors ce n’est qu’après midi que le vertical du Soleil est perpendiculaire nu cadran ; un axe normal y projette alors une ombre verticale. Quand le cadran décline vers l’est , la soustylaire est à gauche. C’est un moyen facile de distinguer l’une de ces circonstances de l’autre , lorsque la déclinaison du mur n’est pas grande.

Comme les lignes horaires du cadran horizontal, à cause do leur divergence, rendent les points de section avec l’horizontale GB douteux , et éloignés pour de certaines heures, on remédie à cet incon-

508 GNOMONIQDE.

vënienl p.ir la conslracUon nuivante, qui d’ailleurs convient à tous les cadrans plans. “

Soit pris un point quelconque* (fig. 74] sur la ligne horaire de XI*, par exemple; menez par ce point i une droite dy parallèle à SV, qui est distante de 6*; prenez les longueurs t A = ik, id=:if, . . .et vous

aurez des points k, d sur les lignes horaires de X*, IX*. . . Cela

résulte de ce que les plans horaires de XI* et de V* sont à angle droit , comme étant distants l’un de l’autre de 6* ou 90". Tout plan qii’on mènerait parallèlement à celui de V* couperait donc, I° celui de XI* à angle droit ; S° le cadran , selon une parallèle df à SV; 3° enfin , les plans horaires suivant des parallèles au style, c’est-à-dire selon des droites également inclinées sur fd aux points d, k, i , /*,... On voit donc que la perpendiculaire menée en i nu plan de XI* est dans notre plan f\d, et rencontre les plans horaires dont l’inclinaison sur celuici est la même, en des points qui déterminent des triangles égaux, puisque tout est égal des deux cdtés du plan de XI*. Parlant , etc.

Lors donc que, par un moyen quelconque, dans tout cadran plan , * un aura trouvé les lignes horaires comprises dans l’espace de 6* conséeutives , cette dernière construction donnera les autres en deçà et an delà.

Second procédé. Ou a vu ( p. S58) comment la direction de la soustylairo résulte de l'observation de deux ombres égales. Une verticale quelconque peut être prise pour méridienne, et l’angle formé par ces deux droites est ainsi connu. Gela posé, la verticale Z..4 (fig. 69) étant la ligne de midi , et la droite ZD Faisant l’angle AZD qu’on vient d’obtenir, ZD est la soustylaire. Tracez une horizontale arbitraire GB, et une verticale DC , par le point D de section avec ZD ; enfin l’oblique ZG faisant l’angle GZ.\ cumpléiiient delà latitude. Décrivez du centre A avec le rayon AG une circonférence qui coupera DG au point C, la droite. AC donnera raziinut CAD du mur; enfin, prenant sur BG(fig. 74) perpendiculaire à SG la longueur BG = BO, vous avez l’angle BSC du style avec la soustylaire. Le reste de la construction va do suite, comme page 860.

Ceci ne suppose pas qu’on connaisse la déclinaison du mur, ni la direction de la méridienne horizontale .AO (fig. 74), et même détermine ces deux choses. Du reste , il est quelquefois difficile d’obtenir deux ombres égales, surtout quand le mur diffère peu du méridien. Alors il faut opérer comme il suit :

Fixez une tige PQ (fig. 69) sur le mur, et njarquez le point N d’ombre portée, à midi précis, par l’extrciiiilé libre Q; la verticale ZS est la

GNOMONIOUE. 365

incridiciiiio , chaque jour l’onibro de Q devant se porter à midi »ur t|uelque point de ZN (n“2O0). Menez l’horizonlnle QD perpendiculaire nu mur qu’elle rencontre en D , et par ce point tracez sur le mur l’horizon laïc DG et la verticale DCj faites DC= QD : la droite CA donne l’azimut CAD; puis prenez AG = AC, faites l’angle G ^gal à la latitude, vous aurez le centre Z, puis la soustylaire ZD. Le reste comme . ci-devant. L’aiguille s’appuie sur les points Q et Z.

C’est aussi à l’aide d’un point d’omhre A midi que nous avons enfcigmi (n“ 818) à fixer le style dans la direction convenable ; on peut encore se servir du dernier moyen pour atteindre à ce but. Ces divers procédés se suppléent suivant les cas, on se vérifient mutuellement.

