D SL

0 v w U? Ou DVw ?

la valeur de © étant

à k2 (15) O=(v+w— 1+f Pareillement, si, en nommant f” ce que devient f quand on passe du premier milieu au second, on a

F4 de

on trouvera

(17) FE. — A0 "= Eos 9 — Pos ; — %os — Do.

Si l’on a au contraire

18) es CT WA rt WW,

on trouvera

He : : se Et me RE PAR 2

Fe rte n ne C Ce: VV. TL Je Nr | TT — == - 5 — = RTE.

3 — Ù’ CEE ww V’? — O'v — V'w

la valeur de ©’ étant

LA k'?

20) : dt —— (se + W°?—

Comme on ne connaît pas @ priori la loi des actions moléculaires, ni par suite les valeurs des constantes f, f”, le seul moyen de savoir si ces constantes vérifient les formules (11) et (16), ou (13) et (18), est de chercher les conséquences qui se déduisent de l’une et l’autre supposition et de les comparer aux résultats de l'expérience. Or, si l’on admet les formules (11) et (16), alors les conditions (12), jointes aux condi-

tions (17), donneront, pour x — 0, (21) EE, nn, Ci 9e =, =". ;

De ces dernières équations, combinées avec les formules (6), (8), on tirera

ë | u(A—A,)=u'A, u(B—B,)—uB, u(C—C,)—=uC,

et par suite

(23) Ai Br: 0: Mk.

A oh CC. LE fudeo En K DC Mi.

puis, de ces dernières, jointes aux formules (2), (5) et (7), on con-

clura Au + Bv + Cw = o,

(25) ‘: — Au + Bv + Cw —=o, Au +Bv+Cæ—=o.

EXTRAIT N° 57. 473 D'ailleurs on tire des formules (25) (26) Auto, Bv + Ce — 0,

puis, de celles-ci, combinées avec les formules (9) et (1),

(27) dE ed rer BY +Cw—o et (28) vÉ=v'E—0, Va+Wé— 0;

par conséquent

(29) HÉsveze, Van + Wé = 0.

Enfin, pour satisfaire à la première des équations (29), il faut supposer

que l’on a (30) bou o:

c'est-à-dire que les plans des ondes incidentes et réfractées sont parallèles au plan des y, 3, ou que l’on a

c'est-à-dire que les vibrations des molécules sont perpendiculaires à l'axe des x. Donc, lorsque les formules (11) ou (16) se vérifient, un mouvement incident, que nous supposons simple, ne peut donner naissance à un seul mouvement simple réfléchi, et à un seul mouvement simple réfracté, que dans des cas très particuliers, savoir, lorsque les plans des ondes ou des directions des vibrations moléculaires sont parallèles à la surface réfléchissante.

Au contraire, un mouvement simple pourra se réfléchir et se réfracter, quelle que soit la direction des plans des ondes ou des vibrations moléculaires, si l’on suppose vérifiées, non plus les formules (11) et (16), mais les formules (13) et (18). Alors les variables

Ë, UE ë Q, % Ÿ d'une part, et les variables

Es + Cs 9’; É d’ Œuvres de C. — S.I, t. IV. 6o

k74 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

d'autre part, se trouveront liées à Éo> Moy Cor Pos Xe» Yo

par les formules (14), (19), dont chacune comprendra cinq équations

distinctes ; et l'élimination de

Éo» “ess: Dos Zo» Vos entre les dix équations dont le système est représenté par ces deux formules, fournira, entre les seules variables

ba: ns ces le ci à ds A es D, re d’, quatre équations de condition qui devront subsister pour x — 0. Pour

obtenir ces équations de condition, on observera qu'en raisonnant comme dans le $ IT on tire des formules (14) et (19), non seulement

nv = wno—Véo, d—wE—=Vo—wéo, vÉ—Y%—=vE— 0 et

+ Lx Fe e ua 5 = 5 wn!— 0l'= Wno— Vs, D'— DE = Vo — wo, PE — DL = VE — Yo,

mais encore

Re rire pHaË + NE pot ae © Me et P P D Re UE ne ® + as ren 7=.Po TT %6e + No

pourvu que l’on choisisse x, 6 de manière à vérifier simultanément Îles

deux formules

(32) Vi—aU+6—=0, ÙV'?— 4x0 +6—o.

