RÈGLE XVI

(hunt aaz dimensions qui n'exigent paa ratUntion immédiate de l'esprit, biea qu'elle* soient oécessnires pour la ccmclasion, il vaut mieux les désigner par de» ûgure* trè»-courte.s que par des Q-ures entières; de la aorte, on effet, U mémoiie i^e pouiTa faillir, et la ^^u>^e ue »era pas forcée de ^e ^-aruger pour reteoir oea dimeimona, uudis qu'elle s'appliquera i k recheiche des autre.

Au reste, comme nous avons dit que, parmi les innombrables dimensions qui peuvent se peindre dans notre imaginaiion, il ne faut en considérer plus de deux à la fois par un seul et môme regard ou par une seule et même intuition, il est impor- Uut de retenir toutes les autres, de telle sorte qu'elles se présentent facilement à notre esprit toutes les fois que nous en aurons besoin. C'est dans ce but que la mémoire nous semble avoir été créée par la nature. Mais comme cett« faculté est sujette à faillir souvent, et pour n'être pas forcé d'employer quelijue parlie de notre attention à la renouveler pendant que nous sommes occupés à d'autres pensées, l'art a fort à propos inveul.> l'usage de l'écriture. A l'aide de cette invention nous ne confie- Tons plus rien à la mémoire ; mais, abandonnant notre imagination libre et entière aux idées présentes, nous tracerons sur le papier tout ce qu'il faudra retenir, et cela au moyen de figures n-ès-courtes, afin qu'après avoir exiiminé chaque chose séparément, selon la règle Dttuviima, nous puissions, selon la règle

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Il >

374 RÈ0LE8

onzième, les parcoiirir toutes par un mouvement lapide de li pensive, et en embrasser à la fois le plus grand nombre possible. Ainsi donc, ioul ce qu'il faudra regarder comme Tunité pour la solution de la question, nous le désignerons par un signe unique que l'on peut représenter ad libitum; mais, pour plus de facilité, nous nous servirons de lettres minuscules a,6,c, etc.. pour exprimer les grandeurs déjà connues, et de majuscules A, b, C pour les grandeurs inconnues, et souvent nous placerons les chiffres 4, 2, 3, 4, etc., soit en tête de ces signes, pour indiquer le nombre des grandeurs, soit à la suite, pour exprimer le nombre des relations qu'elles contiennent. Ainsi, par exemple, si j'écris 2 a*, ce sera conune si je disais : le double de la grandeur représenté par a, laquelle contient trois rapports. Par ce moyeri, non-seulement noug épargnerons les mots, mais, ce qui est le plus important, nous présenterons les termes de la difliculte tellement simples et réduits à eux-mêmes que, sans rien omettre d'utile, nous ne laisserons en eux rien de superflu, rien qui occupe inutilement l'esprit quand il lui faudra enibrassn plusieurs objets à la fois.

Pour mieux comprendre tout cela, il faut remarquer d'abord que les calculateurs ont coulntne de désigner chaque grandeur par plusieurs unités ou par un nombre quelconque, mais que pour nous, dans la question qui nous occupe, nous ne faisons pas moins abstraction des nombres que tout à l'heure des figures géoni*riques ou de toute autre chose ; ce que nous faisons non-seulement pour éviter l'ennui d'un calcul long et superflu, mais encore et surtout pour que celles des parties du sujet qui constituent la nature de la difficulté demeurent toujours dis- ' incles el ne soient pas enveloppées dans des nombres inutiles. Ainsi, par exemple, si l'on cherche la base d'un triangle rectangle dont les côtés donnés sont 9 et 12, un calculateur dira cr»i'elie est K225 ou 15; mais nous, au lieu de 9 et 12, nous ^ioaeroiis a et /*, et nous trouverons que la base estima* -f ^*; Al ces deux parties a et 6 qui sont confuies dans le nombre res- ^i0i}t distinctes dans notre formule.

