EF MS EST QU
EXTRAIT N° 56. h59
composée de six termes respectivement proportionnels à ces mêmes variables, et T’ une fonction de la même espèce, mais composée avec les variables Er Nr GC 9 ii ÿ'.
Si l’on suppose qu’un seul mouvement simple se propage dans Le svstème de molécules situé du côté des æ négatives, les valeurs de
RE Be OPEN
correspondantes à une valeur nulle de x, seront de la forme
ne A er rwsse, 1 LR Besr+wz-se, z + Cerrrws-st,
— À ue’r+Wwz-st, ” — B uevr+Wwzst, d — (C Ue’T WE, u, 6, #,8, À, B, C désignant des constantes réelles ou imaginaires ; € par suite, la valeur de F, correspondante à & — o, sera de la forme
ET == LÉ di AE E y désignant une nouvelle constante. Si au contraire plusieurs mouvements simples, superposés les uns aux autres, se propagent simultanément dans le premier des systèmes donnés, et si l’on admet que les
déplacements symboliques deviennent proportionnels, dans l’un de ces mouvements simples, à l’exponentielle
EULHVYHWE SE, dans un autre, à l’exponentielle
eu, L+v,Y+Ww,z—s t » Ce,
la valeur de T°, correspondante à æ — 0, sera de la forme 3) Pi yErNTWE SE + 7 LS RE LE DO AE RER ;
y, y, -. désignant diverses constantes. Pareillement, si divers mouvements simples se propagent dans le second système de molécules, et
si l’on admet que les déplacements symboliques deviennent propor-
tionnels, dans l’un de ces mouvements simples, à l'exponentielle eulx+v'y+wa slt,
dans un autre, à l'exponentielle eu”x+v"y +w/zs"t,
la valeur de I”, correspondante à x — o, sera de la forme
3) T'=yenrewrst te.
Cela posé, l'équation (1), réduite à
( 4) y ET HWZT SE y, €. fées y’ e'rvwis-st oo
entrainera la formule
YHY +. Ye. —=0,
à laquelle elle se réduira identiquement si l’on a
V—=Y, =. Le fs .
ae, SNS ER [APE 6) PE ME sole !
FRE ue CR
I ya plus : si les constantes 7» V9 PRE ? ,
different de zéro, l'équation (4), qui doit subsister quelles que soient les valeurs attribuées aux variables indépendantes y, 5, 4, entrainera toujours, non seulement l’équation (5), en laquelle elle se transforme, quand on réduit y, 3 et à zéro, mais encore les formules (6). C'est ce que l’on démontrera sans peine à l’aide des considérations suivantes.
L'équation (4), devant subsister, quels que soient y, = et {, don-
nera, pour 3: — 0 tr 0
YET+YeT+. HV E TH... =0:
Si, dans cette dernière équation et dans ses dérivées des divers ordres,
EXTRAIT N° 56. : #61 relatives à y, on pose y = 0, on trouvera
YO Y Hors tYs He, G) Fe. +, +. +Ye +.:.—=0, 7) :
frere US 9 M dre Rd
Or il est facile de s'assurer que les équations (7), dont on peut sup-
poser Le nombre égal à celui des coefficients ACTE DUT OREPERE
entrainent la première des formules (6). En effet, admettons, par exemple, que ces coefficients se réduisent à trois,
E 7, 1 ce
Alors, en éliminant deux d’entre eux des équations (7), c'est-à-dire,
des formules OS RS EE Ads ND AE Gore ha
PARA LU 0 on trouvera successivement
ple—e)(e—v)=0, y{e—v)(e—v)=0, y{v—v)(V—v)=0; et, par suite, si
L2 £ Fa «
} L'APRR PTS à
diffèrent de zéro, les trois différences
1 LA UV, v—v, v,—v
devront s'évanouir, en sorte que la première des formules (6) devra
être vérifiée. Eu égard à la forme des équations (5), la même démonstration reste applicable, quel que soit le nombre des coefficients +. y, y, ...s et d'ailleurs on pourra évidemment établir de la même
manière la seconde et la troisième des formules (6).
Lorsqu'un mouvement simple, propagé dans un système de molé-
cules, atteint une surface plane qui sépare ce premier Système du second, il donne très souvent naissance à d’autres mouvements simples, les uns réfléchis, les autres réfractés, qui coexistent tous ensemble, mais qui ne pourraient plus coexister, dans le double système de molécules que l’on considère, si l’on venait à supprimer quelques-uns d’entre eux. Ainsi, par exemple, lorsque ces deux systèmes sont tels qu'un mouvement simple, propagé jusqu’à leur surface de séparation, donne naissance à deux mouvements de cette espèce, l’un réfléchi, l’autre réfracté, on ne saurait concevoir deux de ces trois mouvements propagés seuls dans le double système de molécules. Done alors l'équation (r) ou (4) ne peut subsister, lorsqu'on supprime lun des trois mouvements simples; ce qui aurait lieu toutefois, si l’une des constantes
bte venait à s’évanouir. Donc, si l’on applique l'équation (1) ou (4) à la réflexion et à la réfraction des mouvements simples, elle entrainera généralement les formules (6).
Supposons l'équation (4) effectivement appliquée à la réflexion et à la réfraction d’un mouvement simple; et soient dans cette même équation
y evr+wz-st
le terme qui correspond aux ondes incidentes,
Sr + D. RP SR ET :
1 D AE à éme AA TRE
ceux qui correspondent aux ondes réfléchies ; enfin 2 er +A fee, ceux qui correspondent aux ondes réfractées. Si l'on pose, comme dans le SH, :8) U= UE 01, = NV +vÿ—i, = W ENV!