Troisième procédé. Lorsque le cadran a de grandes dimensions, ainsi qu’on en voit sur des murs où l’on n’indique que deux ou trois heures, CCS constructions n’ont plus assez d’exactitude. On préfère calculer les angles que forme la méridienne ou la soustylaire avec les diverses lignes horaires.

817. Trouver l’azimut d’uit mur, ou l’angle dont il décline vers Test ou T ouest.

La déclinaison d'un mur vertical est l’angle qu'il forme avec le premier vertical , c’est-à-dire avec le plan qui passe par le zénith et les points d'est et d’ouest. Cet angle est le complément de l'azimut. Nous avons déjà donné des moyens (n“ 218) d’évaluer cet angle, soit n l'aide des astres, soit par la boussole ou le déclinatoire, et aussi ]iagc 362; nous en exposerons ici trois antres.

Premier procédé. Qu’on trace en avant du mur , sur un plan horizontal BDG (fig. 71), une méridienne DA; en prolongeant celle-ci jusqu’au mur en A , et menant par ce point , sur le cadran , une horizontale BG , l’angle GAD est l’azimut cherché. Pour obtenir le nombre de degrés de cct angle, il faut , à l’aide d’une échelle formée de parties égales très-serrées, mesurer DA , une longueur quelconque GA et la distance GD. La construction , ou la résolution du triangle GAD , donne aisément l’angle A. On mesure ensuite une autre longueur BA sur l’horizontale GB , et l’on opère def même pour le triangle D.A B. Le premier résultat obtenu est vérifié quand les deux angles DAB, DAG réunis valent 180°.

Si l’on a l’heure précise de midi, notre opération se réduit à suspendre un fil à plomb ID en avant du mur et à marquer l’ombre D.A portée sur le plan horizontal. L’angle GAD est celui qu’on demande. Si, par exemple, le style a d’abord été fixé dans la situation SD qui

ZU GNOHONIQUK.

lui cunvienl (fig. 71), à l’aide des inoyons décrits (ii° 314) , on nië* nera , sur le plan , l’horizontale BG, la TCrticale SA , qui est la mcridietmej puis joignant , par une horizontale DA , le point A au style, l’angle GAD est déterminé.

Second procédé. Observez l’heure à laquelle le vertical du Soleil est perpendiculaire au plan du cadran , ce qui arrive quand l’uiubrc horizontale DO ( fig. 71 ) d’un fil à plomb DI est perpendiculaire à ce plan , ou que les angles GOD , DOB sont droits. Mesurez alors l’angle ODA (n°21S) formé par l’horizontale DO avec la méridienne DA , ou calculez cet angle, qui est l’azimul du Soleil au même moment. L’azimut (lu mur est le complément de cet angle OD.V.

Cadran tans centre. Quand un ne veut indiquer que deux ou trois heures par des lignes très-écartées , ou lorsque le plan du cadran diffère [leii du méridien , le centre S (fig. 74) est très-éloigné et ne peut plus être employé à .mener les lignes horaires. Dans ne cas, on doit S encore tracer la méridienne verticale AS, l’horizontale GD, l’angle BAO de l’azimut, l’angle AGS de la latitude; enfin , prendre A0= AG, tracer la verticale OB, qui donne le point B de la soustylaire, et décrire un cadran horizontal dont O est le centre et AO la méridienne ; ce cadran donne sur GD un point de chaque ligne horaire. Mais cette construction, en tout la même que n" 316, no détermine plus les lignes horaires ni la soustylaire, parce qno le centre S est supposé trop éloigné pour se trouver compris dans l’aire destinée au cadran. On a alors recours à l’un des trois procédés qui suivent.

I. Menez une seconde horiuuitale et recommencez la même série de constructions J seulement l’analogue de la longueur AG ne sera plus une arbitraire, mais sera donnée par la rencontre de cette horizontale avec la dircxïtinn SG , qui est connue, puisque l’angle G est égal à la latitude du lieu. Ces constructions étant exécutées pour la 2” horizontale, vous aurez ainsi un second point de chaque ligne horaire et de la soustylaire, et même un second point C pour déterminer le style, qui est un trapèze, comme on l’a dit page 3S8. Dans ce procédé, on est obligé de construire deux cadrans horizontaux auxiliaires, savoir, un pour chaque horizontale.