Il faut remarquer encore que par nombre des relations il faut entendre les proportions qui se suivent en ordre coutinu, proportions que dans l'algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et par plusieurs figures, el dont on nomme la première racine, la seconde carré, la troisième cube, la quatrième double cairé; ternies qui, je l'avoue, m'ont tromi^é moimême bien longtemps ; car il me sembloit qu'on ne ;K)uvoit présenter à mon imagination rien de plus clair, après la ligne et le carré, que le cube et autres ligures semblables; et avec leur secours je ne résolvois pas peu de difticultés ; mais après beaucoup d'expériences je me suis enfin aperçu que cette manière de concevoir ne m'avoit rien fait découvrir que je n'eusse pu connoître bien plus facilement et bien plus distinctement sans elle, et qu'on doit rejeter entièrement de telles dénominations, de peur qu'elles ne troublent la conception, parce que la même grandeur qu'on appelle cube ou double cairé ne doit cependant jamais, selon la règle précédente, être présentée à l'imagination autrement que comme une ligue ou comme une surface. Il faut donc encore noter surtout que la racine, le carré, le cube, etc., etc., ne sont rien autre chose que des grandeurs en proportion continue que l'on suppose toujours précédées de cette unité d'emprunt dont nous avons déjà parié plus haut. La première proportionnelle se 1 apporte immédiatement et par une leule relation à cette unité ; la seconde par l'intermédiaire de la première, et conséquemmeiii par deux relations ; la troisième par l'intermédiaire de b i»reuiière et de la seconde, et par trois relations, etc. Nous appellerons donc désormais première proportionnelle cette grandeur qu'on appelle racine en algèbre; seconde oroportionnelle celle qu'on nomme carré, et ainsi des autres.

Kemarquons enfin que, bien que nous abstrayons ici du nombre les termes de la difficulté pour en examiner la nature, cependant il arrive souvent qu'elle auroil pu être résolue plus simplement dans le nombre donné que dégagée de ce même nomî.f e ; ce qui se fait par le douDie usage des nombres, ainsi <|ue nous l'avxis vu plus haut, parce que les mêmes expUquenI

Ifl

37f RÈOLII

tantôt l'ordre, tantôt la mesure. Conséquemmeut, âpre» a>oir cherché à résoudre la difficulté, abstraction faite des nonubres, il faut la rapporter à ces nombre» pour voir si par hasard ils ne nous fourniroient pas une solution plus simple. Ainsi, par exemple, après avoir vu que la base d'un trian^ recUngle dont les côtés sont a et 6, est ^a*-hà* et qu'il faut pour a* poser 8i, et pour 6* 144, nombres qui, additionné», font 225, dont la racine^ c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre l'unité et 225, est 15, nous connoltrons par là que la base 15 est commenwrable avec les côtés » et 12, mais non généralement parce qu'elle est la base d'un triangle recUngle dont un côté esta l'autre comme 3 est à 4; tout cela nous le distinguons, nous qui foulons acquérir une connoissance évidente et distincte des choses, mais non les calculateurs, qui se contentent de rencontrer la somme chercliée, sans remarquer comment elle dépend des données ; en cela cependant consiste toute la science.

Et maintenant, notons en général qu'il ne faut confier à la mémoire aucune des choses qui ne i-éclamcnt pas une attention perpéliK lie, si nous pouvons les dépostîr sur le papier, de peur que la lâche superflue de nous les rappeler ne soustraie quelque partie de notre esprit à l'étude de l'objet présent. Il faut dresser un tableau pour y écrire d'abord les termes de la question, tels qu'ils auront été présentés la première fuis; puis la manière dont on les abstrait et les ligures par lesquelles on les représente, atin qu'après avoir trouvé la solution dans les signe» mêmes, nous puissions facilement, et sans le recours d« la mémoire, l'appliquer au sujet particulier dont il s'agira. En effet, on ne peut abstraire une chose que d'une autre moins générale; j'écrirai donc de celte manière : dans le triangle rectangle a 6 c, on cherche la base ae, et j'abstrais la difficulté pour chercher en général la grandeur de la bise d'après la grandeur des côtés; ensuite, tu lieu de ab, qui égale 9, je pose a; tu lieu d« 6c, ^tti égale 12, je pose 6; et ainsi du raitt.

Notons enfin que nous nous servirons encore de ces quatre règles dans la troisième partie de ce traité, et que nous les prendrons dans une acception un peu plus large que nous ne l'avons fait ici, comme il sera dit en son lieu.

