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que la cîio<ie cîitrcfïf p et U chose donnée participent également d'une ceitaine natare, que toutes les autres comparaisons n'ont besoin de préparation que parce que cette nature commune ne se trouve pas également dans les deux termes, mais selon certains rapports ou certaines proportions dans lesquelles elle est enveloppée ; et que la principale partie de l'industrie humaine ne consiste qu*à réduire ces proportions à un tel point que l'égalité entre ce qui est cherché et quelque chose d» ooduo ioit vue clairement.

Notons ensuite que rien ne peut être ramené à cette égalité, linon les choses qui comportent le plus ou le moins, et que toutes ces choses sont comprises sous le nom de grandeurs. De a sorte, une fois que, d'après la règle précédente, nous avons abstrait de tout sujet les termes d*ane difficulté, nous comprenons que nous n*avoDs plus à nous occuper que de grandeurs en général.

Mais pour imaginer ici encore quelque chose, et nous servir no.) plus de l'intelligence pure, mais de l'intelligence aidée des figures qui sont peintes dans Tiroagination, notons enfin que Tien ne se dit des grandeurs en général qui ne se puisse rapporter à une grandeur quelconque en particulier.

D'où il est facile de conclure qu'il nous sera très-utile de transporter ce qui se dit des grandeurs en général à l'espèce de grandeur qui se représentera le plus facilement et le plus distinctement dans notre imagination.

Or cette grandeur est réten«iue réalle d*an corps, abstraite dfl toute autre chose que ce qui a figure ; cela résulte de ce qut nous avons dit à la règle douzième, où il a été démontré que l'imagination elle-même avec Ip« idées qui txistent en elle n'est autre chose que le véritable corps réel étendu et figuré ; ce qui •st en outre évident par soi-même, puisque dans aucun autre sujet les différences de proportions ne se voient plus distinctement. Car bien qu'une chose puisse être dite plus ou moins blanche qu'une antre, un son plus ou moins aigu, etc., cepen> dant nous ne pouvons définir exactMBtnt à cet excédant est es

fOUB LA niRBCTIOlf Dl L'ESPRIT M

proportion double ou triple, sinon par une certain* analogie à refendue du corps figuré. Qu'il reste donc certain et assuré que les questions parfaitement déterminées ne contiennent guère d'autre difliculté que celle qui consiste à découvrir la mesure proportionnelle de l'inégalité, et que toutes les choses dans lesquelles on trouve précisément cette difficulté peuvent facilement et doivent être séparées de tout autre sujet, puis rapportées à retendue et aux figures, dont, à cause de cela, noua allons traiter exclusivement jusqu'à la rè^Ie cinquième.

Nous désirerions ici un lecteur qui n'eût de goût que pour les études mithémttiques et géométriques, quoique j'aimasse mieux qu'il ne s'en fût pas encore occupé que de les avoir apprise.^ d'après la méthode vulgaire ; car les règles que je vais donner sont d'un uuge plus facile pour apprendre les sciences, à l'étude desquelles elles suflisent pleinement, que pour toute autre espèce de question ; et leur utilité est si grande pour acquérir une science plus haute que je ne crains pas de dire que cette partie de notre méthode n*a pas été invantée pour résoudre des problèmes matliématiques, mais plutôt qu'il ne faut en quelque sorte apprendre les mathématiques que pour li'exercer à la pratique de cette méthode. Je ne supposerai rien de ces sciences qui ne soit connu par soi-même et à la portée de tout le monde ; mais la connoissance que les autres en ont ordinairement, bien qu'elle ne soit altéré»^ par aucune erreur évidente, est cependant obscurcie par un grand tioiubre de principes équivoques et mal conçus, que çà et là, par It siiitei nous tâcheronà de cor^

riger.