II. On peut aussi user du moyen donné en Géométrie, pour mener, par un point donné D (fig. 73), une ligne qui aboutisse au point inconnu S, où concourent deux droites données An, Gff prolongiics, ce point S étant tris-éloigné. Soient donc SA la méridienne verticale, l'angle SGA égal à la latitude , GD une horizontale , enfin D un point de la sou.'tylairc un d’une ligne horaire, déterminé comme il a été dit

GNOMONIQUE. 56î>

ci-deTnnt. Il s’agit de mener une droite du point D an eentre S, regardé comme très*ëloignc et inconnu.

Menez l’horizontale quelconqne gd , puis Ga et sa parallèle gi, enfin Du, et, par le point t, sa parallèle id; d sera un second point de la ligne cherchée DdS. En effet , quand de S on tire trois droites SG , SD,

SA , et deux parallèles QD, gd, puis deux autres parallèles Ga, gi, on a les proportions

GD : gd SA : Sa SG ; Sg ;; Go ; gi.

Ainsi, les triangles GaD , gid sont semblables, comme aj^ant un angle égal G = g, compris entre des côtés proportionnels, qni sont les rapports extrêmes de nos proportions : ainsi id est parallèle à oD.

III. On peut aussi employer le calcul à la détermination des angles.

318. P^ous terminerons cette exposition par deux remarques importantes. f

1° On ne marque sur le cadran que les heures où le Soleil y peut répandre sa lumière. La parallèle à GD (fig. 74) , menée par le point O, donne , sur le cadran horizontal , cette limite des lignes horaires ; car le cercle horaire mené par celle parallèle et le style ne coupant pas l’horizontale GD , l’omhro du style n’est pas projetée sur le muré cet instant. On a coutume de placer la méridienne à peu près au milieu de l’espace réservé au cadran , quand l’azimut n’esl pas très-grand; mais quand le mur regarde à l’onesl ou à l’est presque directement , on doit placer la méridienne près du bord do cet espace.

2° Ordinairement le style est une plaque triangulaire ou une liarre dont on rend une arête coupante , ou qu’on termine par une pointe pour servir d’aiguille; mais si l’épaisseur du style conservait deux arêtes vives, dont l’orientale donnerait, par son ombre, les heures du soir, et l’occidentale celles du matin , il faudrait tracer deux méridiennes écartées de l’épaisseur du style , et décrire deux cadrans , l’un pour le soir, l’autre pour le matin. C’est cc qu’on uomroe uii cadran à deux centres.

Courbes des signes du zodiaque. L’omhre de l'extrémité du style décrit chaque jour une courbe sur le cadran '; on marque souvent celles de ces lignes qui se rapportent aux époques les plus reraarquibles de l’année, en sorte qu'on puisse y lire le mois et la date. Voici le moyen de tracer ces courbes.

Du sommet E do l’augle droit SED (fig. 78), décrivez l’arc aa' avec un rayon quelconque; de p.vrt et d’autre du point D, prenez

Daœ Da' = 33° 28', déclin, du Soleil dam le* tropiques; prenez de même D6 = D/)'=20“ 10', Dc=Dc'= 11° 20' : ce sont les déclin, du Soleil à son entrée dans les divers signes qu’on voit marqué* , fig. 78, sur le* rayons correspondant*. En consultant V^nnuaire, on peut de mémo marquer desdivision* qui répondent aux moitié*, aux tiers, .... des signe* du zodiaque. On formera ainsi une figure qu’on nomme Trigone des signes, fig. 75, dont voici l’usage :

Appliquez la droite SET le long de l’aiguille, E étant son extrémité, et faites tourner le trigone autour de l’aiguille. Il est clair que In droite ED décrira un plan perpendiculaire à ST, u’cst-à-dire l’équateur même, que le Soleil parcourt aux équinoxes ^ct 'Y': à cotte époque, l’ombre do point E suivra la direction ED. Ainsi, ces deux jours, l’ombre tracera une droite perpendiculaire à la soustylaire , droite qn’on nomme l’A'çMinoi-ia/e. Une soie fine, fixée an centre E, tendue et rasant le trigone le long de ED , ira marquer sur le cadran autant de points qu’on voudra de cette ligne, en faisant tourner le trigone au- ' tour du style.

