C.R., t. IV, p. 805 (29 mai
(1) fit
une équation du degré 2, dans laquelle le coefficient de x” se réduit à l'unité, en sorte qu’on ait identiquement
(2) f(æ)= 28 + axe + art 2 +... + aniT + An,
Ays Aus ce. Apr & étant des coefficients réels ou imaginaires. Soit d’ailleurs # une constante, réelle ou imaginaire, dont le module surpasse le plus-grand des modules principaux de f(x). D’après ce qui à été démontré dans ma Lettre du 6 mai, on pourra développer, suivant les puissances descendantes et fractionnaires de #, les racines de l’équation (3) f(æ)—=k.
Pour y parvenir, il suffira d'employer les formules tirées du calcul des résidus, ou bien encore la formule de Lagrange, en opérant comme il suit.
L'équation (3) étant écrite ainsi,
(4) a + ARR + GRR 2 +... + An 1X +An=k,
si l’on fait, pour plus de commodité,
T—-) 1+412+@223?+...+ dn3% —=[w(z)]",
— Qt ie
en choisissant &(:) de manière que l’on ait
cette équation deviendra
et on la vérifiera en posant
ar z—dw(2)
pourvu que l’on désigne par x une des racines de l’équation binôme
9) ne, Or, les valeurs de x et de F{z) tirées de l’équation (8), en vertu de la formule de Lagrange, pour un module de à suffisamment petit, ou, ce
qui revient au même, pour un module de # suffisamment grand, se-
ront Re cs M-dimisil 3 d’[w(e)] 10 3 Am(o)+=— pe Fe dei et - F(2)=F(0)+2 F0) (0) de a d\Felfu(e)]l x d{F'{e)[o(e)l'!
| a de PEN. de? ’
: devant être réduit à zéro après les différentiations, et &(o) ne différant pas de l'unité. On obtiendra donc sans peine les valeurs de = et de F(z), par conséquent celles de [5(3)]7" et de.
12) z===Xt[o(z)}t,
développées en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de x, ou descendantes et fractionnaires de #, lorsque le module de # surpassera tous les modules principaux de f(x), c’est-à-dire, ceux qui correspondent aux racines de l'équation
Pour remplir cette condition, il suffirait de supposer # équivalent à
EXTRATT N° 45. 63 2r", r étant la valeur de + qui, dans l'équation (1), rendrait le premier
terme égal à la somme de tous les autres. En effet, soient Mo a at
les modules des a in rt ns
la valeur de r dont il s’agit sera donnée par la formule
(14) rR— Arr — Aorr 2, ,,— A; ir — A, —=o,
et surpassera celle que fournirait l’équation
(15) nr in —i)Airr2—{(n—2)Aorr3 —..,— A; ;—0o,
de laquelle on tirerait
n — 1 n— 2 ; I PE — —— A, pt ——__— Aorn-? PESRRT CO ONE An- ,F—O, nm n n el, par suite, re — A, pat — À» PR, — Ar À He vs An AO,
Donc la valeur de r donnée par la formule (14) surpassera les modules
de toutes les racines de l'équation
RAI n ia at 2 + (nn — 2)ao2t 5 +... + An, 0, Où ER 0.
comme on le démontrera facilement à l’aide des raisonnements dont nous avons fait usage dans l'Analyse algébrique (p. 480). D'ailleurs, il résulte évidemment de l'équation (14) que, pour un module de + égal ou inférieur à cette valeur de r, le module de f(x) ne surpassera pas 2r", ou le double de r”.
Après avoir ramené, par le calcul des résidus, où par le théorème de Lagrange, la résolution de l’équation (3) à la résolution d’une équation binôme, savoir, de l'équation (9), du moins pour une valeur du paramètre # suffisamment grande, il reste à montrer comment on peut
revenir de l'équation (3) à l'équation (1). Or, pour y réussir, il suffira
de faire varier un nouveau paramètre & entre les limites —0, 1 —#, dans une nouvelle équation de la forme
16) | f(x) = kb — is
S : 0 et lon pourra même supposer que, dans ce trajet, le rapport + reste toujours réel et positif. Chacune des constantes #, : pouvant d’ailleurs être imaginaire, nous écrirons dans les équations (3), (9) et (16), ke-ov=T et ie-mV't,
au lieu de k et ::;
et par suite ces équations deviendront
17) Nr Er, (18 PT my—1 18) = Len, 19) ent f(x) = k — à,
les valeurs de #, & pouvant être supposées ici réelles et positives, et & désignant un arc réel, que nous resterons libres de choisir arbitrairement. | |
Remarquons à présent que toutes les racines de l'équation (19) seront développables par le calcul des résidus, ou par la formule de Lagrange, en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières du paramètre &, si la valeur réelle et positive attribuée à ce paramètre, dans l'équation (19), est inférieure aux modules de toutes les valeurs principales de &. Or, ces valeurs principales, qui pourront être imaginaires, se confondront avec les valeurs de la fonction
20) k— esV-1 f(x), correspondantes aux racines de l'équation dérivée (13) iris.
Si, la fonction f(x) étant de forme réelle, l'équation (1) a toutes ses
racines réelles et inégales, on pourra en dire autant de l'équation dérivée (13), et par suite les valeurs principales de la fonction f(x) seront toutes réelles, mais différentes de zéro. Alors, si l’on pose
(2) o=H£, VTT, l'expression (20), réduite à (22) kfiz)y—1,
offrira, pour chaque valeur principale de +, un module
(23) Lar+ (f(x),
supérieur à #; et par suite toutes les racines de l’équation (19) seront développables, même pour :—#, en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de #, ces séries ayant pour premiers termes les racines déjà calculées de l'équation (17). Mais, quand on pose : — #, l'équation (19) se réduit à l’équation (1). Done, si l’équation (1) a toutes ses racines réelles et inégales, la résolution de cette équation pourra être réduite à celle de l’équation (17), par conséquent à celle de l'équation binôme (18). Observons d’ailleurs qu’en suppo-
sant
ARE CA Le
on réduira les équations (17), (18), (19) à
(25) k=—f{x)y—:1, (26) M F1, (27) k=i+f{z)V—-1, où i—k—f{(x)V—:; tandis qu'en supposant (28) > D = —- æ CONS,
OEuvres de C.—S. 1, t. IV. | 9
on réduira les équations (17), (18), (19) à
(29) k=—1{(zld=s, (30) = — LV 5, (31) kh—i-tfix)V= 5, ou i=k+f(z)V-x.
On peut donc énoncer la proposition suivante.
TnéorÈme 1. — Lorsque l'équation (1) a toutes ses racines réelles et inegales, on peut obtenir chacune de ces racines développée en série convergente; et, pour y parvenir, ul suffit de poser 1 — k, dans les développements des racines de l'équation (27) ou (31), en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de 1, ces séries ayant pour premiers termes les racines de l'équation (25) ou (29), développées suivant les puissances descendantes et fractionnaires de k, ou, ce qui revient au méme, suivant les puissances ascendantes et entières des valeurs de *,
propres à vérifier l'équation binôme (26) ou (30).
Concevons maintenant que, la fonction f(x) étant toujours de forme réelle, l'équation (1) ait encore ses racines toutes distinctes les unes des autres, par conséquent inégales, mais non toutes réelles. Soient, dans ce cas, » le nombre des racines réelles de l'équation (1), et