Par étendue nous entendons tout ce qui a longueur, largeur et profondeur, ne recherchant pu si c'est un corps véritable ou seulement un espace. 11 n'aai pas besoin, ce me semble, d'une plus grande explication, puisque rien n'est plus facilement perçu par notre imagination. Cependant les savants se servent souvent de distinctions si subtiles qu'ils éteignent les lumières naturelles, et qu'ils trouvent des ténèbres même dans les choses que les paysani n'ignorent iamaia ; noua dtfooi laa avertir que

RÊâLËS

par étendue nous ne désignons pas ici quelque chose de distinct ni de séparé du su|et, et qu'en général nous ne recounoissoni pas les êtres philosophiques de cette sorte que notre imagination ne peut réellement percevoir. Car encore bien que quelqu'un puisse se persuader, par exemple, que, supposé réduit à rien tout ce qui est étendu dans la nature, il n'est pas inadmissible que rétendue elle-même existe par elle seule, toujours est-il que pour cette conception il ne se servira pas d'une iilée corporelle, mais de sa leult; intelligence portant un faux jugement. Et il le reconnottra lui-même s'il rétléchit attentivemenl à cette image même de l'étendue qu'il s'efTorccra de se représenter alors dans l'imagination. 11 remarquera, eu effet, qu'il ne l'aperçoit pas dégagée de tout sujet, mais qu'il l'imagine tout autrement qu'il ne la juge ; en sorte que ces êtres abstraits (quelle que suit Topinioii qu'ait l'intelligence sur la vérité de la chose) ne se forment jamais dans l'imagination séparés de tout sujet.

Mais comme désormais nous ne ferons plus rien sans le secours de l'imagination, il est important de distinguer avec soin sous quelle idée la signiûcation de chaque mot doit être présentée à notre intelligence. C'est pourquoi nous nous proposons d'examiner ces trois manières de parler : l'étendue occupe le lieu, I corps a de titendue, et l'étendue nest pas le corps. La premièn montre comment l'étendue se prend pour ce qui a de l'étendue ; en effet, je conçois entièiemeni la même chose quand je dis : /'étendue occupe le lieu, que si je disais : ce qui a de l'étendue oecupe le lieu. El cependant il ne suit pas de là qu'il vaille mieux^ pour éviter l'équivoque, se servir de ces mots, ce qui a de t^étendue, car ils n'exprimei oient pas assez nettement ce que nous concevons, c'est-à-dire qu'un sujet quelconque occupe le lieu, parce que lui, le sujet, a de l'étendue ; peut-être même quelqu'un entendroit-il seulement par là que ce qui a de Vétendue 9$t un sujet occupant le lieu, tout comme si je disois qu'un être animé occupe le lieu. Telle est la raison pour laquelle nous avons dit que nous traiterions ici de l'étendue plutôt que de oi ^ A de l'étendue, quoique noua pensioBS que l'étendua ne

POUR LA DIRECTIOlf DS L'ESPRIT 36*.

doive pas être comprise autrement que oe qui a de Télendue. Passons maintenant à ces paroles : un corps a de Vétendue; bien que nous comprenions que dans cette phrase étendue signifie autre chose que corps, cependant nous ne formons pas dans lotre imagination dpux idées distinctes, l'une d'un corps et l'autre de l'étendue, mais une seule, celle d'un corps qui a de l'étendue. Au fond c'est comme si je disois . un corps a dt Vétendue, ou plutôt ce qui a de Vétendue a de Vétendue; cela est particulier à tout être qui n'existe que dans un autre ef qui ne peut être compris sans un sujet; il en est autrement |iour les êtres qui se distinguent réellement des sujets. Si je di^ far exemple : Pierre a des richesses, l'idée de Pierre est entièrement dilTérente de celle de richesses; de même si je dis : Paul 9st riche, je m'imagine toute autre chose que si je disois : U riche est riche. Faute d'apercevoir cette différence, la plupart pensent à tort (]ue l'étendue contient quelque chose de distinct de ce qui a de. l'étendue, comme les richesses de Paul sont autre chose que Paul. Enfin, si l'on dit ; Vétendue n'est pas un corps, le mot étendue se prend tout autrement que ci-dessus, et dans ce dernier sens aucune idée particulière ne lui correspond dans l'imagination; mais cette énonciation part tout entière de l'intelligence pure, qui seule a la faculté de distinguer séparément les êtres abstraits de cette espèce. C'est là, pour la plupart, une occasion d'erreur; car, ne remarquant pas que l'étendue ainsi prise ne peut être conçue par l'imagination, ils s'en font une véritable idée; et comme cette idée implique nécessairement la conception du corps, s'ils disent que l'étendue ainsi conçue n'est pas un corps, ils s'embarrassent à leur insu dans cette proposition que la même chose est un corps en même temps qu'elle n*en est pas un. Il est très- important de bien distinguer les énonciations dans lesquelles les mots étendue, figure, nombre, surface, ligne, point, unité, et autres semblables, ont une signification si rigoureuse qu'ils excluent quelque chose dont en réalité ils ne sont pas distincts ; comme lorsqu'on dit : Vétendue ou la figure n'est pas un corps, le nombre n'est pas la chose comptée, la sur-