On devra done avoir alors, pour x — 0,

(33) œwn —vé=wn— 08, bewE=d'—uwE,s Eye ve

EXTRAIT N° 57. u7S

FM OS on Pt CE 7 6 - (34) o + aE+ =n—0' + aË + y.

T = mn T ? n De plus, comme, en vertu des équations (32), ü, Ù’ sont les deux racines de l’équation du second degré

L2— ax+6—=0,

on aura nécessairement (35) a= O HO), EE, et par suite la formule (34) pourra être réduite à

+ en no Dr ve VU" - (36) P+(O+OV')E+ —1n—=9 + +(0+ 0) + — 1.

: : v v Les formules (33) et (36) seront précisément les quatre équations de condition demandées. : , Avant d'aller plus loin, ilest bon d’ been qu'en vertu des formules

(6), (8), les équations (33) peuvent être réduites aux trois suivantes

\ 7) D. £ REA D:£ ne à D? et Le | BE -D,n-D,i Dr,

desquelles on tire évidemment

D — D,6—D:n — D,f, (38) DE B,E—D.t- DE, | Dé — D a =D;,E — Dr,

ou, ce qui revient au même

6 ON TOP OPOËE SP CO 7 OE. dE nd dv

ee Det Are deco: dr de à On 0e

Les formules (39) sont précisément les trois premières des quatre formules que j'ai données en 1836 comme propres à représenter les équa-

k76 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

tions de condition relatives à la surface réfléchissante. (Voir les Nouveaux Exercices, p. 203.) Ajoutons que l'équation (36) peut s’écrire comme il suit :

fvx!

; - Rs Re St à (0) er È Fo To) 75 Fo + vo Observons encore qu’en vertu des formules (1) et (2), ou (4)et {5), on vérifiera l'équation

(41) DE +D,n +D.6— a,

en supposant les déplacements symboliques.

relatifs au mouvement incident, ou au mouvement réfléchi, par conséquent aussi, en supposant ces déplacements symboliques relatifs au mouvement résultant de la superposition des ondes incidentes et réfléchies.. Pareillement, il suit des formules (6) et (7) que les déplace-

ments symboliques

6" ns 4h

relatifs au mouvement réfracté, vérifient la formule

(42) DE + Dyn' + DE — 0.

Au reste, les formules (41) et (42) entrainent les deux suivantes :

| DE + D, + D.ê — 0,

(43) DE +D,n'+ D.E'—0o,

qui se déduisent immédiatement de l'hypothèse admise, puisqu'elles expriment que les mouvements propagés dans chaque système de molécules ont lieu sans changement de densité. On tirera d’ailleurs des formules (41), (42)

EXTRAIT N° 57. k77

ou, ce qui revient au même, eu égard aux équations (6) et (8),

Di(E—E)+u(n—n)+w(6—Ë)—0o,

et par conséquent (44)

quelles que soient les valeurs attribuées aux variables æ, y, z.

Les quatre équations de condition (37) et (40) peuvent être remplacées par d'autres que l’on déduit aisément des formules (14) et (19) combinées avec les équations (44). En effet, les formules (14) et (19) donnent, non seulement

(4 w (4 14 et par suite AO ARE REED À RE SE PERRET DA VU ; re PAU M cu DR Gue « Fons L PES one (8) st ds Mr. de. V M mais encore Re D de se 6 .- epHaËb+en— go + ao + © Mo; PHaË + no + ao + So, et par suite D 6. | (46) a lt ia nie

pourvu que l'on suppose 2=040,::6—=00

Or les formules (45) et (46), qui ne différent pas au fond des formules (33), (34), donneront d’abord

n—n E—C ss AUS, en à de . ge

v w FAT: ww

ou, ce qui revient au même, (48) D:1 EE D,é — D,’ = ne D;(D:7 pue D,Ë) Ce D,(D:n TA D,£' ] :

puis, eu égard aux formules (44),

= p"i-x)+w(—) DIE -E)

fee v? + w? 5 vi 2 ?