De même, le jour. du tolstiee d’été, le Soleil décrit le tropique Q, distant de l’équateur de 23° 28', Ainsi , cet astre se trouve dans le prolongement du rayon oE, et l’ombre de Ë suit cette même direction.

Eli faisant tourner le trigone autour du style, et maintenant la soie tendue le long de Ea, son prolongement ira de même marquer sur lo cadran divers points d’ombre portés par E. Cos points étant unis par un trait continu, on aura la courbe décrite par l’ombre de E , le jour du solstice d’été. 11 en faut dire autant dos autres époques de l’année, et si lo cadran a une assez grande étendue , on pourra y marquer les dates de 10 en 10 jours, nu de 5 en 5, ... . et les priucipales fête* immobiles. Ces courbes sont des hyperboles (n° 200j.

Comme il peut être embarrassant de faire mouvoir le trigone autourdu style, on préfère recoucher le style sur le cadran , on tournant autour d’une des lignes horaires, celle do 1\ par exemple. L’angle CSl (fig. 74), formé dans l’espace par le style et la ligne de T, est censé connu, et l’on peut construire sur le plan cet angle CSl. C’est à peu près ainsi que, dans la fig. 74, nous avons fuit tourner le style (iSB autour de la soustylaire SB. Lo trigone s’applique ensuite sur le plan même du cadran , le long du style recouché , et l’on marque sur 1.1 ligne de U les prolongement* des divers rayons du trigone. On en fait autant pour les autres lignes horaires, et l’on joint par une courbe tous les points relatif* à un même signe , d’après leurs date* solaires respectives.

Obsenrcx que , dans l’iiiago du trigone (fig. 7S), la réglette ST doit être appliquée le long de l’arête du ttyle, le point Ë étant sur l’extrémité. Si le cadran est vertical , TE cuïiicido avec celte arèle et SE en e*t le prolongement ; s’il est horixontal , c’est au contraire SË qui se couche sur l’arête et c’est TE qui la dépasse.

319. Aléridienne du temps moyen. Nous avons vu que V heure vnie ou solaire, marquée sur un cadran, diffère de l’heure moyenne que donne une bonne horloge convenablement réglée (n° 46). On peut indiquer celte différence sur les cadrans solaires. A cet effet, on y trace les lignes horaires de 4' en 4' depuis 16' avant midi jusqu’à 16' après, et aussi dans celle même durée , les courbes des signes de 10 en 10 jours. Il est inutile de dire que ces ooiistruotions ne sont praticables que sur les cadrans de grandes dimensions. Si l’étendue le permet, on devra tracer des lignes horaires de 2' en et les courbes de signes de 6 en 6 jours, et même de plus rapprochées euoore, s’il se peut. Cela fait , en consultant la Table Ylll des différences entre raidi vrai et midi moyen, pour chaque jour de rniinée(n° 47), on marquera sur chacune des courbes les deux points du raidi moyen. Ces points des diverses courbes , unis par un trait continu , formeront la courbe méridienne du temps moyen, laquelle a la figure d’un. 8 resserré, qui va d’uii tropique à l’autre , et qui est coupée en quatre points par la méridienne du cadran , aux époques où le temps vrai s’accorde avec le temps moyen. Deux de ces points do section sont si rapprochés qu’ils paraissent ii’cn former qu’un seul. On peut voir cette courbe dans les figures de V Encyclopédie méthodique, où l’on en a dessiné une de grande étendue. Chaque fois que l’ombre de l’extrémité du style atteint cette courbe dans la branche qui répond au signe actuel, il est midi moyen.

Supposons donc qu’on veuille mettre une montre à l’heure moyenne le 26 septembre; en évaluant, à celte date, l’intervalle qui mesure la différence du midi moyen au midi vrai , sur les denx méridiennes du cadran, on trouve que le Soleil est en avance de 8': si donc l’ombre indique lOheures.onenconclutqu’il n’est en effet que 10* moins 8' de temps moyen. La Table Vlll donne avec plus de précision cette différence , et rend inutile la méridienne du temps moyen : ou y lit que , le 26 septembre , le Soleil avance de 8' 16".

820. Trouver l’heure sur un cadran solaire à l’aide de la lumière de la Lune,