3M RtOLIl

fitcêut la limité if un corps, la ligna est la limité d$ la fur/bet, le point est la limite de la ligne, Cunité n'est pat une qitantité, etc., toutes ces propositions et autres semblables doivent être entièrement écartées de riruaj^ination, quelque vrties qu'elles soient. C'est pourquoi nous n'en traiterons pas dans la suite. H faut noter itvec soin que dans tout<fS les autres propositions où ces noms, bien que retenant la même signification et étant de même employés abstraction faite de tout sujet, n'excluent cependant ou ne nient rien d'une chose dont ils ne sont réellement pas distincts, nous pouvons et devons nous servir du secourt de l'imagination, paice qu'alors. quoi()ue l'intelligence ne fasse précisément attention qu'à ce qui est désigné par le mot, Timagination doit se représenter une idée vraie de la chose, afin qot l'intelligence puisse au besoin tourner son attention vers les autres conditions qui ne sont pas exprimées par le mot, et ne croire jamais inconsidérément qu'elles ont été exclues Ainsi, par exemple, s'il est question de nombres, imaginons quelque sujet mesurable par plusieurs unités, et quoique notre intelligence ne rétlét^hisse d'abord qu'à la pluralité de ce sujet, prenons garde néanmoins qu'elle ne fmisse par tirer quelque conclusion qui fasse supposer que la chose comptée a été exclue de notre conception, comme font ceux qui attribuent au nombre des propriétés merveilleuses, pures folies auxquelles certes ils n'ajouteroient pas tant de foi s'ils ne concevoient pas le nombre comme distinct de la choie comptée. De même, si nous traitons de la figure, pensoDM qu'il s'agit d'un sujet qui a de l'étendue, et que iioui ne concevons qu'en tant que figuré; gi c'est d'un corps, pensons que nous Texaminons en tant que long, large et profond; si d'une surface, concevons-la en tant que longue et large, omission faite de la profondeur, mais uns la nier; si d'une ligne, en tant que longue seulement; li d'un point, en tant qu'il est un être, omission faite de tout autre caractère. Quoique je développe ici tout cela fort amplement, néanmoins l'esprit des iiioiiei:> est tellement rempli de préjugés, que je crains encore qu'un très-petit nombre seulement soit en ce point à l'abri ôê

toute erreur, et qu'on ne trouve l'explication de ma pensée trop courte, malgré la longueur du discours, lin etlet, l'arithniélique et la géométrie elles-mêmes, les plus certaines de toutes les sciences, nous trompent cependant à cet égard. Quel est le calculateur qui ne pense non-seulement que les nombres sont abstraits de tout sujet par l'intelligence, mais encore qu'il faut les en distinguer réellement par l'imagination? Quel est ie géoniètie qui J6 mêle à l'évidence de son objet des principes contradictoires, quand il juge que les lignes n'ont pas de largeur et les surfaces de profondeur, et que cependant il les compose les unes à l'aide des autres, sans remarquer que cette ligne dont il conçoit que le mouvement produit une surface est un véritable corps, et que celle qui n'a pas de largeur n'est qu'un mode du corps, etc.? Mais pour ne pas trop nous arrêter sur ces observations, il sera plus court d'exposer de quelle manière nous supposons que notre objet doit être conçu, pour démontrer le plus facilement qu'il nous sera possible tout ce qu'il y a d« vrai à cet égard dans l'arithmétique et la géométiie.

Nom noua ooeopons donc ici d'un objet qui a de l'étendue, ne considérant en lui rien autre chose que l'étendue elle-même, et nous abstenant à dessein du mot quantité, parce qu'il y a des philosophes si subtils qu'ils établissent aussi une distinction entre la quantité et l'étendue. Mais nous supposons que toutes les questions ont été amenées au point que l'unique objet eu soit de rechercher une certaine étendue, en la comparant à uub certaine autre déjà connue. En effet, comme ici nous ne nous attendons pas à la tonnoissance d'un nouvel être, mais que nous voulons seulement ramener les proportions, quelque embrouillées qu'elles soient, à ce point que l'inconnu soit trouvé égal à quelque chose de connu, il est eertain que toutes les différences de proportions qui existent dans d'autres sujets peuvent aussi se trouver entre deux ou plusieurs étendues; et dès lors il nous suffit, pour atteindre notre but, de considérer dans l'étendue elle-même les élémentf «jui peuvent nous aider à exposer ka différences des

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proportions, éléments qui se présentent seulement au nombre de trois : la dimension, l'unité et la figure.