TE a ns sé vin 1) relie Die) ci nl * ITR ( Tr UE ï v? + w? F4 RE ve à PA

et par conséquent

2 “0 SR PR PU (49) (Di +» + w2)(È= E)=e, )

Ü [8D,— {02 m2) (@ + DeI(É —E)—0, ou, ce qui revient au même, eu égard aux formules (35),

(D? + D? + D2)Ë = (Di + Di + D2)£,

bo) (

: 2 CR 7 ; Dr : 2 2\f1 ! De Pz | | D, (BSD (5 Eee TL =|D.- (Bo -+ D) (& + mr Se ) | “4

D'ailleurs on tirera immédiatement des formules (49) et (50),

(51) D:n—D,6= Den — D,#’, De(Den — D,E) = De(Din— D,E), | (DE + D£ + D?)E — (DE + DE + D?)

[un

ae x LÉ 1 D. di LEA 1 Hi, | [D (Di + D;) (s + S + er) [E=[ne- (D; + D) (S Fa se) |E È

Les équations de eondition (51) et (52) offrent cela de remarquable, que les deux dernières renferment seulement les déplacements &, € mesurés, dans l’un et l’autre milieu, suivant des droites perpendieulaires à la surface réfléchissante, tandis que les deux premières renferment seulement les déplacements 7, € ou 7’, Ÿ’, mesurés suivant des droites parallèles à cette surface.

Posons maintenant, pour abréger,

(53) h?=u?+.v2+ w?—=—k? et k=u?+v+ = — k?.

Les conditions (48), (50), qui doivent subsister pour æ—o, étant

EXTRAIT N° 57. K79 jointes aux formules (6), (8), donneront Bw — Ce + B,w — Cv — B'w — C'v,

a[(Bw— Cv) —(Bw— Cv] =w'(B'w- Ce)

V2? + 7? [ . à : | af JA A) (+ ste }(A + A,)

4 I | A © Le Lu (uv? + w2) F- ji PS D qi o)| Le, ou, ce qui revient au même,

B'ew — Co (Bw — Ce) + (B, — Cv) (Bow — Co) — (B, — Cv)

u E ul PT u' +34 A" Le A+ À, 2 + 2 V2? LE 2 Eu — 4 HOT 19 MARGE i 1 VO k'?ulx DO — L | ch 6 V2? + 2? ë PRTUE kiu{r — be el He LA VD’ (4 En ed (à SAME » L par conséquent ui EE u' h A | NUS 2 dre nr (Bi — Cv), (54) QU :

| B'æ — Cv — ha (Be — Cv), u+u (k'2 u — k2u!)|(1— Ho ant (4'2 — 2) (u2 + y?) LA £ de À,— iv 00 oo.

RER k'2 Lu V2? + (w2 ci : : k 3 Fe : À, eu htu (= on) + (3) (24 0) (6 + à) ni v? + w?

2k?ul1i— nt sie | À:

s ; 0? + 7? ia FR 1 I ( sa+ ru) (1 a) + (4 2 — 2) (e22m2) (+

Comme, en vertu des formules (55), on a k2—k2—{u—u){u+u),

ku—kiu ={e + w—uu (u—u), ku+kiu = {et + tu) (u + ur),

il est clair que les équations (55) peuvent s’écrire comme il suit

| Ce 2 — un) [a nt + (u'+u) (v?+ +) (2 + :

(v2 + 5w2 — de 244p2)1— — A VV’ \ © D'/u—u A ; v2 + y? I AE FN (ou? + p2+uu) [ir —— u'—u)(v02+w1)}| — mir / | ; VU’ | ki LR Re 0? + 2?

kate A' VU’ 2u

Les équations (54) et (55) ou (56), jointes aux formules (5) et (7), suffisent pour déterminer complètement les valeurs des constantes BC 4 « A 45

relatives aux mouvements réfléchi et réfracté, quand on connait les valeurs des constantes

relatives au mouvement incident.