] s—=S+sSy—1,
si, k= ur vi+ we, K = VU:+ V2+ WE,
(11) FE ee T=—;
u, v,W, S, U, V, W,S désignant des quantités réelles, parmi lesquelles s pourra être censée positive, les constantes réelles K, S
représenteront, dans le mouvement incident, les coefficients d’extinction relatifs à l’espace et au temps, et
T la durée des vibrations moléculaires, tandis que
représentera l'épaisseur des ondes planes, et
leur vitesse de propagation. De plus, les plans des ondes étant tous
ce)
parallèles au plan invariable représenté par l'équation (13) LE A AE mi à CA et la constante v devant être positive dans Le cas où, comme on doit le supposer, les ondes incidentes, en se propageant, se rapprochent du plan des y, 3; si l’on nomme = l'angle d'incidence, c'est-à-dire l'angle aigu formé par une droite perpendiculaire aux plans des ondes avec l'axe des +, on aura, dans le cas dont il s’agit,
U U COR ee Vur+v+w k
Îv2 + w2 y? + w2 sinz = — = Y ; Vu? + v? + W? k
puis on en conclura
(14) u = k.cosr, VY?+ w2= k sinz.
Quant au plan invariable représenté par l'équation
15) Uxz+Vr+Wz=:1,
il sera celui duquel s’éloignent de plus en plus les molécules dont les vibrations deviennent de plus en plus petites, et disparaïtra si le mouvement incident est du nombre de ceux qui ne s’éteignent point en se propageant.
Soient maintenant
ou
D NE mt ss NS NO ON LR LE So
ce que deviennent les constantes réelles
quand on passe des ondes incidentes aux ondes réfléchies ou réfractées. Les formules (6), jointes aux équations (8), (9), (ro), (11), (12), (14),
entraineront évidemment les suivantes :
A PR te Mél 16) (NÉS ae No:
17) S S, — Rois ‘, A Nr EN ES 18) CNE WI SENS, | 19) S — S, Pa y S'— ,
On tirera d’ailleurs de la formule (15)
(20) TRE ns et, des formules (16),
ou, Ce qui revient au même,
21) ksinr=k,sinr =.:.=k sin...
et par suite
for ur, . sut ] PER ] pee. h 9 |’
Il résulte de la formule (20) que la durée des vibrations moléculaires reste la même dans les mouvements incidents, réfléchis et réfractés. Il résulte de la formule (22) que l'angle d'incidence +, l'angle de réflexion r,..., l'angle de réfraction +’, ... offrent des sinus respectivement
proportionnels aux épaisseurs |, 1, ..., [’, ... des ondes incidentes, réfléchies et réfractées. De plus, comme les plans invariables, représentés par les formules (13) et (15), ont pour traces, sur le plan des
y, 3, les droites représentées par les équations
(23) YY+ NZ =0,
(24) | HN Der
il résulte des formules (16) et (18) que ces traces restent les mêmes, quand on passe du mouvement incident aux mouvements réfléchis ou réfractés. Donc les plans des ondes incidentes, réfléchies et réfractées coupent le plan des y, z, ou, en d’autres termes, la surface réfléchissante, suivant des droites qui sont toutes parallèles les unes aux autres; et si, par un point donné de la même surface, on mène des perpendiculaires aux plans de ces différentes espèces d'ondes, ces perpendiculaires seront toutes renfermées dans un plan unique que l’on peut appeler indifféremment le plan d'incidence, ou le plan de réflexion, ou le plan de réfraction. | On tire des formules (22)
sinz sin,
ie : He ns : : Ha Tu
Donc Le rapport du sinus d'incidence au sinus de réflexion est en même .
temps le rapport entre les épaisseurs des ondes incidentes et réfléchies, tandis
que Le rapport entre les sinus d'incidence et de réfraction se confond avec
le rapport entre les épaisseurs des ondes incidentes et réfractées. Le premier OEuvres de C.—S.I,t.1V. 59
k66 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
de ces rapports est ce que nous nommerons l'indice d'incidence, le second est celui qu’on nomme l'indice de réfraction.
Lorsque le premier système de molécules sera du nombre de ceux dans lesquels la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, et que, pour cette raison, nous appellerons isotropes, s deviendra fonction de la somme u? + 4° + w?, à laquelle s° sera même proportionnel, si les équations des mouvements infiniment petits sont homogènes. Alors le mouvement incident, que nous supposerons simple, pourra donner naissance à un seul mouvement simple
réfléchi; et l'équation S—S,
entrainera la suivante
U?+ 02 + mu? + v° + w?.
Celle-ci, jointe aux équations
donnera 26) u? = u?; et, comme on ne pourrait supposer à la fois dE h mp W = W.,,
sans rendre parallèles les plans des ondes incidentes et réfléchies, ce qui ne permettrait plus de vérifier les équations de condition, et ce qui est effectivement contraire à toutes les expériences, la formule ( 26)
entrainera l’équation (27) | ="; par conséquent aussi l'équation
Or de cette dernière, jointe aux formules
EXTRAIT N° 56. kG7
on tirera
Fate 72 Re 2 24 w?2 VUE + VÈ + W — Vu? + v?+ w?,