RÈGLE XVlI

On doit parcoarir dintctemtat la diflculté propose , ea faiunt abstraction de M qna qaalqoes-uos dt c«a tarmei sont coduus et les aatras inconoua, et bv^ iiilvafit par U vraie routa Itor mutuelle dépendance.

Les quatre règles précédentes ont enseigné comment les difscultés déterminées et parfaitement comprises doivent être absjaites de chaque sujet et amenées à ce point que Ton n'ait plus «|ue de certaines grandeurs à découvrir, à l'aide des rapports qui ies unissent de telle ou telle façon à d'autres grandeurs données. Dans les cinq règles suivantes nous exposerons comment ces difficultés doivent être traitées, de manière que, quel que soit le nombre des grandeurs inconnues qui se trouvent dans une seule proposition, elles soient toutes subordonnées les unes aux autres, et que, ce que la première est par rapport «k l'unité, la seconde le soit par rapport à la première, la troisième par rapport à la deuxième, la quatrième par rapport à la troisième, e< qu'en se succédant de la sorte, si nombreuses qu'elles soient, •lies fassent une somme égale k quelque grandeur connue ; et tout cela par mie métliode si certaine que nous pouvons aftirmer sûrement qu'aucun autre moyen n'auroit pu ramener ces grandeurs à des termes plus simples.

Quant à présent, notons que, dans toute question à résoudre par déduction, U est une voie plane et directe qui est la plus facile de toutes pour arriver d'un terme à un autre, tandis que toutes les autres sont indirectes et plia^ difficiles. Pour comprendre cela il faut nous rappeler ce qui a été dit à la règle onzième, où, exposant quel est l'enchaînement de» ))ropositions, nous a? ona montré que, ai l'on compara cbacunt û •!!•» avec coUt qui

171 RÊ0LE8

kl précède et celle qui la suil^ on aperçoit facileiuent com^ ment la première et la dernière sont ainsi en rapport l'une avec l'autre^ bien que nous ne déduisions pas aussi facilunieiit des extrêmes les propositions intermédiaires. Maintenant donc^ si nous considérons leur dépendance réciproque sans interrompre l'ordre nulle part^ pour inférer de là comment la dernière dépend de la première^oe sera parcourir directement la dirficulté. Si au contraire^ de oe que nous savons que la première et la dernière sont jointes entre eiles d'une manière quelconque, nous voulions déduire quelles sont les intermédiaires qui les unissent, ce seroi suivre une marche indirecte et contraire à Tordre naturel. Mais comme nous ne nous occupons ici que de questions enveloppées, dans lesquelles il faut, les extrêmes étant connus, arriver par une marche inverse à la connoissance des intermédiaires, tout Tart consiste alors à supposer connu ce qui est inconnu, et à pouvoir ainsi nous procurer un moyen facile et direct de ré • loudre les diflicultés même les plus embarrassées; et rien n'empêche que cela n'ait toujours lieu, puisque nous avons supposé, au commencement de cette partie, que dans toute question nous reconnoissons que les termes inconnus sont dans une telle dépendance des termes connus qu'ils sont parfaitement déterminés par eux; en sorte que si nous réfléchissons aux chose! mêmes qui se présentent d'abord , aussitôt que nous reconnoi» sons cette détermination, et si nous les comptons quoique inconnues parmi les choses connues^ pour en déduire graduellement et par la vraie route le connu lui-même comme s'il étoit Inconnu, nous exécuterons tout ce que cette règle prescrit. Quant aux exemples de ce que nous venons d'exposer, connue iuisî de plusieurs autres choses dont nous devons parler dans la suite, nous les réservons pour la règle vingt-quatrième ; ils j leront plu« convenablemept plac^

tOUR LA DIHECTIOM DB L'ESPRIT 3*3

RÈGLE XVIIl

9t mU il nVt beàuiii que de quatre oi>ératioDS : Ixdditioo, la sonstnctirn la molliplicathu ei la divisiou; souvent mAmc les deui dernières ne doivent (MIS être faite:, ici , tant pour ne rieu cunipliquer inutileoient qut parce qu elles peuvent être exécutées plus facileuieut par la suite.