Si l’on veut, dans les valeurs de

À, B, be A’, B’, Da introduire les coefficients réels UN,

à la place des coefficients imaginaires

il suffira d’avoir égard aux formules (9). Alors les formules (54)'et (56),

jointes aux formules (2) et (7), donneront

à ir: 7?

Bw — Cv U+U

fs (57) PL LE

BW ET 17.

/ I Fe Ses y? [2 — uy’ J 2) (2 at, re . + W mir a (u'+u)(v?+w Sa. En.

: (v2 + w2+ uv’) (1 — re (u'—u)(v? + w?) É. SR Von Dh) VO" e) U' DE san A VU’ =!

3 2 + w2 LAN Uri r2 12 FLOUE RAF. AE SCT RSC DE T ENS (V2+w + uv) (à 06: }+( U) (v? + w? Has TAR el (50) FACE RXHKCw—0, ee 2

Les calculs se simplifient lorsqu'on suppose l’axe des 3 parallèle aux traces des plans des ondes sur la surface réfléchissante. Alors, la formule (23) du $ IV devant se réduire à

r=0, on aura nécessairement

/ W—o, W—WY—I1— oO,

et par suite les formules (1), (4), (6) deviendront

(Go) E—Aeurtr st, G—Beurs, LE Courts, (Gi) É—A eme, neue, E — C'e-urtr-sr, (62 | £' — À eu C+vy—st, " — PR eux +vy—st, ri C'eu'x+vr-st.

Alors aussi, les valeurs des déplacements symboliques étant indépendantes de z, dans chacun des mouvements incident, réfléchi et réfracté, les dérivées de ces déplacements, relatives à z, s’évanouiront dans les formules (48) et (50), qui se réduiront aux suivantes

(63) D D, . D:D:5—D;pD;6,

(Df+ Re "D: + D?)£’,

4) [p.—n (5 + tou) + ge) fr

Comme on pourra d’ailleurs, dans celles-ci, remplacer D, par v, les OEuvres de C.— S. 1, t. IV. 61

formules (63) donneront Êa= Es D,ê = D,t,

ou, Ce qui revient au même,

Ces dernières, qui se trouvent déjà comprises parmi les conditions (21), donneront encore

C+C = C, u(C—C,)=uC,

par conséquent

C u — u L. au (65) — 5 L de. 7 C u + u C u+u et l’on tirera des formules (6) (eau) (1 dk + (u'+u)e? a As (010L Ù Y} u—u D (a ue ) + (r Rens (v2 1— —— d—u)v2|— + — \ \ ‘ <. Ai !

166) | + DE 0 he A: en au ses v? I IN # id (pv? + uu! — —— (ur u)o (2 A | ( on mé, FES Ter

D'autre part, en vertu des formules (2), (5), (7) et (53), on aura, non seulement

(67) Au+Bv—=o et (68) — A,u+B,v=—o, A'u'+ B'v —0,

mais encore

(69) k=u+ V2 —; kK2=u2+uv— —.

£ l Enfin on ne devra pas oublier que ces diverses formules se rapportent

au cas où les mouvement incident, réfléchi et réfracté sont du nombre

de ceux qui ne s’éteignent pas en se propageant, et où par suite les valeurs de w, v, s, u’ sont de la forme

(70) u=uV—1, V=vy—1, s—=sy—i1, u'—U" ÿ—1.

MécaniQuE CÉLESTE. — Mémoire sur l'intégration des équatiens

différentielles des mouvements planétaires.