Par dimension nous n'entendons rien autre chose que le mode et la raison d'après laquelle un sujet quelconque est jugé mesurable; en sorte que non -seulement la longueur^ la largeui et la profondeur sont les dimensions du corps, mais en outre lu pesanteur est la dimension suivant laquelle les sujets sont pesés ; la vitesse est la dimension du mouvement, et ainsi d'une infinité d'autres modes semblables. Car la division même en plusieurs parties égales, qu'elle soit réelle ou seulement intellectuelle, est à proprement parler une dimension suivant laquelle nous comptons les choses ; et le mode qui constitue le nombre esl proprement une espèce de dimension, quoiqu'il y ait quelque diversité dans la signification du mot. En efiet, si nous considérons les parties relativement au tout, on dit alors que nous comptons; ai, au contraire, nous considérons le tout en tant que divisé en parties, nous le mesurons; par exemple, nous mesurons les siècles par les années^ par les jours, par les heures et par les moments; mais si nous comptons les moments, les jours, les années, nous finissons par compléter la sonune des siècles.

De là il résulte évidemment qu*il peut y avoir dans un même sujet une infinité de dimensions différentes, et qu'elles n'ajoutent rien aux choses où elles se trouvent, mais qu'elles doivent être considérées de la même manière^ soit qu'elles aient un fondement réel dans les sujets eux-mêmes, soit que notre esprit les ait inventées. C'est en effet quelque chose de réel que la pesanteur des corps, ou la vitesse du mouvement, ou la division du siècle en années et en jours; mais la division du jour en heures et en minutes n'a rien de réel , etc. Cependant toutes ces choses sont identiques, si on les considère seulement sous le rapport de la dimension, comme on doit le faire ici et dans les sciences matliématiques. Car il appartient plutAl aux physiciens d'examiner si les dimensions inventées par l'esprit ont un fondement réel.

il;

POUh LA DIRECTION DE L'ESPRIT 369

Cette considération jette un grand jour sur la géométrie, parce que U pluptit conçoivent à tort dans cette science trois espèces de quantités : la Ugne, la surface et le corps. En effet, il a déjà été dit que la ligne et la surface ne sont pas perceptibles à U conception, en tant que vraiment distinctes des corps, on l'une de l'autre. Mais si on les considère simplement en tant qu'abstraites par l'intelligence, alors ce ne sont pas plus des espèces différentes de quantité que l'animal et fêtre viYtnt ne sont dans l'homme différentes espèces d* substances. Notons en passant que les trois dimensions des corps, la longueur, U Argeur et la profondeur, ne difl^rent entre elles que de nom; lien n'empêche en effet que dans un solide donné on ne choisisse pour la longueur, pour la largeur, ou pour la profondeur, l'une ra Ttutre de ces trois étendues indifférenmient. Et quoiqu'elles aient seules un fondement réel dans toute chose qui a de l'étendue, en Unt qu'ayant simplement de l'étendue, cependant nous ne les avons pas plus en vue id qu'une infinité d'autres qui sont des fictions de l'intelligence, ou qui de plos ont un fondement réel dans les choses. Ainsi, par exemple, si on veut mesuiw exactement un triangle, il faut en connoltre trois élémeuU, savoir: les trois côtés, ou deux côtés et un angle, ou deux angles et l'aire, etc. De même il faut connoUre cinq choses dans un trapèxe, six dans un tétraèdre, etc., etc., toutes choses qui peuvent s'appeler des dimensions. Mais afin de (choisir ici celles qui aident le plus notre imagination, n'embrassons jamais à la fois plus d'une ou deux de celles qui y sont représentées, quand même nous verrions que dans la proposition qui nous occupe il en existe d autres. Car le propre de l'art esl de les diviser le plus possible pour diriger notre attention sur un trèspetit nombre à la fois, et cependant sur toutes successivement. L'unité est cette nature de la juelle, comme je l'ai dit plus haut, doivent participer également toutes les choses que l'on compare entre elles. Kt d dans une question de cette sorte il 0 y a pas déjà quelque unité déterminée, nous pouvons prendre, a 1 kjx d'eUe, suit mi« des grandeurs déjà données, soit quelque