La multiplicité des lègles proviejit souvent de l'inipéritie des ninîlres, et les choses que l'on peut ramener à un seul principe générai sont moins claires si on les divise en plusieurs règles j arlicuUères. C'est pourquoi toutes les opérations dont il faut se servir pour parcourir les questions, c'est-à-dire pour déduire certaines grandeurs d'autres grandeurs données, nous les réduisons ici à quatre chefs seulement; l'explication de ces chefs euxmêmes démontrera conmie leur nombre est suffisant.

En effet, si nous parvenons à la connoissance d'une grandeur parce que nous avons les parties dont elle se compose, c'est par l'addition; si nous découvrons une partie parce que nous avons le tout et l'excédant du tout sur cette même partie, c'est par la soustraction. Il n'y a pas un plus grand nombre de moyens pour déduire une grandeur quelconque d'autres grandeurs prises absolument et dans lesquelles elle soit contenue d'une manière quelconque. Mais si une grandeur est intermédiaire entre d'auties dont elle est entièrement différente, et qui ne la contiennent nullement , il est nécessaire de l'y rapporter par quelque point; et cette relation, si c'est directement qu'il faut la chercher, on la trouvera par une multiplication; si c'est indirectement, par la division.

Pour mieux comprendre ces deux points, il faut savoir que l'unité, dont nous avons déjà parlé, est ici la base et le fondement de tous les rapports, et que, dans une série de grandeurs tn proportion continue, elle occupe le premier degré; que les grandeurs données occupent le second , et les grandeurs chercbéii le troisième, le quatrième et les autres, si la proposition

^tO fttOLIg

est directe ; si elle est indirecte, la grandeur chtrchée occupe le secoiui degré et les autres degrés intermédiaires, et la grandeur donnée le dernier. Car si Ton dit : comme l'unité est à a ou • donné, ainsi 6 ou 7 donné est à a6 ou 35 cherdiM, alors a et b sont au second degré, et a b, qui en est le produit, eit an troisième. De même si Ton ajoute : comme l'unité est à c ou 9, ainsi aô ou 35 est à a 6 c ou 5J3 cherché; alors abc est au quatrième degré, et il est le produit de deux multiplications de a 6 et de c, qui sont au second dejjré, et ainsi du reste. De même : comme l'unité est à a 5, ainsi a 5 est à a* ou 25; et encore : comme l'unité est à 5, ainsi a* 25 est à a* 125; et entin, comme l'unité est à a 5, de même o* 125 est à a* ou 625, etc! En effet, la muitiphcation ne se fait pas autrement, soit qu'on multiplie une grandeur par elle-niêuie, boit qu'on la multiplie par une autre entièrement différente.

Et maintenant si l'on dit : comme Tunité est à a ou 5, diviseur donné, ainsi B on r cherché est 4 a 6 ou 35, dividende donné, alors Tordre est renversé; c'est pour(}uoi B cherché ne peut se trouver qu'en divisant ab donné par a donné aussi. Dt même si l'on dit : comme l'unité est à A ou 5 cherché, ainsi À ou 5 cherché esta A" ou 25 donné; ou encore : c«)mme l'unité est à A 00 5 cherché, ainsi A« ou 25 cherché aussi est à a* ou 125 donné, et ainsi du reste. Nous embrassons toutes ces opérations sous le nom de division, quoiqu'il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parce que l'on trouve plus souvent en elles la grandeur cherchée, qui par conséquent contient plus de rapports. Car le sens de ces exemples est le même que si Ton disoit qu'il faut extraire la racine carrée de a* ou 25, ou le cube de a» ou 125, et ainsi du reste. Cette formule, usitée parmi les calculateiu^, équivaut, pour nous servir des termes de la géométrie, à ilire qu'U faut tiwxfei la moyenne proporUonnelle entre cette grandeur d'emprunt que nous appelons unité, et celle qui est désignée par a* m le«! deux moyennes proporlionnePes entre Tunité et a*, eî ain^ii de^i autres.

1>0UR LA DIRECTION OS t'ËIPRIt SSf

De là il est facile de comprendre comment ces deux opéra, dons suffisent pour trouver toutes les grandeurs qui doivent êtii déduites d'autres grandeurs à l'aide d'un rapport quelconque. Cela bien entendu, il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l'examen de l'imagination, et comment il faut les repif^senter aux yeux mêmes, pour ensuite en expliquer l'usage et la pratique.

Si nous avons à faire une division ou une soustraction , nous concevons le sujet sous la forme d'une ligne ou d'une grandrur qui a de l'étendue, et dans laquelle il ne faut considérer que la longueur; car s'il faut ajouter la ligne j à la ligne b nous joignons l'une à l'autre de celte manière ab et~^u8 oblonons pour produit __£ . Si, an contraire, il faut extraire la plus petite de la plus grande, savoir b de a , nous les appliquons l'une sur l'autre de cette manière ab et nous obtenons ainsi la partie de la plus grande qui ne peut être couverte par la plus petite, savoir t .

Dans la multiplication, nous concevons aussi sous la forme de

ligneslesgrandeurs données; mais nousimaginonsqu'elles forment un rectangle : car si nous multiplions a par 6, nous les adaptons

Tune à l'autre à angles droits de cette manière a

,et

nous obtenons le rectangle

. D'une autre part, si

nous voulons ipv iiplier ab par c, il faut concevoir ab sous la forme C une lijine de cette manière ab . et nous

obtenons: c

^■HHi

pour a 6c.

EaOa, dua It dimion où ie diviseur eit donné, nous now

RÊOLËâ

représentons la grandeur à diviser sous la forme d'un rectangd

dont un côté est diviseur et un autre quotieni

Ainsi, par exemple, si Ton a le rectangle à diviser par a , on en ôte la largeur o , et il reste b pour quotient; ou, au contraire, si on divise le même rectangle par 6, on ôtera la longueur b * et le quotient sera a .

Quant aux divisions où le diviseur n'est pas donné, mais seulement désigné par un rapport quelconque, comme, par exemple, lorsqu'on dit qu'il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc., notons qu'il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes comme des lignes existant dans une série de proportions continues, dont la première est l'unité et la dernière la grandeur à diviser. 11 sera dit en son lieu comment il faut trouver toutes les moyennes proportionnelles entre le dividende et l'unité. Il suflit d'avoir averti que nous supposons que de telles opérations ne sont pas encore achevées ici, puisqu'elles doivent l'être par une action indirecte et réfléchie de l'imagination , et que nous ne traitons maintenant que des questions à parcourir directement.

En ce qui concerne les autres opérations, elles peuvent être faites très- facilement de la manière dont nous avons dit qu'il faut les concevoir. Il reste cependant à exposer comment les termes en doivent être préparés; car, bien que nous soyons libres, quand une difficulté se présente pour la première fois, d'en concevoir les termes comme des lignes ou coniu.e des rectangles, sans jamais leur attribuer d'autres figures, ainsi qu'il a été dit à la règle quatorzième, toutefois il arrive souvent, dans le cours de l'opération , qu'un rectangle, après avoir été produit par la multiphcauon de deux lignes, doit être bientôt conçu comme une ligne pour servir à une autre opération ; ou encore que i*i

I, Ttttê tatitudo; U u% évident qu'il faal lue louyUuUê.

POUR LA DIUBCTION DE L'ESPRîT 383

même rectangle , ou la ligne produite par une addition ou une soustraction, doit être bientôt conçue comme un autre rectangle désigné au-dessus de la ligne qui doit le diviser.

Il est donc important d'exposer ici comment tout rectangle peut être transformé en une ligne, et réciproquement toute ligne ou même tout rectangle en un autre rectangle dont le côté soit désigné. Cela est très-facile aux géomètres, pourvu qu'ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous en composons avec quelque rectangle, comme ici, nous entendons toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. De la sorte, en effet, tout se réduit à cette proposition : Étant donné un rectangle, en construire un autre égal sur un côté donné.

Quoique cette opération soit familière, même à ceux qui commencent l'étude de la géométrie^ je veux néanmoins l'exposer,) de peur de paroître avoir omis quelque chose. (Le reste manqw.