RÊOLEft

■utre, et elle sera la mesure commune de toutes les autres; et nous comprenons qu'il y a en elle autant de dimensions que dans les extrêmes eux-mêmes qui doivent Atre comparés entre eux; et nous la concevons ou simplement, comme quelque chose qui a de retendue, abstraction faite de tout autre caractère (et alors elle sera la même chose que le point des géomètres lorsqu'ils composent la ligne par le mouvement du point), ou comme une li^ne, ou comme un carré.

En ce qui concerne les ti^ures, il a déjà été montré plus haut comment c'est par elles seules qu'on peut se formiT des idées de toutes choses. Il nous reste à déclarer présentement que, de leur mille espèces diverses, nous n'emploierons ici que celles qui expriment le plus facilement toutes les différences des rapports et des proportions. Or il n'est que deux sortes de choses que l'on compare entre elles^ les quantités et les grandeurs; et nous avons aussi pour les représenter à notre intelligence deux

• •spèces de figures; ainsi ^ par exemple, les points , ^

• • • qui désignent un nombre de triangles, ou l'arbre généalo-

gique

L« père, le flls, U fllle.

, etc., sont des figures destinées à

représenter des quantités; mais les tigures continues et non divisées, telles qu'un triangle ou un carré, etc., représentent des grandeurs.

Et maintenant, avant d'exposer quelles sont, de toutes ces figures, celles que nous allons employer u^. disons que tous les rapports qui peuvent exister entre les êtres de même espèce doivent se réduire à deux chefs : l'ordre et la mesure. Disons, en outre, qu'il ne faut pas peu d'habileté pour découvrir l'ordre, ainsi qu'on peut le voir dans toutes les parties de cette méthode, qui n'enseigne presque rien autre chose, tandis qu'il n'y a nas la moindre dinicuité à connoUre l'ordre une fuis trouvé, et que uotre esprit peut facilement, d'après la rè^a

tOUR LA DIRECTION DB L*E8PRIT 371

septième, parcourir chacune des parties mises en ordre, parce que dans cette espèce de rapports les uns se rattachent aux autres par eux-mêmes, et non par l'intermédiaire d'un troisième, comme il arrive dans les mesures dont, pour ce motif, nous traitons exclusivement ici. Je reconnois, en effet, quel est l'ordre qui existe entre A et B, sans considérer rien autre chose que l'un et l'autre extrême. Mais je ne reconnois pas quelle est h proportion de la grandeur entre deux et trois, à moins que je ne considère un troisième terme, savoir, l'unité, qui est la mesure commune de chacun des deux autres.

Disons encore que les grandeurs continues peuvent, au moyen d'une unité d'emprunt, être toutes parfois, et toujours au moins en partie, ramenées à la pluralité, et que la pluralité des unités peut être ensuite disposée dans un ordre tel que la difficulté qui consiste dans la connoissance de la mesure ne dépende plus que de l'inspection de l'ordre, pregrès pour lequel l'art est d'un trèsgrand secours.

Disons enfin que, de toutes les dimensions de grandeur continue, il n'en est pas que l'on conçoive plus distinctement que la longueur et la largeur, et qu'il ne faut pas porter son attention sur plusieurs à la fois dans la même ligure, mais seulement en comparer ensemble deux qui diffèrent entre elles; parce que, si l'on a plus de deux dimensions différentes à comparer ensemble, l'art veut qu'on les parcoure successivement et qu'on n'en observe que deux h la fois.

De tout cela il est facile de conclure qu'il faut abstraire les proportions, non moins des figures mêmes dont traitent les géomètres, s'il en est question, que de toute autre matière, et que, pour cette opération, il ne faut conserver que les surfaces rectilignes et rectangulaires ou les lignes droites que nous appelons aussi figures, parce qu'elles ne nous servent pas moini que les surfaces à représenter un sujet qui a réellement de l'étendue, comme il a été dit plus haut ; et enfin qu'il faut représenter par ces mêmes figures tantôt des grandeurs continues, tantôt la pluralité ou le nombre^ et que l'art humain ne peui